Một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Khái niệmphương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học, nó thể hiện mối quan hệ bằng nhau, sự ràng buộc giữa các đại lượng sốlượng.. Cùng với sự phát triển của toán h

Mục lục

Chương 1 Một số phương pháp giải phương trình không

1.1 Khái niệm phương trình Phương trình không mẫu mực 6 1.2 Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực 7

1.2.1 Phương pháp đưa về phương trình tích 7

1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 11

1.2.3 Phương pháp chứng minh duy nhất nghiệm 18

1.2.4 Phương pháp đưa về hệ phương trình 23

Chương 2 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 29 2.1 Khái niệm hệ phương trình Hệ phương trình không mẫu mực 29

2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 30 2.2.1 Phương pháp dùng bất đẳng thức 30

2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 37

2.2.3 Phương pháp tính các đại lượng chung 45

2.2.4 Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số 49

1 Đặt vấn đề

Bắt nguồn từ nhu cầu tính toán trong đời sống thực tiễn của con ngườithời xa xưa mà phương trình và hệ phương trình được ra đời Khái niệmphương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học,

nó thể hiện mối quan hệ bằng nhau, sự ràng buộc giữa các đại lượng sốlượng Lý thuyết phương trình cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu( Điôphăng, Viét, Đêcac, ) và đã được phát triển thành lý thuyết đại

số học cổ điển Lý thuyết phương trình không phải chỉ là cơ sở để xâydựng đại số học mà còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác củatoán học Người ta nghiên cứu không chỉ phương trình đại số mà còn cảnhững phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình toán

lí, phương trình hàm,

Phương trình và hệ phương trình chiếm một vị trí vô cùng quan trọngtrong chương trình toán học ở cấp nhà trường phổ thông cũng như đại học,cao đẳng Cùng với sự phát triển của toán học, đặc biệt là sự mở rộng cáctrường số thì các dạng phương trình và hệ phương trình cũng ngày càngtrở nên phức tạp, đồng thời việc giải phương trình và hệ phương trình cũngđòi hỏi mức độ tư duy, suy luận ngày càng cao Các bài toán về phươngtrình, hệ phương trình không dừng lại ở những dạng cơ bản, thông thường,

có phương pháp giải cụ thể, đặc trưng cho nó mà trong quá trình giải toánphương trình, hệ phương trình người học thường gặp phải những bài toán

lạ, không bình thường và quan trọng là không thể giải trực tiếp bằng cácquy tắc, các phương pháp quen thuộc như: Biến đổi tương đương, định líViet, đồ thị, Những bài toán như vậy thường được gọi là “Không mẫumực” Dạng toán “không mẫu mực” này có tác dụng không nhỏ trong việcrèn luyện tư duy toán học cho người học và thường là thử thách đối vớicác bạn học sinh, sinh viên trong các kỳ thi Olympic, thi học sinh giỏi, thivào các lớp chuyên toán, các trường đại học, cao đẳng

Với mong muốn giúp các bạn sinh viên học toán, các em học sinh phổ

thông có thêm nhiều kiến thức về phương trình, hệ phương trình và quantrọng hơn nữa là giúp các bạn luyện tập, làm quen với phương trình, hệphương trình “không mẫu mực”, phát triển tư duy, suy nghĩ trước nhữngbài toán “không mẫu mực” khác, để từ đó thúc đẩy việc học môn toán

và các môn học khác đạt kết quả tốt hơn Ngoài ra, các bạn sinh viên sưphạm toán có thêm những kiến thức thú vị, bổ ích để giảng dạy môn toán

ở trường phổ thông Bên cạnh đó đem lại cho các em học sinh phổ thôngyêu toán nhiều thuận lợi hơn trong việc học tập môn toán cũng như trongquá trình ôn tập cho các kỳ thi Olympic, thi học sinh giỏi, thi vào các lớpchuyên toán, các trường đại học, cao đẳng đạt kết quả cao nhất

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giảiphương trình và hệ phương trình không mẫu mực” làm đề tàikhoá luận tốt nghiệp đại học của mình

2 Mục tiêu của khóa luận

- Mục tiêu khoa học công nghệ: Nghiên cứu về phương trình, hệ phươngtrình không mẫu mực và phương pháp giải

- Sản phẩm khoa học công nghệ: Xây dựng tài liệu về một số phươngpháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình không mẫu mực

- Nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trìnhkhông mẫu mực

- Sưu tập, nghiên cứu tài liệu, chọn lọc và phân loại các bài tập về giảiphương trình, giải hệ phương trình không mẫu mực

- Hệ thống, trình bày một số phương pháp giải phương trình, hệ phươngtrình không mẫu mực và bài tập vận dụng có lời giải cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các phương trình và hệ phương trình khôngmẫu mực

- Phạm vi nghiên cứu: Một số phương pháp giải phương trình và hệ

phương trình không mẫu mực.

6 Bố cục của khoá luận

Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, khoá luận bao gồm 2chương:

Chương 1 Một số phương pháp giải phương trình khôngmẫu mực

1.1 Khái niệm phương trình Phương trình không mẫu mực

1.2 Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực

1.2.1 Phương pháp đưa về phương trình tích

1.2.2 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức

1.2.3 Phương pháp chứng minh duy nhất nghiệm

1.2.4 Phương pháp đưa về hệ phương trình

Chương 2 Một số phương pháp giải hệ phương trình khôngmẫu mực

2.1 Khái niệm hệ phương trình Hệ phương trình không mẫu mực2.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

2.2.1 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức

2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

2.2.3 Phương pháp tính các đại lượng chung

2.2.4 Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số

Một số phương pháp giải

phương trình không mẫu mực

mẫu mực

Cho hai hàm số của n biến thực x1, x2, , xn là f (x1, x2, , xn) vàg(x1, x2, , xn) Ta gọi tập hợp n số thực x =(x1, x2, , xn) ∈ Rn Khi đó,các hàm số f (x1, x2, , xn) và g(x1, x2, , xn) được xem là các hàm mộtbiến f (x), g(x) trong Rn Giả sử f (x) có miền xác định là D1 ⊂ Rn, g(x)

có miền xác định D2 ⊂ Rn

Ta định nghĩa phương trình f (x) = g(x) (1) là ký hiệu hàm mệnh đề

“giá trị của hai hàm số f (x) và g(x) là bằng nhau”

Ta gọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến

x1, x2, , xn trong không gian R thì (1) là phương trình của n ẩn x1, x2, , xn Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miềnxác định (tập xác định) của phương trình (1), đó là tập S = D1 ∩ D2.Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f (a) = g(a) là một đẳng thức đúng thì ađược gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thỏa mãn phươngtrình (1), hoặc phương trình (1) được thỏa mãn với x = a

Có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây:

1) Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này, không có giá trị a nàocủa S sao cho f (a) và g(a) bằng nhau, tức là f (a) = g(a) là một mệnh

đề sai với mọi a ∈ S Nói khác đi, tập nghiệm M của phương trình (1) làrỗng: M = ∅

2) Bất kỳ giá trị a nào của S (a ∈ S ) cũng thỏa mãn phương trình, tức

là M = S Trong trường hợp này phương trình là hằng đẳng trên S.3) Có ít nhất một giá trị ( nhưng không phải mọi giá trị ) a ∈ S thỏa mãnphương trình (1) thì phương trình có nghiệm là a, a ∈ M , M ⊂ S.

Trường hợp 2) và 3) ta nói rằng phương trình có nghiệm

Giải một phương trình là tìm tập hợp nghiệm M của nó Nếu M đượcbiểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là nghiệm tổngquát của phương trình.M có thể là một tập hữu hạn hay vô hạn

Có nhiều phương pháp để giải một phương trình, chẳng hạn: Phươngpháp biến đổi tương đương, phương pháp dùng đồ thị hàm số, định lí Viét,đặt ẩn phụ,

 Phương trình không mẫu mực

Phương trình không mẫu mực là dạng phương trình đặc biệt, khó cóthể giải bằng những phương pháp thông thường như: Phương pháp biếnđổi tương đương, phương pháp dùng đồ thị hàm số, định lí Viét,

- Đôi khi ta sử dụng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn rồi

đưa phương trình về dạng tích (với ẩn phụ) Giải phương trình với ẩn phụrồi tìm nghiệm của phương trình đã cho.

- Dùng cách nhóm hoặc tách các số hạng hoặc nhân chia với lượng liênhợp, để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải.b) Bài tập vận dụng

Bài tập 1 Giải phương trình :

x = 26 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 7 và x = 26

Bài tập 2 Giải phương trình:

TXĐ: x ∈ R

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = −1

Bài tập 3 Giải phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0

Bài tập 4 Giải phương trình:

(x − 2)6 + (x − 4)6 = 64

Lời giải:

Đặt t = x − 3 ⇒ x = t + 3

Bài tập 5 Giải phương trình:

(4x − 1)px2 + 1 = 2(x2 + 1) + 2x − 1

Lời giải:

Đặt y = √

x2 + 1, y ≥ 0(4x − 1)√

Lời giải:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1

Bài tập 2 Giải phương trình:

2x −√

5 = 0

⇒ Phương trình đã cho ⇔

(4(x2 − 2)(3 − x2) = 1(√

2x −√

5)2 + 1 = 1

Bài tập 4 Giải phương trình:

Ta có:

(22+ 32)[(x2− 3x + 6)2+ (x2− 2x + 7)2] ≥ [2(x2− 3x + 6) + 3(x2− 2x + 7)]2 =(5x2 − 12x + 33)2 (∗)

Khi đó nghiệm của phương trình đã cho là các giá trị x làm cho

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = 4

Bài tập 5 Giải phương trình:

p4x2 − 4x + 2 +px2 − 2x + 5 = p9x2 − 12x + 13

~a + ~b = (3x − 2, 3) ⇒

~a + ~b

= p(3x − 2)2 + 9

Từ bất đẳng thức:

|~a| +

~b ... nghiệmcủa hệ M =

 Hệ phương trình khơng mẫu mực

Hệ phương trình khơng mẫu mực hệ phương trình có dạng đặc biệt,khó giải phương pháp thông thường như: Phương phápbiến đổi tương đương, phương. .. phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình việc giải h? ?phương trình quen thuộc

- Ta biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phươngcác số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế cịn lại Ápdụng... x = x = nghiệm phương trình (4)

Vậy phương trình có nghiệm x = x =

Bài tập Giải phương trình:

Vậy phương trình cho có nghiệm x =

Bài tập Giải phương trình:

|x