phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

Và hệ phương trình đại số là một trong những bài toán như thế.Các bài toán khó về hệ phương trình thường được ẩn dưới dạng không mẫu mực, tức làkhông có dạng đã có quy tắc giải.. Bài viế

chuyên đề khó, và luôn có mặt trong các đề thi Đại học - Cao đẳng Những bài toán thuộcchuyên đề này thường được xem là những bài toán khó nhất, dùng để "nhận mặt" học sinhgiỏi Và hệ phương trình đại số là một trong những bài toán như thế.

Các bài toán khó về hệ phương trình thường được ẩn dưới dạng không mẫu mực, tức làkhông có dạng đã có quy tắc giải Nhưng nếu biết cách biến đổi, ta cũng sẽ đưa được về cácdạng toán thường gặp Nội dung này đòi hỏi phải nghiên cứu nhiều và kỹ, nắm vững các kiếnthức về bất đẳng thức, hằng đẳng thức, các kiến thức liên quan như: hàm số, đồ thị hàm

số, tính đơn điệu, các kiến thức cơ bản về lượng giác, Bài viết này sẽ đề cập đến một số

kỹ năng có thể dùng để giải quyết bài toán hệ phương trình không mẫu mực, trên tinhthần trình bày về các kỹ năng biến đổi để đưa được một hệ phương trình không mẫu mực vềdạng có phương pháp giải Các phương pháp trình bày trong bài không hẳn là phương phápgiải, vì nó không áp dụng cho một lớp bài toán cụ thể nào, mà chủ yếu là giới thiệu cùngbạn đọc những kỹ năng có thể sử dụng được để giải hệ phương trình không mẫu mực Để

có thể giải quyết mọi bài toán về hệ phương trình, cần nhớ kỹ các phương pháp này và rènluyện nhiều, sử dụng thành thạo để khi đứng trước một hệ phương trình, bạn có đủ "côngcụ" để giải quyết nó Trong phạm vi của một bài tập lớn, bài viết này chỉ xin đề cập đến các

hệ phương trình hai ẩn

Bài viết này được trình bày theo ba phần:

- Mở đầu: Một số hệ phương trình thường gặp Phần này chủ yếu nhắc lại dấu hiệu và cáchgiải các dạng hệ phương trình quen thuộc

- Phần thứ hai: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực Có 6 phươngpháp có thể dùng để giải một hệ phương trình không mẫu mực được trình bày trong bài viết,các phương pháp giải này được phân tích thông qua việc giải từng ví dụ Bài tập trong bàiđược sưu tầm qua các tài liệu và các đề thi Đại học - Cao đẳng

- Phần thứ ba: Ứng dụng Phần này sẽ đưa ra lời giải các hệ phương trình trong các đề thiĐại học - Cao đẳng, từ việc ứng dụng các phương pháp giải nêu ra ở phần hai

Bài viết này chỉ là sản phẩm nghiên cứu nhỏ và chưa thật sâu sắc Mặc dù rất cố gắng thamkhảo các tài liệu khác, dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của nhiều thầy cô và bạn học, nhưngvới thời gian ngắn, khả năng, kinh nghiệm còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót,rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ phía thầy cô và các bạn để bài viết hoàn chỉnh hơn

Huế, ngày tháng năm 2013

Lê Thị Ái

1 Hệ phương trình 3

1.1 Khái niệm: 3

1.2 Các dạng hệ phương trình thường gặp: 3

2 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 5

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 5

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 8

2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 10

2.4 Phương pháp đánh giá 12

2.5 Phương pháp vec-tơ 15

2.6 Phương pháp lượng giác 17

3 Áp dụng 19

T

i=1

SiHai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

3 Hệ đối xứng loại 1

Dạng tổng quát:

(

f (x, y) = 0g(x, y) = 0trong đó, nếu hoán đổi vị trí x, y cho nhau thì các phương trình trong hệ không thay đổi.Cách giải:

+Biến đổi tương đương đưa về tổng và tích giữa các ẩn

(

S = x + y

P = x.y Thay vào hệ phương trình, giải ra S, P

+Lúc đó, x, y là nghiệm của phương trình X2− SX + P = 0

4 Hệ đối xứng loại 2

Dạng tổng quát

(

f (x, y) = 0g(x, y) = 0trong đó, nếu hoán đổi vị trí x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.Cách giải: Trừ vế theo vế của hai phương trình làm xuất hiện nhân tử chung x − y rồi đưa

hệ đã cho về hai hệ đơn giản hơn

có thể biết được ngay là sẽ giải như thế nào Khi đó, cần nhớ tới mọi phương pháp có thể

sử dụng, thử từng phương pháp mà ta nghĩ có thể giải được Vì vậy, điều quan trọng là phảinắm vững những kỹ thuật biến đổi hệ phương trình không mẫu mực

2 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.

Các hệ phương trình không mẫu mực thì không có dạng cụ thể, vì vậy cần biết rõ nhữngphương pháp giải để có thể sử dụng Dưới đây là những phương pháp thường dùng

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương.

Là phương pháp sử dụng các kỹ thuật biến đổi đồng nhất, nhằm đưa một phương trình trong

hệ về dạng đơn giản hơn để giải, hoặc đưa hệ về các dạng đã biết ở trên

Các kỹ thuật thường sử dụng trong biến đổi tương đương:

Rút x theo y (hoặc ngược lại), rồi thế vào phương trình còn lại, phép biến đổi này còn gọi

là phép rút thế, sử dụng khi trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x (hoặc y, hoặc

là một đại lượng nào đó chứa x, y xuất hiện sau một số bước biến đổi):

x + y = 3Giải: Điều kiện x + y 6= 0

Giải: Hệ phương trình tương đương

((x2+ xy)2 = 2x + 9 (1)

x2+ 2xy = 6x + 6 (2).(2) ⇔ xy = 6x + 6 − x



−4,174

x − 1 = 2x − 2y (2)Giải: Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0

(1) ⇔ x2− xy − 2y2− (x + y) = 0 ⇔ (x + y)(x − 2y) − (x + y) = 0 ⇔ (x + y)(x − 2y − 1) = 0

⇔ x = 2y + 1(vì với điều kiện trên thì x + y ≥ 1)

Như vậy, hệ đã cho tương đương với

(

x = 2y + 1

x√2y − y√

x − 1 = 2x − 2yThay x = 2y + 1 vào phương trình (2) ta được:

(2, 0), 8

3,

−13



Đưa một phương trình trong hệ về phương trình bậc hai một ẩn, ẩn còn lại (nếu có) làtham số.

Giải: Điều kiện: x ≥ −3

2, y ≥ 0Xét phương trình (2): y2+ (2 − x)y − 3x − 3 = 0

Ngoài ra, có thể sử dụng phương pháp cộng đại số để biến đổi tương đương, làm triệt tiêumột đại lượng nào đó trong một phương trình của hệ để được phương trình bậc nhất theo ẩnnào đó (chứa x, y).

"

y = 0

y = 4Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S =

(

3 ±√13

2 , 0

!, 3 ±

√13

2 , −4

!)

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ.

Khi giữa các phương trình trong hệ có các đại lượng giống nhau, ta đặt ẩn phụ để đưa vềmột hệ đơn giản hơn hoặc quen thuộc Thông thường với các hệ phương trình không mẫumực, ta khó nhận ra ngay được nên đặt cái gì Vì vậy, bước đầu tiên là biến đổi tương đương,thường là chia hoặc nhân với một biểu thức nào đó của biến, chẳng hạn x, y, x2, x3, xy, Sau một số bước biến đổi, nếu hệ xuất hiện các đại lượng giống nhau thì ta sử dụng tiếpphương pháp này

Một số biểu thức thường được đặt ẩn phụ: x + y, xy,1

x = 1, x

2+ y2 = (x + y)2− 2xy để nhận diện được bài toán có thể đặt ẩnphụ để giải

Ví dụ 9 Giải hệ phương trình:

(∗)

(

x2+ 1 + y(y + x) = 4y (1)(x2 + 1)(y + x − 2) = y (2)Phân tích: Ta thấy hai phương trình của hệ có các đại lượng chung như x2+ 1, y + x, ynên ta dự đoán sẽ dùng phương pháp đặt ẩn phụ cho các đại lượng trên

Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:

(

x4− 4x2+ y2− 6y + 9 = 0

x2y + x2+ 2y − 22 = 0 (∗)Giải:

x = ±√

2

y = 5TH2:

(

u + v = −10

uv = 48 ⇔ u, v là nghiệm của phương trình S2+ 10S + 48 = 0(vô nghiệm)Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S =(±2, 3), (±√2, 5)

Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:

(7x2+ 7x = t (1)28t2− 4x = 9 (2)

Phân tích: Ta thấy hai vế của phương trình chưa có đại lượng gì chung, nhưng ở đây tđược biểu diễn qua x nên dễ nghĩ ngay đến phương pháp thế Nhưng nếu thế vào thì sẽ raphương trình bậc 4 không có dạng đặc biệt, giải phương trình này không hề dễ dàng Để ýthấy hệ số chứa bậc hai của ẩn và bậc nhất của ẩn ở hai phương trình tương ứng tỉ lệ vớinhau, nên ta mong muốn sẽ đưa được hệ về dạng đối xứng loại 2

Giải: Đặt t = y +1

2 ⇒ t2 = y2+ y + 1

4Khi đó, hệ phương trình trở thành

.Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2, giải hệ theo cách đã có Cái ta quan tâm ở đây làtại sao đặt được x = y +1

2?-Để đưa hệ về dạng đối xứng theo x và y thì ta phải đặt t là hàm bậc nhất theo y, vì khi đó,

ở phương trình thứ 2 ta mới có bậc cao nhất của y là 2 Như vậy, ta đặt t = ay + b, suy ra

!, −6 − 5√2

14 ,

1 − 5√

214

!,

−8 +√46

14 ,

−1 −√4614

!, −8 −√46

14 ,

−1 +√4614

!)

2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Phương pháp này thường được sử dụng khi một trong hai phương trình của hệ có dạng

f (x) = 0 hoặc f (x) = f (y), với f là hàm đơn điệu trên tập D và x, y thuộc D Nhiều khi taphải căn cứ vào điều kiện hoặc phương trình còn lại để đánh giá x, y sao cho x, y thuộc vàotập mà hàm f đơn điệu

Để sử dụng phương pháp này, ta cần nắm rõ các tính chất quan trọng về hàm đơn điệu:-Nếu f (x) lên tục và đơn điệu trên khoảng (a, b) thì nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệmthì nghiệm đó là duy nhất trên khoảng (a, b) Hơn nữa, f (x) = f (y) ⇔ x = y

-Nếu f (x), g(x) liên tục, đơn điệu và ngược chiều biến thiên trên khoảng (a, b) thì phươngtrình f (x) = g(x) có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a, b)

Với phương pháp này, kỹ năng đoán nghiệm cũng rất cần thiết Thông thường các bài giải

theo phương pháp hàm số này, thường rất khó mà giải ra nghiệm theo các cách thông thường,nên ta sẽ đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

Ví dụ 12 Giải hệ phương trình:

(

x3− 5x = y3− 5y (1)

x8+ y4 = 1 (2)Giải: Từ (2) ta có: x8 ≤ 1, y4 ≤ 1 ⇔ |x| ≤ 1, |y| ≤ 1

!, −4

!)

y = 3 +√

x (2)Giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0

⇔√3 + x2 + 3√

x =p3 + y2+ 3√

y(∗)Xét hàm số f (u) =√

⇒ f (t) đồng biến trên [0, +∞) nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

Vậy hệ có duy nhất nghiệm x = y = 1

Giải: Điều kiện: x, y ≥ −1

2.(2) ⇔ 12xy = x2+ 9y2+ 4 Suy ra, nếu hệ có nghiệm (x,y) thì x.y>0

⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y (do f (t) đồng biến)

TH2: x, y ∈ (0, +∞) ⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y (do f (t) nghịch biến)

Suy ra (1) ⇔ x = y Thay vào phương trình (2) ta được: 2x2 = 4 ⇔ x =√

2 (do x ≥ −1

2).Vậy hệ có duy nhất nghiệm x = y =√

2

2.4 Phương pháp đánh giá.

Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, và các biểu thức không âm Muốn sửdụng được cần phải rèn luyện kĩ năng đánh giá và phát hiện các biểu thức không âm đó.Lưu ý các kết quả thường dùng:

2 ≤ y ≤ 1

Lấy (1) trừ (2) ta được: 2x − 2y +p1 − y2−√1 − x2 = 0 ⇔ 2x −√

1 − x2 = 2y −p1 − y2(∗)Xét hàm số f (t) = 2t −√

1 − t2,1

2 ≤ t ≤ 1

" x = 1

x = 35Vậy hệ có tập nghiệm là S =

(1, 1), 3

5,

35

Đến đây ta phải đánh giá được 2 +√ x + y

1 − x2+p1 − y2 luôn dương, căn cứ vào miền giá trịcủa x, y mà ta đã có 1

2 ≤ x, y ≤ 1 Vậy, dù giải bằng cách gì đi nữa thì đối với bài toán này,

kỹ thuật đánh giá là cần thiết, và có vai trò quyết định khi giải

Giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ −3

Ví dụ 17 Giải hệ phương trình:

(

x3+ y2 = 2 (1)

x2+ xy + y2 − y = 0 (2)

Nhận xét: Hệ trên không đồng bậc, cũng không thể sử dụng phương pháp rút thế haycộng đại số, hàm số đơn điệu cũng không Nhưng ta có thể xem phương trình (2) lần lượt làphương trình bậc 2 đối với ẩn x và y, để xét xem với giá trị nào của x, y thì hệ phương trình

có nghiệm

Giải:

Xem (2) là phương trình bậc 2 ẩn x, khi đó: ∆x = 4y − 3y2

Xem (2) là phương trình bậc 2 ẩn y, khi đó ∆y = (x − 1)2− 4x2 = 1 − 2x − 3x2

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Giải: Điều kiện: x, y ≥ 1

Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:

((x − y)(x + y + 1) < 0

4√

y − 1 − 4√

x − 1 > 0 .Nếu x > y thì

((x − y)(x + y + 1) > 0

4√

y − 1 − 4√

x − 1 < 0 .Nếu x = y thì x2− y2+ x − y = 4√

Nhận xét, bài toán trên trước hết là có dạng đối xứng loại 2, nên cách giải thông thường làtrừ vế theo vế của hai phương trình cho nhau được phương trình (∗) Khi đó, ta có thể nhânlượng liên hợp bên vế phải, chú ý trường hợp x = y = 1 Nhưng không cần thiết phải làm nhưvậy Dễ dàng thấy được rằng, với x = y thì cả hai vế của phương trình đều bằng 0, nên ở đây

z2z = x + 1

x

Giải: Điều kiện: xyz 6= 0

Trước tiên ta thấy rằng nếu (x, y, z) là một nghiệm của hệ thì x, y, z cùng dấu và (−x, −y, −z)cũng là một nghiệm của hệ Vậy nên giả sử x, y, z > 0 Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchycho hai số không âm, ta có:

Vậy tập nghiệm của hệ là S = {(1, 1, 1), (−1, −1, −1)}

Qua các ví dụ trên, ta thấy một điều rằng: khi sử dụng phương pháp đánh giá, ta thườngdựa vào điều kiện, hoặc một phương trình nào đó trong hệ để tìm ra nghiệm cho 1 phươngtrình trong hệ Sau đó ta thay giá trị đó vào phương trình còn lại để kiểm tra xem đó cóphải là nghiệm của hệ hay không Trường hợp khác, ta đánh giá miền xác định của ẩn, sau

đó đưa hệ về dạng một phương trình mà có thể xác định nghiệm thông qua đánh giá giá trịtrên miền xác định của ẩn Từ đó kết luận nghiệm của hệ phương trình

z = −12.

,



0,1

2, −

12

⇔ x + y = 1 +√2

Kết hợp với phương trình (3) ta giải được x =√

2, y = 1Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S =(√2, 1)

2.6 Phương pháp lượng giác.

Mục đích của phương pháp này là thay đổi hình thức của hệ phương trình đại số thành hệphương trình lượng giác đơn giản, dễ giải hơn

Để thực hiện phương pháp này, ta tiến hành theo 2 bước:

- Lượng giác hóa hệ phương trình

- Giải hệ phương trình lượng giác

Muốn làm được phương pháp này, cần nắm vững các dạng hệ phương trình lượng giác cơbản cùng với các phương pháp giải hệ phương trình lượng giác Sau đây là một số biểu thứcthường được lượng giác hóa:

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

x = |a| cot t với 0 < t < π

r a + x

a − x hoặc

r a − x

a + x x = a cos 2tp(x − a)(b − x) x = a + (b − a) sin2t

Giải: Điều kiện: −1 ≤ x, y ≤ 1

Đặt x = cos α, y = cos β; với α, β ∈ [0, π] Khi đó hệ trở thành:

α = π3

y =

√32Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 1

2,

√32

!

Ví dụ 23 Giải hệ phương trình sau:

(xp1 − y2+ y√

1 − x2 = 1(1 − x)(1 + y) = 2

Giải: Điều kiện: −1 ≤, y ≤ 1

⇔

(

α + β = π

2sin α − cos β − sin α cos α − 1 = 0

⇔

(

α = π2

1 + y2 = yGiải:

 Khi đó hệ trở thành:

+ Xét sin α sin β 6= 0

Nhân vế theo vế của hai phương trình (1) và (2), ta được:

sin 2α sin 2β = tan α tan β ⇔ 4 cos α cos β = 1

2 ⇔ α = π

4 + kπ, k ∈ ZKhi đó: x = y = tan α ⇔ x = y = 1

x = y = −1Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = {(0, 0), (1, 1), (−1, −1)}

y = −12







x = 12

y = −32Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = 1

2, −

32

, 3

2, −

12



Ví dụ 26 (ĐH A -2010) Giải hệ phương trình

((4x2 + 1)x + (y − 3)√

5 − 2y = 0 (1)4x2+ y2+ 2√

Giải: Điều kiện: x ≤ 3

4; y ≤

5

2.(1) ⇔ (4x2 + 1).2x = (6 − 2y)√

5 − 2y(∗)Xét f (t) = t(t2+ 1), có f0(t) = 3t2+ 1 > 0, ∀t ∈ R Do đó f (t) đồng biến trên R

.Suy ra hàm g(x) nghịch biến trên



0,34

, nên (3∗) có nghiệm duy nhất

x = −1 −√5

2 , y = −

√5Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S =

((1, 1) , −1 +√5

√5

!, −1 −√5

2 , −

√5

!)

Ví dụ 28 (ĐH-CĐ B-2003) Giải hệ phương trình





3y = y

Hệ đã cho tương đương với

(3x2y = y2 + 23xy2 = x2+ 2 (∗)Trừ vế theo vế của hai phương trình trong hệ trên, ta được:

3xy(x − y) = y2− x2 ⇔ (x − y)(3xy + x + y) = 0

Do x, y ≥ 0 nên (3xy + x + y) ≥ 0 Do đó, (∗) ⇔

(3x2y = y2+ 2

x2 + 1 = 0 (2)Giải: Điều kiện: x 6= 0

(1, 1) ,



2, −32



LỜI KẾTChỉ xin được phép gọi những phương pháp trên là Những kỹ thuật biến đổi hệ phương trìnhkhông mẫu mực, vì nó chưa đủ tổng quát để có thể gọi là phương pháp giải Tuy nhiên, vớinhững kiến thức nêu trên, ta hoàn toàn có thể giải quyết hầu hết các hệ phương trình hai

ẩn không mẫu mực Những lý thuyết đưa ra chưa thật đầy đủ và sâu sắc, nhưng hy vọng bàiviết này có ích cho người đọc

Bài tập lớn khép lại nhưng mở ra cho chúng ta nhiều điều để nghiên cứu, có thể là đi sâu hơnvào một phương pháp nào đó, mở rộng cho việc giải các hệ phương trình ba ẩn, hoặc nghiêncứu một cách tổng quát để hình thành hệ thống giải một lớp các bài toán về hệ phương trìnhnào đó

Vì thời gian hạn chế và vốn kiến thức, kinh nghiệm của một sinh viên chưa đủ nhiều nên bàiviết chắc chắn còn nhiều sai sót, rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và bạn đọc Xinchân thành cám ơn