Chương 4: Mô hình cơ sở dữ liệu

Lôgic mờ (tiếng Anh: Fuzzy logic) được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo lôgic vị từ cổ điển. Lôgic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp (Klir 1997). Đây là 1 quyển sách rất có ích cho các bạn CNTT

Chương 4

MÔ HÌNH CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ THEO CÁCH TIẾP CẬN ðẠI SỐ GIA TỬ

4.1 Mô hình biểu diễn CSDL mờ theo cách tiếp cận ðại số gia tử

Xét một lược ñồ CSDL trên miền vũ trụ U = {A 1 , A 2 , …, A n} Mỗi

thuộc tính A i ñược gắn với một miền trị thuộc tính, ký hiệu là Dom(A i), trong

ñó một số thuộc tính cho phép nhận các giá trị ngôn ngữ trong lưu trữ hay trong các câu truy vấn và ñược gọi là thuộc tính mờ Các thuộc tính còn lại

ñược gọi là thuộc tính kinh ñiển Thuộc tính kinh ñiển A i ñược gắn với một miền giá trị kinh ñiển, ký hiệu là

dữ liệu của thuộc tính mờ, mỗi thuộc tính mờ sẽ ñược gắn với một ánh xạ ñịnh lượng ngữ nghĩa ðSGT

Theo cách tiếp cận này giá trị ngôn ngữ là dữ liệu, không phải là nhãn của các tập mờ biểu diễn ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ và ưu ñiểm cơ bản của nó là việc cho phép tìm kiếm, ñánh giá ngữ nghĩa của thông tin không chắc chắn chỉ bằng các thao tác dữ liệu kinh ñiển thường dùng và do ñó bảo ñảm tính thuần nhất của kiểu dữ liệu trong xử lý ngữ nghĩa của chúng

Vì tất cả các thuộc tính có miền trị chứa giá trị số trong CSDL ñều tuyến tính, nên một cách tự nhiên ta giả thiết ðSGT ñược sử dụng là ðSGT

tuyến tính, do ñó tập H + và H - là tập sắp thứ tự tuyến tính Như vậy, cho X = (

X , G, H, ≤ ) với G = {0, c - , W, c + , 1 }, H = H - ∪ H + với giả thiết H−=

{h 1 ,h 2 , , h p }, H + = {h -1 , , h -q }, h 1 > h 2 > > h p và h -1 < < h -q là dãy các gia tử

Cho một ðSGT tuyến tính ñầy ñủ AX AX = (X, G, H, Σ, Φ, ≤), trong ñó

Dom(X X ) = X là miền các giá trị ngôn ngữ của thuộc tính ngôn ngữ X X ñược sinh

từ tập các phần tử sinh G = {0, c - , W, c + , 1} bằng việc tác ñộng các gia tử

trong tập H, Σ và Φ là hai phép tính với ngữ nghĩa là cận trên ñúng và cận

dưới ñúng của tập H(x), tức là Σx = supremum H(x) and Φx = infimum H(x),

quan hệ ≤ là quan hệ sắp thứ tự tuyến tính trên X cảm sinh từ ngữ nghĩa của

ngôn ngữ

4.1.1 Ngữ nghĩa dữ liệu dựa trên việc ñịnh lượng ðại số gia tử

4.1.1.1 ðặt vấn ñề

Cho một CSDL DB = {U ; R1, R2, …., Rn ; Const}, với U = {A 1 , A 2,….,

A n} là tập vũ trụ các thuộc tính, R1, R2, …., Rn là các lược ñồ xác ñịnh trên U, Const là tập các ràng buộc trong CSDL Mỗi thuộc tính A i ñược gắn với một

miền trị, ký hiệu là Dom(A i ) Thuộc tính kinh ñiển A i ñược gắn với một miền giá trị kinh ñiển, ký hiệu là

ngôn ngữ của A i Tuy nhiên, ñể rút gọn khi trình bày, trong chương này nếu

cho U = {A 1 , A 2 ,…., A n } thì ta cũng gọi U là một lược ñồ quan hệ

Ví dụ 4.1 Cho lược ñồ quan hệ U = {STT, TEN, SOCTRINH, SONCSINH,

NAMSINH} và quan hệ Lylichkhoa hoc ñược xác ñịnh như sau:

Trong quan hệ Lylichkhoahoc, các thuộc tính STT (Số thứ tự), TEN (Tên),

NAMSINH (Năm sinh) ñược gọi là thuộc tính kinh ñiển và có miền trị tương

ứng DSTT, DTEN, DNAMSINH Các thuộc tính SOCTRINH (Số công trình ), SONCSINH (Số nghiên cứu sinh) ñược gọi là thuộc tính mờ và có miền trị

tương ứng DSOCTRINH ∪ LDSOCTRINH, DSONCSINH ∪ LDSONCSINH Do ñó, ñối với

mô hình CSDL mờ này, các khái niệm như lược ñồ, quan hệ, bộ dữ liệu ñược hiểu tương tự như trong CSDL quan hệ Tuy nhiên, miền trị của các thuộc tính

mờ ñược xác ñịnh là một tập bao gồm miền trị kinh ñiển và miền giá trị ngôn ngữ ñược sinh ra khi tác ñộng các gia tử vào các phần tử sinh Chẳng hạn,

trong quan hệ Lylichkhoahoc, miền trị thuộc tính LDSOCTRINH, LDSONCSINH

chứa hai phần tử ít và nhiều Vấn ñề ñặt ra ở ñây, tìm một phương pháp ñối sánh dữ liệu ñể ứng dụng thao tác dữ liệu trên miền trị của các thuộc tính mờ

Ví dụ tìm những cán bộ có nhiều công trình khoa học và hướng dẫn rất nhiều

nghiên cứu sinh Nếu chúng ta xem LDSOCTRINH, LDSONCSINH là hai ðSGT và các giá trị nhiều, rất nhiều thuộc hai ðSGT ñó, thì việc ñối sánh dữ liệu trên miền trị của thuộc tính mờ sẽ ñược dựa trên ñịnh lượng ngữ nghĩa của ðSGT

ðể ñề xuất các phép ñối sánh dữ liệu trên mô hình CSDL mờ, một số ñịnh nghĩa ñược giới thiệu Các ñịnh lý, hệ quả và bổ ñề liên quan ñược chúng

ta trình bày làm cơ sở cho phần tiếp theo

4.1.1.2 Ngữ nghĩa dữ liệu dựa trên việc ñịnh lượng ðSGT

Trong phần này, các khái niệm như: bằng nhau theo mức k, khác nhau theo mức k và bé hơn theo mức k ñược trình bày Về nguyên tắc, chúng ta có thể ñịnh nghĩa với mức k là số nguyên dương bất kỳ Tuy nhiên, trong ngôn

ngữ tự nhiên, người ta thường chỉ sử dụng một số gia tử tác ñộng liên tiếp, ñiều này dẫn ñến trong CSDL chỉ có một số giới hạn các gia tử tác ñộng liên tiếp vào phần tử sinh Vì vậy, một cách hợp lý chúng ta giả thiết số gia tử tác

ñộng liên tiếp vào phần tử sinh không vượt quá p cho trước Do ñó, trong chương này, giá trị k ñược xét là 1 ≤ k ≤ p, với k, p nguyên

Vì tính mờ của các giá trị trong ðSGT là một ñoạn con của [0,1] cho nên họ các ñoạn con như vậy của các giá trị có cùng ñộ dài sẽ tạo thành phân hoạch của [0,1] Phân hoạch ứng với các giá trị có ñộ dài từ lớn hơn sẽ mịn hơn và khi ñộ dài lớn vô hạn thì ñộ dài của các ñoạn trong phân hoạch giảm

dần về 0 Do ñó, các phân hoạch ñược xây dựng dựa trên tính mờ các giá trị

trong ðSGT hay là dựa trên tính mờ các giá trị trong Dom(A i)

Với A i là thuộc tính mờ, ñể ñối sánh hai giá trị trong Dom(A i) ta xây

dựng phân hoạch của Dom(A i ) Nếu ñặt miền giá trị kinh ñiển D Ai = [a,b], bằng một phép biến ñổi tuyến tính hoặc sử dụng một hàm chuyển ñổi nào ñó

thì ta có thể xem mỗi D Ai = [0,1] Do ñó, xây dựng phân hoạch của Dom(A i) trở thành xây dựng phân hoạch của [0,1]

ðịnh nghĩa 4.1 Cho Xk = {x∈X: |x| = k}, xét Pk = {I(x): x∈X k} là một phân hoạch của [0,1] Gọi υ là hàm ñịnh lượng ngữ nghĩa trên X

(1) u bằng v theo mức k, ñược ký hiệu u = k v, khi và chỉ khi I(u) và I(v)

cùng chứa trong một khoảng mờ mức k Có nghĩa là với ∀u, v∈X, u = k v ⇔

∃∆k ∈ Pk : I(u) ⊆ ∆k và I(v) ⊆ ∆k

(2) u khác v theo mức k, ñược ký hiệu u ≠ k v, khi và chỉ khi I(u) và I(v)

không cùng chứa trong một khoảng mờ mức k

(3) u nhỏ hơn v theo mức k, ñược ký hiệu u < k v, khi và chỉ khi I(u) và I(v) không cùng chứa trong một khoảng mờ mức k và υ(u) < υ(v)

Ví dụ 4.2 Cho ðSGT X = (X, G, H, ≤ ), Trong ñó H = H + ∪ H - , H + = {hơn,

rất}, hơn < rất, H - = {ít, khả năng}, ít > khả năng, G = { trẻ, già} Ta có P1 =

{I(trẻ), I(già)} là một phân hoạch của [0,1] Tương tự, P2 = {I(hơn trẻ), I(rất

trẻ), I(ít trẻ), I(khả năng trẻ), I(hơn già), I(rất già), I(ít già), I(khả năng già)}

là phân hoạch của [0,1]

(a) Ta có P1 là phân hoạch của [0,1] Do ñó hơn trẻ=1 rất trẻ vì ∃∆1 = I(trẻ) ∈

P1 : I(hơn trẻ) ⊆ ∆1 và I(rất trẻ) ⊆ ∆1

Ta có P2 là phân hoạch của [0,1] Do ñó ít già=2 rất ít già vì ∃∆2 =I(ít già)∈P2

: I(ít già) ⊆ ∆2 và I(rất ít già) ⊆ ∆2

(b) Ta có P2 là phân hoạch của [0,1] Chọn ∆2 = I(rất trẻ)∈P2, ta có I(ít trẻ) ⊄

∆2 và I(rất trẻ) ⊆ ∆2 (1’)

Mặc khác với mọi ∆2 ≠ I(ít trẻ)∈P2, ta có I(ít trẻ) ⊄ ∆2 và I(rất trẻ) ⊄ ∆2 (2’)

Từ (1’) và (2’) suy ra ít trẻ ≠2 rất trẻ Hơn nữa, vì ít trẻ ≠2 rất trẻ và υ(ít trẻ)

> υ(rất trẻ) nên ít trẻ >2 rất trẻ

Bổ ñề 4.1 Quan hệ =k là một quan hệ tương ñương trong Pk

Chứng minh: Tính phản xạ : Ta chứng minh bằng quy nạp

∀x∈Dom(A i)nếu |x| = 1 thì x = c + hoặc x = c -

Ta có ∃∆1 = I(c +)∈P1: I(c + ) = I(x) ⊆ ∆1 hoặc ∃∆1 = I(c -)∈P1 : I(c - ) = I(x) ⊆ ∆1 Vậy =k ñúng với k = 1, hay x = 1 x

Giả sử |x| = n ñúng, có nghĩa =k ñúng với k = n, hay x = n x, ta cần chứng minh

=k ñúng với k = n+1 ðặt x = h 1 x’, với |x’| = n Vì x = n x nên theo ñịnh nghĩa ta

có: ∃∆n ∈ Pn: I(x) ⊆ ∆n Mặc khác ta có Pn+1 = {I(h 1 x’), I(h 2 x’),…….}, với h 1 ≠

h 2 ≠…là một phân hoạch của I(x’) Do ñó ∃∆(n+1) = I(h 1 x’)∈P(n+1): I(h 1 x’) = I(x)

Tính ñối xứng: ∀x, y ∈Dom(A i ), nếu x =k y thì theo ñịnh nghĩa ∃∆k ∈ Pk : I(x)

⊆ ∆k và I(y) ⊆ ∆k hay ∃∆k ∈ Pk : I(y) ⊆ ∆k và I(x) ⊆ ∆k Vậy y = k x thì y = k x Tính bắc cầu: Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp

Trường hợp k = 1

Ta có P1 = {I(c + ), I(c - )}, nếu x =1 y và y =1 z thì ∃∆1 = I(c +)∈P1: I(x) ⊆ ∆1 và

I(y) ⊆ ∆1 và I(z) ⊆ ∆1 hoặc ∃∆1 = I(c -)∈P1 : I(x) ⊆ ∆1 và I(y) ⊆ ∆1 và I(z) ⊆ ∆1,

có nghĩa là ∃∆1∈P1: I(x) ⊆ ∆1 và I(z) ⊆ ∆1 hay x = 1 z Vậy = k ñúng với k = 1

Giả sử quan hệ =k ñúng với trường hợp k = n có nghĩa là ta có ∀x, y, z

∈Dom(A i) nếu x = n y và y = n z thì x = n z

Ta cần chứng minh quan hệ =k ñúng với trường hợp k = n+1 Tức là ∀x, y, z

∈Dom(A i) nếu x = n +1 y và y = n+1 z thì x = n+1 z

Theo giả thiết nếu x = n +1 y và y = n+1 z thì ∃ ∆(n+1)∈P(n+1): I(x) ⊆ ∆(n+1) và I(y) ⊆

∆(n+1) và I(z) ⊆ ∆(n+1), có nghĩa là ∃ ∆(n+1)∈P(n+1): I(x) ⊆ ∆(n+1) và I(z) ⊆ ∆(n+1) Vậyx = n+1 z

Bổ ñề 4.2 Cho u = h n …h 1 x và v = h’ m …h’ 1 x là biểu diễn chính tắc của u và v

(2) Nếu |u| = |v| = 2, tức là u = h 1 x và v = h’ 1 x, do h 1 ≠ h’ 1 nên u ≠ v Ta

có I(h 1 x) ⊆ I(x), I(h’ 1 x) ⊆ I(x) và I(h 1 x) ⊄ I(h’ 1 x) nên ∃∆1 = I(x)∈P1: I(h 1 x) ⊆

∆1 và I(h’ 1 x) ⊆ ∆1 hay h 1 x = 1 h’ 1 x Vậy u = |x| v

Nếu |u| ≠ |v|, do h 1 ≠ h’ 1 nên I(h 1 x) ⊄ I(h’ 1 x) (1’) Giả sử ∃ k >1 sao cho

u = k v thì ∃∆k∈Pk = { I(h k-1 h 1 x), I(h’ k-1 … h’ 1 x)}, với Pk là một phân hoạch

của I(x) : I(u) ⊆ ∆k và I(v) ⊆ ∆k

Nếu chọn ∆k = I(h k-1 … h 1 x) thì I(u) ⊆ I(h k-1 … h 1 x) và I(v) ⊆ I(h k-1 …

h 1 x) hay I(h n …h 1 x) ⊆ I(h k-1 … h 1 x) và I(h’ m ….h’ 1 x) ⊆ I(h k-1 … h 1 x) ñiều này

mâu thuẩn vì I(h’ m ….h’ 1 x) ⊄ I(h k-1 … h 1 x) do (1’)

Nếu chọn ∆k = I(h’ k-1 … h’ 1 x) thì I(h n …h 1 x) ⊆ I(h’ k-1 … h’ 1 x) và I(h’ m ….h’ 1 x) I(h’ m ….h’ 1 x) ⊆ I(h’ k-1 … h’ 1 x), ñiều này mâu thuẩn vì I(h n …h 1 x)

⊄ I(h’ k-1 … h’ 1 x) do (1’) Vậy không tồn tại k > 1 sao cho u = k v hay k = 1 Vậy

u = |x| v

Ví dụ 4.3 Cho u = rất hơn trẻ và v = hơn rất trẻ Ta có h 1 = hơn, h’ 1 = rất, x =

trẻ Vì h 1 ≠ h’ 1 nên theo tính chất (2) của bổ ñề 4.2 ta có u = |trẻ| v, hay u =1 v

ðịnh lý 4.1 Cho X k ={x∈X: |x| = k}, xét Pk ={I(x): x∈X k} là một phân hoạch

của [0,1], u = h n ….h 1 x và v = h’ m ….h’ 1 x là biểu diễn chính tắc của u và v ñối

với x

(1) Nếu u = k v thì u = k’ v, ∀ 0 < k’< k

(2) Nếu tồn tại một chỉ số j ≤ min(m,n) lớn nhất sao cho với mọi s = 1 j ta có h s = h’ s thì u = j+|x| v

Chứng minh: (1) Ta có Pk = {I(h k-1 …h 1 x), I(h’ k-1 …h 1 x)} Vì u = k v nên theo

ñịnh nghĩa ∃∆k ∈ Pk : I(u) ⊆ ∆k và I(v) ⊆ ∆k (1’)

Ta có P1 = {I(x)}, P2 = {I(h 1 x), I(h’ 1 x)},…Pk ={I(h k-1 …h 1 x), I(h’

k-1 …h 1 x)} Mặt khác, I(h k-1 …h 1 x) ⊆ I(h k-2 …h 1 x) ⊆… ⊆ I(h 1 x) ⊆ I(x) và I(h’

k-1 …h’ 1 x) ⊆ I(h’ k-2 …h’ 1 x) ⊆ ⊆ I(h’ 1 x) ⊆ I(x) nên ∃∆k = I(h k-1 …h 1 x) ∈Pk hoặc

∃∆k = I(h’ k-1 …h’ 1 x) ∈Pk và ∃∆k-1 = I(h k-2 …h 1 x)∈Pk-1 hoặc ∃∆k-1 = I(h’

k-2 …h’ 1 x)∈Pk-1… và ∃∆2 = I(h 1 x)∈P2 hoặc ∃∆2 = I(h’ 1 x)∈P2 và ∃∆1 = I(x)∈P1

sao cho: ∆k ⊆ ∆k-1 ⊆….⊆ ∆2 ⊆ ∆1 (2’)

rất, h’ 2 = hơn, x = trẻ Ta thấy tồn tại chỉ số j =1 lớn nhất sao cho h 1 = h’ 1, do

ñó theo tính chất (2) của ñịnh lý 4.1 ta có u = j+|trẻ| v, hay u =2 v

Hệ quả 4.1 Nếu u ∈H(v) thì u = |v| v

Ví dụ 4.5 Cho u = rất rất trẻ và v = rất trẻ Vì u ∈H(v) nên theo hệ quả 4.1 ta

có u = |rất trẻ| v, hay u =2 v

Bổ ñề 4.3 Cho X k ={x∈X: |x| = k}, xét Pk ={I(x): x∈X k } là một phân hoạch

của [0,1], u = h n ….h 1 x và v = h’ m ….h’ 1 x là biểu diễn chính tắc của u và v ñối

với x

(1) Nếu tồn tại chỉ số k ≤ min(m,n) lớn nhất sao cho u = k v thì u ≠ k+1 v

(2) Nếu u < k v hoặc u > k v thì với ∀ a ∈ H(u), với ∀ b ∈ H(v) ta có a

ðịnh nghĩa 4.2 Cho Dom(A i) =

min

ψ ψ

ψ ω

là miền trị ngôn ngữ của A i

Ví dụ 4.7 Cho miền trị cơ sở U(Tuoi) = {0…100, …rất rất trẻ,……, rất rất

già}

D TUOI = {20, 25, 27, 30, 45, 60, 75, 66, 80}

LD TUOI = {trẻ, rất trẻ, già, hơn trẻ, hơn già, ít già, rất già, rất rất trẻ}

Dom(TUOI) = D TUOI ∪ LD TUOI Nếu LD TUOI = ∅ khi ñó Dom(TUOI) = D TUOI

= {20, 25, 27, 30, 45, 60, 75, 66, 80} Do ñó ∀ω ∈Dom(Tuoi), chuyển ñổi giá trị ω về một số trong [0,1] nhờ hàm f(ω), ta có Dom(Tuoi) = {0.2, 0.25, 0.27,

trẻ, già, hơn trẻ, hơn già, ít giá, rất già, rất rất trẻ, 20, 25, 27, 30, 45, 60, 75,

66, 80} Giả sử tính ñược υ(ψmaxLV) = υ(rất rất già) = 0.98

Nếu chúng ta chọn các tham số W và ñộ ño tính mờ cho các gia tử sao

cho υ(ψmaxLV) =1.0 thì ({ω*υ(ψmaxLV)}/ψmax)=

min max

min

ψ ψ

ψ ω

−

−

Tiếp theo, chúng ta ñi xây dựng một hàm Φk ñể chuyển một giá trị

trong [0,1] thành một giá trị ngôn ngữ tương ứng trong ðSGT X

ðịnh nghĩa 4.3 Cho ðSGT X = (X, G, H,≤ ), υ là hàm ñịnh lượng ngữ nghĩa

của X Φk: [0,1]→X gọi là hàm ngược của hàm υ theo mức k ñược xác ñịnh:

∀a∈[0,1], Φ k (a) = x k khi và chỉ khi a ∈I(x k ), với x k ∈X k

Ta có P2 = {I(hơn lớn), I(rất lớn), I(ít lớn), I(khả năng lớn), I(hơn nhỏ),

I(rất nhỏ), I(ít nhỏ), I(khả năng nhỏ)} là phân hoạch của [0,1] Ta có fm(rất lớn) = 0.12, fm(khả năng lớn) = 0.08 Ta có |I(rất lớn)| = fm(rất lớn) = 0.12,

hay I(rất lớn) = [0.88,1] Do ñó theo ñịnh nghĩa Φ2(0.9) = rất lớn vì 0.9 ∈

I(rất lớn)

Tương tự ta có |I(khả năng lớn)| = fm(khả năng lớn) = 0.08, hay I(khả

năng lớn) = [0.72,0.8] Do ñó theo ñịnh nghĩa Φ2(0.75) = khả năng lớn vì 0.75

∈ I(khả năng lớn)

Trong phần này, giả sử chúng ta chỉ xét các phần tử ñược sinh từ phần

tử lớn

Ít lớn khả năng lớn lớn hơn lớn rất lớn 0.6 0.72 0.75 0.8 0.88 0.9 1

Mặc khác theo giả thiết x k ≠k y k nên I(x k ) ≠ I(y k ) Vì a < b nên I(x k) <

I(y k), hay Φk(a) <k Φk(b)

4.1.2 Phương pháp xử lý giá trị khoảng

Trong cơ sở dữ liệu mờ, có nhiều quan hệ mà miền trị của các thuộc tính không phải là giá trị ngôn ngữ, không phải giá trị số mà là giá trị khoảng, chẳng hạn như quan hệ lưu trữ nhiệt ñộ sốt một căn bệnh của các bệnh nhân trong một bệnh viện nào ñó, quan hệ thu nhập cá nhân trong một cơ quan ðối với loại dữ liệu này, việc lưu trữ phức tạp nên việc xử lý dữ liệu loại này càng phức tạp hơn Vì vậy, trong phần này, một phương pháp ñể xử lý giá trị khoảng giúp cho việc thao tác dữ liệu dễ dàng ñược trình bày Trước hết, một

ví dụ ñược xem xét ñể từ ñó phân tích ngữ nghĩa của các giá trị khoảng trong một quan hệ

Ví dụ 4.8 Cho lược ñồ quan hệ U = { STT, TEN, TUOI, THUNHAP } và quan

hệ Thunhapcanhan ñược xác ñịnh như sau:

Chúng ta thấy rằng các giá trị trên thuộc tính TUOI và THUNHAP rất ña dạng,

tuy nhiên, chúng ta chỉ quan tâm ñến vấn ñề xử lý các giá trị khoảng Vì vậy,

tất cả các giá trị trên quan hệ Thunhapcanhan có thể chuyển về các giá trị khoảng tương ứng Một cách tổng quát, nếu là giá trị a ta chuyển thành [a,a], nếu là giá trị khoảng a ta chuyển thành [a-ε, a+ε], với ε ñược xem là bán kính với tâm a Nếu giá trị từ a ñến b, thì ñược chuyển thành [a,b] Do ñó, quan hệ

Thunhapcanhan có thể chuyển thành quan hệ sau:

4.1.2.1 Chuyển các giá trị khoảng về ñoạn con [0,1] tương ứng

Gọi Dom(A i ) = [min, max] là miền trị kinh ñiển của thuộc tính mờ A i trong một quan hệ, trong ñó min, max tương ứng là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Dom(A i ) Trước hết, ta sử dụng hàm f ñể chuyển ñổi giá trị thuộc

Dom(A i) thành giá trị thuộc [0,1] Tiếp theo, khoảng [a,b] ñược biến ñổi thành

ñoạn con [0,1] tương ứng khi sử dụng hàm f , hay [f (a),f (b)] ⊆[0,1]

Ví dụ 4.9 Sử dụng quan hệ Thunhapcanhan (sau khi chuyển ñổi)

Chọn D TUOI = [0,100] và D THUNHAP = [500.000,6.000.000], khi ñó ta có các kết quả chuyển các giá trị khoảng tương ứng về ñoạn con của [0,1] như sau:

4.1.2.2 ðối sánh các giá trị khoảng

Cho ðSGT X = (X, G, H, ≤ ) và một giá trị khoảng [a,b] ðể so sánh một giá trị x∈X với [a,b], trước hết chuyển [a,b] về ñoạn con của [0,1] Vì tính

mờ của x là một ñoạn con của [0,1], do ñó ñể so sánh x∈X và ñoạn con [0,1],

chúng ta chỉ cần dựa vào phần giao của hai ñoạn con của [0,1] tương ứng

Với x∈X, ký hiệu I(x) ⊆ [0,1] và |I(x)| = fm(x), [Ia,Ib] = [f(a),f(b)] ⊆

[0,1] tương ứng với việc chuyển ñổi giá trị khoảng [a,b] về ñoạn con của [0,1] (1) Với mỗi [Ia,Ib] nếu tồn tại x∈X sao cho [Ia,Ib] ⊆ I(x) thì [a,b] = |x| x

Ia Ib

I(x)

(2) Với mỗi [Ia,Ib] sao cho [Ia,Ib]⊄ I(x) ∀x, x 1 ∈X thì:

Khi ñó với x và x 1 , giả sử x < x 1 nếu |[Ia,Ib]∩I(x)| ≥ |[Ia,Ib]|/ £ thì [a,b] = |x| x

Ia Ib

I(x) I(x 1)

ngược lại nếu |[Ia,Ib] ∩ I(x1)| ≥ |[Ia,Ib]|/£ thì [a,b] = |x1| x 1

Ia Ib

I(x) I(x 1)

với £ là số ñoạn I(x i) ⊆ [0,1] sao cho [Ia,Ib] ∩ I(x i) ≠ ∅

(3) Với mỗi [Ia,Ib] nếu tồn tại x∈X sao cho [Ia,Ib] ∩ I(x) = ∅ thì:

Nếu tồn tại z∈X sao cho [Ia,Ib] ⊆ I(z) và I(x) ⊆ I(z) thì [a,b] = |z| x

Ia Ib

I(x)

I(z) Hình vẽ 4.5 Khi [Ia,Ib] ∩ I(x) = ∅

Ví dụ 4.10 Cho ðSGT X Tuoi = ( X Tuoi , G Tuoi , H Tuoi , ≤ ), với GTuoi = {trẻ, già},

H +Tuoi = {rất, hơn}, H -Tuoi = {khả năng, ít}, rất > hơn và ít > khả năng WTuoi = 0.6

fm(trẻ) = 0.6, fm(già) = 0.4, fm(rất) = 0.25, fm(hơn) = 0.25, fm(khả năng) =

0.25, fm(ít) = 0.25 Ta có fm(rất trẻ) = 0.15, fm(hơn trẻ) = 0.15, fm(ít trẻ) = 0.15, fm(khả năng trẻ) = 0.15

Vì rất trẻ < hơn trẻ < trẻ < khả năng trẻ < ít trẻ nên I(rất trẻ) = [0,0.15],

I(hơn trẻ) = [0.15,0.3], I(khả năng trẻ) = [0.3,0.45], I(ít trẻ) = [0.45,0.6]

Ta có fm(rất già) = 0.1, fm(hơn già) = 0.1, fm(ít già) = 0.1, fm(khả năng già) =

0.1

Vì ít già < khả năng già < già < hơn già < rất già nên I(ít già) = [0.6,0.7],

I(khả năng già) = [0.7,0.8], I(hơn già) = [0.8,0.9], I(rất già) = [0.9,1]

4.1.3 Ngữ nghĩa dữ liệu dựa trên lân cận tôpô của ðSGT

4.1.3.1 ðộ tương tự mức k

Chúng ta có thể lấy các khoảng mờ của các phần tử ñộ dài k làm ñộ

tương tự giữa các phần tử, nghĩa là các phần tử mà các giá trị ñại diện của

chúng thuộc cùng một khoảng mờ mức k là tương tự mức k Tuy nhiên, theo cách xây dựng các khoảng mờ mức k, giá trị ñại diện của các phần từ x có ñộ dài nhỏ hơn k luôn luôn là ñầu mút của các khoảng mờ mức k Một cách hợp

lý, khi ñịnh nghĩa lân cận mức k chúng ta mong muốn các giá trị ñại diện như vậy phải là ñiểm trong (theo nghĩa tôpô) của lân cận mức k Vì vậy ta ñịnh nghĩa ñộ tương tự mức k như sau:

Chúng ta luôn luôn giả thiết rằng mỗi tập H− và H + chứa ít nhất 2 gia

tử Xét X k là tập tất cả các phần từ ñộ dài k Dựa trên các khoảng mờ mức k và các khoảng mờ mức k+1 chúng ta mô tả không hình thức việc xây dựng một

phân hoạch của miền [0,1] như sau :

Với k = 1, các khoảng mờ mức 1 gồm I(c−) và I(c +) Các khoảng mờ

mức 2 trên khoảng I(c−) là I(h p c−) ≤ I(h p-1 c−) ≤ … ≤ I(h 2 c−) ≤ I(h1c−) ≤ υA (c−)

≤ I(h-1c−) ≤ I(h -2 c−) ≤ … ≤ I(h -q+1 c−) ≤ I(h -q c−) Khi ñó, ta xây dựng phân

hoạch về ñộ tương tự mức 1 gồm các lớp tương ñương sau:

S(0) = I(h p c−); S(c−) = I(c−) \ [I(h -q c−) ∪ I(h p c−)]; S(W) = I(h -q c−) ∪ I(h -q c +);

và một cách tương tự, S(c + ) = I(c + ) \ [I(h -q c + ) ∪ I(h p c + )] và S(1) = I(h p c +)

Ta thấy, trừ hai ñiểm ñầu mút υA (0) = 0 và υA (1) = 1, các giá trị ñại

diện υA (c−), υA (W) và υA (c +) ñều là ñiểm trong tương ứng của các lớp tương

tự mức 1 S(c−), S(W) và S(c +)

Tương tự, với k = 2, ta có thể xây dựng phân hoạch các lớp tương tự mức 2 Chẳng hạn, trên một khoảng mờ mức 2, chẳng hạn, I(h i c +) = (υA(Φh i c + ), υA(Σh i c + )] với hai khoàng mờ kề là I(h i-1 c + ) và I(h i+1 c +) chúng ta

sẽ có các lớp tương ñương dạng sau: S(h i c + ) = I(h i c + ) \ [I(h p h i c + ) ∪ I(h -q h i c +)],

S(Φh i c + ) = I(h -q h i-1 c + ) ∪ I(h -q h i c + ) và S(Φh i c + ) = I(h p h i c + ) ∪ I(h p h i c + ), với i sao cho -q ≤ i ≤ p và i ≠ 0

Bằng cách tương tự như vậy ta có thể xây dựng các phân hoạch các lớp

tương tự mức k bất kỳ

Các giá trị kinh ñiển và các giá trị ngôn ngữ ñược gọi là có ñộ tương tự

mức k nếu các giá trị ñại diện của chúng (ở ñây ñại diện của giá trị thực là

chính nó) cùng nằm trong một lớp tương tự mức k

4.1.3.2 Lân cận mức k của khái niệm mờ

Giả sử phân hoạch các lớp tương tự mức k là các khoảng S(x1), S(x 2),

…, S(x m ) Khi ñó, mỗi giá trị ngôn ngữ u chỉ và chỉ thuộc về một lớp tương tự, chẳng hạn ñó là S(x i ) và nó gọi là lân cận mức k của u và ký hiệu là Ωk (u)

Dựa trên khái niệm ñộ tương tự, các quan hệ ñối sánh ñược ñịnh nghĩa như sau :

ðịnh nghĩa 4.4 Cho U là tập vũ trụ các thuộc tính, r là quan hệ xác ñịnh trên

U, giả sử t 1 và t 2 là hai bộ dữ liệu thuộc quan hệ r Ta ký hiệu t 1 [A i] =k t 2 [A i]

và gọi là chúng bằng nhau mức k, nếu một trong các ñiều kiện sau xảy ra :

Do quan hệ tương tự mức k ñược xây dựng bằng một phân hoạch của

ñoạn [0,1], nên có thể thấy quan hệ =k là tương ñương trên [0,1] Ngoài ra, ta

cần nhấn mạnh rằng ñẳng thức t 1 [A i] =k t 2 [A i ] có nghĩa L k ≤ t 1 [A i ], t 2 [A i ] ≤ R k,

trong ñó L k và R k là hai ñiểm mút của khoảng Ωk (t 1 [A i]) hay Ωk (t 2 [A i]) Nghĩa

là, việc kiểm chứng t 1 [A i] =k t 2 [A i] ñược ñưa về việc kiểm chứng các quan hệ ñối sánh kinh ñiển Hơn nữa, tính mềm dẻo trong thích nghi với các ứng dụng

cụ thể có thể ñạt ñược bằng việc ñiều chỉnh các tham số của ánh xạ ñịnh lượng

i

A

υ ðây chính là ưu ñiểm nổi bật của cách tiếp cận ñại số ñến thông tin mờ Dựa trên quan hệ tương ñương này ta có thể dễ dàng ñịnh nghĩa các quan hệ ñối sánh khác Trước hết, ñể ñơn giản ta quy ước là ký pháp Ωk (t[A i]) có nghĩa

cả khi t[A i ] ∈ D Ai Khi ñó Ωk (t[A i]) ñược hiểu là tập bao gồm chỉ ñúng một giá

trị thực t[A i ] Với quy ước ñó, với mọi cặp lân cận mức k, Ωk (x) and Ωk (y), ta

sẽ viết Ωk (x) < Ωk (y) khi u < v, với mọi u ∈Ωk (x) và mọi v ∈Ωk (y)

ðịnh nghĩa 4.5 Cho U là tập vũ trụ các thuộc tính, r là quan hệ xác ñịnh trên

U, giả sử t 1 và t 2 là hai bộ dữ liệu thuộc quan hệ r Khi ñó,

(1) Ta viết t 1 [A i] ≤k t 2 [A i ], nếu t 1 [A i] =k t 2 [A i] hoặc Ωk (t 1 [A i]) <

Ωk (t 2 [A i]);

(2) Ta viết t 1 [A i] < k t 2 [A i], nếu Ωk (t 1 [A i]) < Ωk (t 2 [A i]);

(3) Ta viết t 1 [A i] > k t 2 [A i], nếu Ωk (t 1 [A i]) > Ωk (t 2 [A i])

Sau ñây là ñịnh lý khẳng ñịnh họ các khoảng Ωk(x) là một phân hoạch của

Dom(A i ) và giá trị ñịnh lượng của x ∈X luôn là ñiểm trong của lân cận mức k

của x

ðịnh lý 4.3 Cho một ðSGT tuyến tính ñầy ñủ, tập các gia tử H− và H + có ít nhất hai phần tử Khi ñó, họ các khoảng {Ωk(x): x ∈X } ñược gọi là lân cận

mức k của miền trị ngôn ngữ của thuộc tính A i và là một phân hoạch của

Dom(A i ) Hơn nữa, mỗi giá trị x của A i có duy nhất một lân cận mức k,

i

A

là ñiểm trong của Ωk (x) với mọi x∈X

Mệnh ñề 4.1 Quan hệ = k là tương ñương trên Dom(A i)

4.2 Phụ thuộc dữ liệu trong cơ sở dữ liệu mờ

4.2.1 Phụ thuộc hàm mờ

Như chúng ta ñã biết, trong mô hình quan hệ, hai dạng phụ thuộc dữ liệu quan trọng giúp cho việc chuẩn hoá tốt các CSDL là phụ thuộc hàm và phụ thuộc ña trị Khi mở rộng mô hình quan hệ ñể có thể biểu diễn và xử lý

ñược những thông tin không chắc chắn, không ñầy ñủ gọi chung là dữ liệu mờ

ñã có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu mở rộng hai dạng phụ thuộc này trên mô hình mới ðối với mô hình trong các công trình này là sự mở

rộng mô hình quan hệ theo hai cách : mở rộng ngữ nghĩa và mở rộng miền trị

của thuộc tính Tuy nhiên, cách mở rộng miền trị của thuộc tính là tốt hơn mở

rộng ngữ nghĩa, bởi vì, cách mở rộng này cho phép bổ sung thêm các cú pháp

trong biểu diễn dữ liệu nhằm cho phép biểu diễn ñược dữ liệu mờ Vì thế, vấn

ñề mở rộng miền trị của thuộc tính, ngoài việc ñưa ký hiệu vào hệ thống, việc quan trong hơn là giải quyết vấn ñề ngữ nghĩa của các ký hiệu

Như vậy, khái niệm phụ thuộc hàm mờ (fuzzy functional dependencies)

ñược nhiều tác giả nghiên cứu phát triển dựa trên ý nghĩa của khái niệm phụ thuộc hàm cổ ñiển với nhiều cách tiếp cận khác nhau Tuy nhiên, các cách tiếp cận mở rộng phụ thuộc hàm kinh ñiển này dựa vào 2 nguyên tắc chính:

Nguyên tắc thứ nhất (mở rộng ký hiệu): Nguyên tắc mở rộng này thay

cho quan hệ bằng nhau trên dữ liệu rõ bởi quan hệ gần nhau hoặc quan hệ tương tự trên dữ liệu mờ và ñặt ngưỡng ñể xác ñịnh ñộ gần nhau

Nguyên tắc thứ hai (mở rộng ngữ nghĩa): Nguyên tắc này dựa vào ý

nghĩa của các phụ thuộc dữ liệu ñể xây dựng ñịnh nghĩa tương ứng cho mô hình mới sao cho bảo toàn một số kết quả quan trọng ñã ñược xây dựng trong

mô hình quan hệ

Ví dụ 4.11 Với cách tiếp cận mở rộng ngữ nghĩa, một phụ thuộc hàm mờ

X~>Y thoả trên quan hệ r khi và chỉ khi ñộ gần nhau của dữ liệu của các bộ

trên tập thuộc tính X kéo theo ñộ gần nhau của các bộ trên tập thuộc tính Y

Do ñó, phép kéo theo mờ ñóng vai trò quan trọng trong cách tiếp cận này

Với mô hình CSDL mờ ñược xây dựng trong mục 4.1, một số dạng phụ thuộc dữ liệu mờ trong mô hình này sẽ ñược ñề xuất

Xét CSDL mờ {U; R1, R2 …, Rn, Const}, trong ñó U = {A 1 , A 2 , …, A n}

là tập vũ trụ các thuộc tính, const là tập các ràng buộc dữ liệu Một khi ngữ

nghĩa của CSDL ñược mở rộng, như cho phép lưu trữ trong CSDL các thông tin không chắc chắn hay cho phép các câu truy vấn chứa các thông tin như vậy, khi ñó ngữ nghĩa của các phụ thuộc dữ liệu cũng thay ñổi, nghĩa là phải

mở rộng ñịnh nghĩa các dạng phụ thuộc dữ liệu

Trong thực tế, chúng ta thường gặp các tri thức dạng như Nếu một tập

thể T 1 và T 2 lao ñộng chăm chỉ như nhau và Tính kỷ luật lao ñộng là tốt thì Thu nhập của tập thể T 1 và T 2 cao như nhau Ở ñây ta không nhìn nhận mối

quan hệ trên như là một luật của một cơ sở tri thức nào ñó mà xem như là mối

quan hệ giữa các thuộc tính trong CSDL với thuộc tính Số ngày làm việc trong

tháng, Tính kỷ luật lao ñộng và Thu nhập Hoặc trong một trường hợp khác Nếu một tập thể T 1 và T 2 lao ñộng không chăm chỉ và Tính kỷ luật kém giống

nhau thì Thu nhập của tập thể T 1 và T 2 thấp như nhau Trong cả hai trường

hợp trên, mối quan hệ giữa các thuộc tính là không chính xác không giống như mối quan hệ của các phụ thuộc kinh ñiển, và những phụ thuộc như vậy ñược gọi là phụ thuộc hàm mờ Ta giả thiết rằng, trong một trường hợp cụ thể,

mức ñộ xấp xỉ mức k ñược xác ñịnh ứng với mỗi thuộc tính mờ phù hợp với

các phụ thuộc dữ liệu mờ Nghĩa là, trên cùng một CSDL mờ, có thể có những

hệ phụ thuộc dữ liệu mờ, tùy theo quan ñiểm khai thác dữ liệu của người dùng

Với X ⊆ U, r là quan hệ xác ñịnh trên U, t 1 và t 2 là hai bộ thuộc r Ta nói rằng bộ t 1 và t 2 bằng nhau mức k trên tập X, ký hiệu t 1 [X] = k t 2 [X], nếu với mọi A ∈ X, ta có t 1 [A] = k t 2 [A]

ðịnh nghĩa 4.6 Cho U là một lược ñồ quan hệ, r là một quan hệ xác ñịnh trên

U, xét X, Y ⊆ U Ta nói rằng, quan hệ r thỏa mãn phụ thuộc hàm mờ X xác

ñịnh Y với mức k, ký hiệu là X ~>k Y nếu ta có: với ∀ t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] = k t 2 [X]

⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y]

Khi ñó, ta cũng nói r ñúng với phụ thuộc hàm mờ X ~> k Y, hay ta X

~>k Y thỏa trong quan hệ r

Ví dụ 4.12 Ta xét lược ñồ quan hệ U = { MASO, TENCN, SONLV,

THUNHAP } với ý nghĩa: Mã số công nhân (MASO), Tên công nhân

(TENCN) là 2 thuộc tính kinh ñiển, Số ngày làm việc trong tháng (SONLV), Thu nhập (THUNHAP) là 2 thuộc tính mờ Trong ñó D SONLV = [0, 30] và

với tập các phần tử sinh là {0, thấp, W, cao, 1} và tập các gia tử là {ít, khả

năng, hơn, rất} Mặc dù các thuộc tính ngôn ngữ ñang xét có cùng tập các

xâu, nhưng ngữ nghĩa ñịnh lượng của chúng khác nhau

(a) ðối với thuộc tính SONLV: fm(cao) = 0.35, fm(thấp) = 0.65, µ(khả

năng) = 0.25, µ(ít) = 0.20, µ(hơn) = 0.15 và µ(rất) = 0.40 Ta phân hoạch ñoạn [0, 30] thành 5 khoảng tương tự mức 1 là: fm(rất cao) × 30 = 0.35 × 0.35

× 30 = 3.675 Vậy S(1) × 30 = (26.325, 30];

(fm(khả năng cao) + fm(hơn cao)) × 30 = (0.25 × 0.35 + 0.15 × 0.35) ×

30 = 4.2 và S(cao) × 30 = (22.125, 26.325];

(fm(ít thấp) + fm(ít cao)) × 30 = (0.25 × 0.65 + 0.25 × 0.35) × 30 = 7.5

và S(W) × 30 = (14.625, 22.125];

(fm(khả năng thấp) + fm(hơn thấp)) × 30 = (0.25 × 0.65 + 0.15 × 0.65)

× 30 = 7.8 và S(thấp) × 30 = (6.825, 14.625], S(0) × 30 = [0, 6.825]

(b) ðối với thuộc tính THUNHAP: fm(cao) = 0.6, fm(thấp) = 0.4,

µ(khả năng) = 0.15, µ(ít) = 0.25, µ(hơn) = 0.25 và µ(rất) = 0.35 Ta phân hoạch ñoạn [0, 100] thành 5 khoảng tương tự mức 1 là: fm(rất cao) × 100 =

Quan hệ Chamcong trong ví dụ này ñược cho ở bảng 4.5

Chúng ta có thể thấy rằng phụ thuộc hàm mờ SONLV ~> 1 THUNHAP

ñúng trong quan hệ Chamcong

Gọi FFFFk là họ tất cả các phụ thuộc hàm mờ X ~> k Y trên lược ñồ quan hệ

U Ta ký hiệu FFFFk + là tập tất cả các phụ thuộc hàm mờ X ~> k Y mà ñược suy

diễn từ FFFFk , tức là với mọi quan hệ r trên U, nếu r thỏa các thụ thuộc dữ liệu

trong FFFFk thì r cũng thỏa X ~> k Y Ta có thể dễ dàng kiểm chứng họ các phụ

thuộc hàm mờ FFFFk + thoả các tiên ñề sau:

ðịnh lý 4.4 Trong CSDL mờ với tập vũ trụ các thuộc tính U, họ FFFFk + thỏa mãn các tiên ñề sau:

(1) Phản xạ: X ~> k X ∈ FFFFk +

(2) Gia tăng: X ~> k Y ∈ FFFFk + ⇒ XZ ~> k YZ ∈ FFFFk +

(3) Bắc cầu: X ~> k Y ∈ FFFFk + , Y ~> k Z ∈ FFFFk + ⇒ X ~> k Z ∈ FFFFk +

(4) Bao hàm mức: X ~> k Y ∈ FFFFk + ⇒ X ~> k’ Y ∈ FFFFk + với mọi 0 < k’≤ k

Các tiên ñề (1)-(4) trong ñịnh lý 4.4 là ñúng ñắn và ñầy ñủ

Chứng minh: Tính ñúng ñắn của hệ tiên ñề (1)-(4)

(1): Hiển nhiên ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] = k t 2 [X] ⇒ t 1 [X] = k t 2 [X], hay X ~> k

X ∈ FFFFk +

(2): Vì X ~> k Y ∈ FFFFk + (giả thiết) nên theo ñịnh nghĩa ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X]

=k t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y] Từ t 1 [XZ] = k t 2 [XZ] và t 1 [X] = k t 2 [X] suy ra t 1 [Z] = k

t 2 [Z] (1’)

Từ t 1 [Y] = k t 2 [Y] và t 1 [Z] = k t 2 [Z] suy ra t 1 [YZ] = k t 2 [YZ] (2’) Vậy, từ (1’), (2’)

ta có ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [XZ] = k t 2 [XZ] ⇒ t 1 [YZ] = k t 2 [YZ], hay XZ ~> k YZ ∈ FFFFk +

(3): Vì X ~> k Y ∈ FFFFk + (giả thiết) nên theo ñịnh nghĩa ta có với ∀ t 1 , t 2 ∈ r,

t 1 [X] = k t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y] (1’) và Y ~> k Z ∈ FFFFk + (giả thiết) nên theo ñịnh

nghĩa ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [Y] = k t 2 [Y] ⇒ t 1 [Z] = k t 2 [Z] (2’) Từ (1’), (2’) ta

có với ∀ t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] = k t 2 [X] ⇒ t 1 [Z] = k s[Z], hay X ~> k Z ∈ FFFFk +

(4): Vì X ~> k Y ∈ FFFFk + (giả thiết) nên theo ñịnh nghĩa ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X]

=k t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y] Ta có ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] = k t 2 [X] ⇒ t 1 [X] = k’ t 2 [X] với mọi 0 < k’≤ k (1’) Ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [Y] = k t 2 [Y] ⇒ t 1 [Y] = k’ t 2 [Y] với mọi 0 < k’≤ k (2’) Từ (1’), (2’) ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] = k’ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] = k’

t 2 [Y] với mọi 0 < k’≤ k, hay X ~> k’ Y ∈ FFFFk + với mọi 0 < k’≤ k

Tính ñầy ñủ của hệ tiên ñề (1)-(4)

Chúng ta dễ dàng thấy rằng trong một quan hệ 2-bộ r với các bộ t 1 và t 2 chỉ chứa các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong miền giá trị thuộc tính, ñiều kiện

t 1 [X] = k t 2 [X] và t 1 [Y] = k t 2 [Y] là tương ñương với ñiều kiện t 1 [X] = t 2 [X] và

t 1 [Y] = t 2 [Y], vì khi ñó các khoảng phân hoạch (do nó chứa ít nhất hai lớp

tương ñương) của các thuộc tính mờ chỉ chứa một trong hai giá trị này Do ñó,

nếu quan hệ 2-bộ r như vậy thỏa một phụ thuộc hàm mờ nào ñó ở mức k, thì

nó cũng thỏa phụ thuộc ñó khi ñược xem như là một phụ thuộc hàm kinh ñiển

Vì vậy, cũng như ñối với họ phụ thuộc hàm kinh ñiển, nếu X ~> k Y ∉ FFFFk + thì

tồn tại một quan hệ 2-bộ r sao cho r thỏa FFFFk nhưng không thỏa phụ thuộc hàm

mờ X ~> k Y Có nghĩa là, hệ tiên ñề (1)-(4) trong ñịnh lý 4.4 là ñầy ñủ

Như vậy, chúng ta thấy ở mức cú pháp, phụ thuộc hàm mờ trùng với

phụ thuộc hàm kinh ñiển nhưng ngữ nghĩa khác nhau, ñặc biệt một quan hệ r

có thể thỏa mãn một phụ thuộc hàm mờ X ~> k Y nào ñó nhưng không nhất thiết phải thỏa mãn X ~> k Y với tư cách là một phụ thuộc hàm kinh ñiển

Vì phụ thuộc hàm kinh ñiển là trường hợp riêng của phụ thuộc hàm mờ, nên ta có mệnh ñề thể hiện mối quan hệ giữa hai loại phụ thuộc này

Mệnh ñề 4.2

(1) Nếu X → Y và Y ~> k Z ∈ FFFFk + thì X ~> k Z ∈ FFFFk +

(2) Nếu X ~> k Y ∈ FFFFk + và Y → Z thì X ~> k Z ∈ FFFFk +

Chứng minh :

(1): Vì X → Y nên với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] = t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] = t 2 [Y] Mặc khác, ta

có t 1 [X] = t 2 [X] ⇒ t 1 [X] = k t 2 [X] và t 1 [Y] = t 2 [Y] ⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y], do ñó X ~> k

Y ∈ FFFFk + (1’)

Theo giả thiết, ta có Y ~> k Z ∈ FFFFk + (2’) Từ (1’), (2’) ta suy ra X ~> k Z ∈ FFFFk +

(2): Vì Y → Z nên với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [Y] = t 2 [Y] ⇒ t 1 [Z] = t 2 [Z] Mặc khác, ta

có t 1 [Y] = t 2 [Y] ⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y] và t 1 [Z] = t 2 [Z] ⇒ t 1 [Z] = k t 2 [Z], do ñó Y ~> k Z

∈ FFFFk + (1’)

Theo giả thiết, ta có X ~> k Y ∈ FFFFk + (2’) Từ (1’), (2’) ta suy ra X ~> k Z ∈ FFFFk +

Một phụ thuộc hàm mờ X ~> k Y ñúng trong quan hệ r có nghĩa là “với mọi” hai bộ dữ liệu bất kỳ thuộc quan hệ r, nếu giá trị trên tập thuộc tính X bằng nhau theo mức k thì giá trị trên tập thuộc tính Y bằng nhau theo mức k Tuy nhiên, trong thực tế, khi xét một quan hệ nào ñó, có thể “tồn tại” hai bộ dữ liệu mà giá trị trên tập thuộc tính X bằng nhau theo mức k nhưng giá trị trên tập thuộc tính Y khác nhau theo mức k Như vậy, ở ñây không tồn tại phụ thuộc hàm mờ, bởi vì nó không thoả mãn “với mọi” nhưng có thể thoả mãn

“hầu hết” hoặc “một ít”, các dạng phụ thuộc này ñược gọi là phụ thuộc hàm

mờ với lượng từ ngôn ngữ

4.2.2 Phụ thuộc hàm mờ với lượng từ ngôn ngữ

4.2.2.1 ðặt vấn ñề

Chúng ta thường gặp những tri thức dạng: trong cơ quan những cán bộ

có kinh nghiệm làm việc xấp xỉ nhau thì có thu nhập xấp xỉ nhau ðối với

dạng tri thức như vậy, trong phần 4.2.1 chúng ta ñã nghiên cứu và gọi ñó là

phụ thuộc hàm mờ Ở phụ thuộc hàm mờ này có ý nghĩa là với mọi hai cán bộ bất kỳ trong cơ quan nếu có kinh nghiệm làm việc xấp xỉ nhau thì có thu nhập

xấp xỉ nhau Tuy nhiên, trong thực tế có những cán bộ có kinh nghiệm làm việc xấp xỉ nhau nhưng có thu nhập khác nhau do nhiều yếu tố khác tác ñộng

như: chủ nhiệm ñề tài nghiên cứu cơ bản, kiêm nhiệm các chức vụ chủ chốt

trong cơ quan… Do ñó các tri thức thỏa mãn với mọi ñòi hỏi khá chặt về ràng

buộc dữ liệu trong CSDL

Vì vậy, việc sử dụng các lượng từ ngôn ngữ như một vài, hầu hết… vào

trong phụ thuộc hàm mờ làm cho việc mô tả các phụ thuộc dữ liệu ñược mềm

dẽo và thực tế hơn, chẳng hạn như: hầu hết trong cơ quan những cán bộ có

kinh nghiệm làm việc xấp xỉ nhau thì có thu nhập xấp xỉ nhau

4.2.2.2 Phụ thuộc hàm mờ với lượng từ ngôn ngữ

Trước tiên, phương pháp ñịnh giá lượng từ ngôn ngữ ñược trình bày trước khi xây dựng dạng phụ thuộc dữ liệu

a Phương pháp ñịnh giá lượng từ ngôn ngữ

Zadeh chia lượng từ ngôn ngữ thành hai loại ñó là: lượng từ tuyệt ñối

và lượng từ tỉ lệ Lượng từ tuyệt ñối thường dùng trong các mệnh ñề có số

lượng xác ñịnh như “ít nhất 5”, “nhiều hơn 3” Lượng từ tỉ lệ thể hiện

những số lượng phụ thuộc vào số lượng tập các ñối tượng ñang xử lý, chẳng

hạn như “hầu hết”, “một vài”

Gọi D r = [0 ||r||], trong ñó ||r|| là số bộ dữ liệu trong quan hệ r Chúng

ta có thể chia lượng từ thành hai trường hợp:

Trường hợp Q là lượng từ tuyệt ñối: Ký hiệu ||Q|| là số lượng xác ñịnh

lượng từ Q

Nếu Q ñơn ñiệu tăng : Ta xây dựng một hàm f Q A : D r → {0, 1} sao cho:

∀x∈D r , f Q A (x) = 1 nếu x ≥ ||Q|| và f Q A (x) = 0 nếu ngược lại

Nếu Q ñơn ñiệu giảm : Ta xây dựng một hàm f Q D : D r → {0, 1} sao cho:

∀x∈D r , f Q D (x) = 1 nếu x ≤ ||Q|| và f Q D (x) = 0 nếu ngược lại

Trường hợp Q là lượng từ tỷ lệ: Khi ta nói hầu hết các bộ dữ liệu t trong r

thỏa mãn ñiều kiện (fc 1 , fc 2 , fc n ), có nghĩa là tổng số bộ dữ liệu t phải xấp

xỉ ||r|| Hoặc trong trường hợp khác, chỉ một ít các bộ dữ liệu t trong r thỏa mãn ñiều kiện (fc 1 , fc 2 , .fc n ), có nghĩa là tổng số bộ dữ liệu t phải xấp xỉ 1/||r|| Hay một giả thiết ta thường gặp ñó là khoảng một nửa các bộ dữ liệu t trong r thỏa mãn ñiều kiện (fc 1 , fc 2 , fc n), khi ñó chắc chắn rằng tổng số bộ

dữ liệu t phải là xấp xỉ của ||r||/2

ðiều này gợi ý cho chúng ta có thể ñánh giá lượng từ tỉ lệ dựa trên sự

phân hoạch của [0 ||r||] Theo mục 2.1 ñể chuẩn hóa [0 ||r||], nhờ một phép biến ñổi tuyến tính, ta giả thiết mọi miền D r = [0 ||r||] như vậy ñều là khoảng [0,1] Khi ñó ta xây dựng hai khoảng mờ của hai khái niệm nguyên thủy nhỏ

và lớn, ký hiệu là I(nhỏ) và I(lớn) với ñộ dài tương ứng là fm(nhỏ) và fm(lớn)

sao cho chúng tạo thành một phân hoạch của miền tham chiếu [0,1] Tiếp ñến,

ñi xây dựng các lớp tương ñương S(1), S(lớn), S(W), S(nhỏ), S(0) dựa vào ñộ

ño tính mờ của các gia tử và các khái niệm nguyên thủy

Do ñó, nếu gọi ||r 1 ||, ||r 2 || tương ứng là tổng số bộ dữ liệu t trong r thỏa mãn ñiều kiện (fc 1 , fc 2 , fc n ) với lượng từ hầu hết và một ít thì ||r 1 || ∈ S(1) ×

||r|| và ||r 2 || ∈ S(0) × ||r||

Như vậy, ta có thể khẳng ñịnh rằng tổng số bộ dữ liệu t trong r thỏa mãn ñiều kiện (fc 1 , fc 2 , fc n ) áp dụng với lượng từ Q ñược ký hiệu ||r Q||, khi

ñó: ||r Q || ∈ S(1) × ||r|| hoặc ||r Q || ∈ S(lớn) × ||r||, hoặc ||r Q || ∈ S(W) × ||r||, hoặc

||r Q || ∈ S(nhỏ) × ||r||, hoặc ||r Q || ∈ S(0) × ||r|| hay nói cách khác: ||r Q ||/||r|| phải

thuộc về 1 trong các khoảng: S(1), S(lớn), S(W), S(nhỏ), S(0)

b ðưa lượng từ ngôn ngữ vào phụ thuộc hàm mờ

ðể ñưa lượng từ ngôn ngữ vào phụ thuộc hàm mờ, chúng ta ñề xuất một số khái niệm liên quan ñến các bộ trong quan hệ

ðịnh nghĩa 4.7 Cho U là một lược ñồ quan hệ, r là một quan hệ trên U, xét

hai tập X, Y ⊆ U Ta nói rằng bộ t thỏa mãn tập X và tập Y trong quan hệ r với mức k, ñược xác ñịnh t k (XY) = 1 nếu một trong các ñiều kiện sau xảy ra: (1) : Tồn tại bộ t ’ ≠ t : t[X] = k t ’ [X] và t[Y] = k t ’ [Y] hoặc là

(2) : Với mọi bộ t ’ ≠ t : t[X] ≠ k t ’ [X]

Khi ñó ta cũng nói bộ t’ thỏa mãn tập X và tập Y trong quan hệ r với mức k, ñược xác ñịnh t ’ k (XY) = 1

ðịnh nghĩa 4.8 Cho U là một lược ñồ quan hệ, r là một quan hệ xác ñịnh trên

U, xét X, Y ⊆ U Ta nói rằng bộ t thỏa mãn tập X nhưng không thỏa mãn tập

Y trong quan hệ r với mức k, ñược xác ñịnh t k (XY)=0 nếu tồn tại bộ t’≠ t : t[X]

ðể ñảm bảo một số kết quả như trong CSDL kinh ñiển, chúng tôi chỉ

xét lượng từ Q ñơn ñiệu tăng trong trường hợp lượng từ tuyệt ñối

ðịnh nghĩa 4.9 Cho U là một lược ñồ quan hệ, r là một quan hệ xác ñịnh trên

U, xét X, Y ⊆ U Ta nói rằng quan hệ r thỏa mãn phụ thuộc hàm mờ X xác

ñịnh Y mức k và lượng từ ngôn ngữ Q, ký hiệu là X~> kQ Y khi và chỉ khi

f Q A (||r thoa ||) = 1, với Q là lượng từ tuyệt ñối hoặc ||r thoa ||/(||r thoa || + ||r khong||)

∈S(1), với Q là lượng từ “Hầu hết”

Ví dụ 4.13 Ta xét lược ñồ quan hệ U = {STT, TEN, HESO, THAMNIEN,

LUONG} với ý nghĩa: Số thứ tự (STT), Tên cán bộ (TEN), Hệ số lương

(HESO) là 3 thuộc tính kinh ñiển, Thâm niên (THAMNIEN), Lương (LUONG)

là 2 thuộc tính mờ Trong ñó D THAMNIEN = [0, 40] và D LUONG = [0, 500]

sinh là {0, thấp, W, cao, 1} và tập các gia tử là {ít, khả năng, hơn, rất}

(a) ðối với thuộc tính THAMNIEN: fm(cao) = 0.35, fm(thấp) = 0.65, µ(khả

Quan hệ Luong trong ví dụ này ñược cho ở bảng 4.6

Chúng ta có thể thấy rằng phụ thuộc hàm mờ THAMNIEN ~> 1 Hầu hết

LUONG không ñúng trong quan hệ Luong

Thật vậy, vì Q = “Hầu hết” nên ta tính S(1) Chọn fm(lớn) = 0.35,

fm(nhỏ) = 0.65, µ(khả năng) = 0.25, µ(ít) = 0.2, µ(hơn) = 0.15 và µ(rất) = 0.4

Ta có fm(rất lớn) = 0.35 × 0.35 = 0.1225, do ñó S(1) = (0.8775, 1]

Mặc khác ta có Luong thoa = {t 1 , t 2 , t 3 , t 4 , t 7 , t 8 , t 9 } và Luong khong = {t 5,

t 6 } Do ñó theo ñịnh nghĩa ||Luong thoa ||/(||Luong thoa ||+||Luong khong||)= 7/(7 + 2)

= 0.77 ∉ (0.8775, 1]

Mệnh ñề 4.3 Quan hệ r thỏa mãn phụ thuộc hàm mờ với lượng từ X ~> k Với

mọi Y khi và chỉ khi X ~> k Y

Chứng minh: Quan hệ r thỏa mãn X ~> k Với mọi Y khi và chỉ khi ||r Với mọi|| = 1

⇔ ||r khong || = 0 Do ñó với ∀t 1 , t 2 ∈r nếu t 1 [X] = k t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] = k t 2 [Y] Vậy r thỏa X ~> k Y Như vậy, nếu X ~> k Với mọi Y thì ta có thể viết X ~> k Y

Gọi FFFFQ k là họ tất cả các phụ thuộc hàm mờ mức k với lượng từ ngôn ngữ Q trên lược ñồ quan hệ U Ta ký hiệu FFFFQ* k là tập tất cả các phụ thuộc hàm mờ

mức k với lượng từ ngôn ngữ Q mà ñược suy diễn từ FFFFQ k Ta có thể dễ dàng

kiểm chứng họ các phụ thuộc hàm mờ mức k với lượng từ ngôn ngữ Q FFFFQ* k thoả các tiên ñề sau:

ðịnh lý 4.5 Trong CSDL mờ với tập vũ trụ các thuộc tính U, họ FFFFQ* k thỏa mãn các tiên ñề sau:

(1) Phản xạ : X ~> kQ X ∈ FFFFQ* k

(2) Gia tăng : X ~> kQ Y ∈ FFFFQ* k ⇒ XZ ~> kQ YZ ∈ FFFFQ* k

(3) Bắc cầu 1 : X ~> kQ Y ∈ FFFFQ* k , Y ~> k Z ∈ FFFFk + ⇒ X ~> kQ Z ∈ FFFFQ* k

(4) Bắc cầu 2 : X ~> k Y ∈ FFFFk + , Y ~> kQ Z ∈ FFFFQ* k ⇒ X ~> kQ Z ∈ FFFFQ* k

4.3 Phụ thuộc ñơn ñiệu

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường gặp các ñiều kiện dạng

như nếu một tập thể T 1 lao ñộng chăm chỉ (số ngày làm việc trong một tháng

là nhiều) hơn tập thể T 2 thì Năng suất của tập thể T 1 cao hơn tập thể T 2 Như

vậy, giữa các thuộc tính Số ngày làm việc trong tháng, Tính kỷ luật lao ñộng

và Năng suất có mối quan hệ khá chặt chẽ Hoặc trong một trường hợp khác

nếu một tập thể T 1 lao ñộng không chăm chỉ (số ngày làm việc trong một tháng là ít) hơn tập thể T 2 thì Năng suất của tập thể T 1 thấp hơn tập thể T 2 Trong cả hai trường hợp trên, nó tồn tại mối quan hệ không chính xác không như mối quan hệ trong phụ thuộc hàm mờ, và những phụ thuộc như vậy gọi là phụ thuộc ñơn ñiệu trong CSDL mờ

Ví dụ 4.14 (1) Nếu công nhân An có tay nghề bậc cao hơn công nhân Thanh

và số ngày làm việc của hai công nhân này như nhau thì Lương của An cao

hơn lương của Thanh

(2) Nếu hai thửa ruộng R A , R B cùng một ñơn vị diện tích nhưng năng suất của R A cao hơn R B thì sản lượng thu hoạch của thửa ruộng R A nhiều hơn

thửa ruộng R B

Phụ thuộc ñơn ñiệu ñược chia làm hai trường hợp là phụ thuộc ñơn ñiệu tăng và phụ thuộc ñơn ñiệu giảm.Vì phụ thuộc dữ liệu kinh ñiển ñược xem là một trường hợp riêng của phụ thuộc dữ liệu mờ, do ñó chúng tôi xem xét phụ thuộc ñơn ñiệu trong cả hai trường hợp kinh ñiển và mờ

4.3.1 Phụ thuộc ñơn ñiệu trong CSDL kinh ñiển

4.3.1.1 Phụ thuộc ñơn ñiệu tăng: Với X ⊆ U, r là quan hệ xác ñịnh trên U,

t 1 , t 2 là hai bộ thuộc r, ta viết t 1 [X] ≤ t 2 [X], nếu với mọi A ∈ X, ta có t 1 [A] ≤

t 2 [A]

ðịnh nghĩa 4.10 Cho U là một lược ñồ quan hệ, r là một quan hệ xác ñịnh

trên U, xét X, Y ⊆ U Ta nói rằng quan hệ r thỏa mãn phụ thuộc ñơn ñiệu tăng

X xác ñịnh Y, ký hiệu là X → + Y, trong quan hệ r, nếu ta có với ∀t 1 , t 2 ∈r,

t 1 [X]≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] ≤ t 2 [Y]

Ví dụ 4.15 Ta xét lược ñồ quan hệ U = {MAGV, TENGV, SOTIETGIANG,

VUOTGIO} với ý nghĩa: Mã số giáo viên (MAGV), Tên giáo viên (TENGV),

Số tiết giảng trong năm học (SOTIET), Tiền vượt giờ (VUOTGIO) Quan hệ

Giangday xác ñịnh trên U cho ở bảng 4.7

MAGV TENCN SOTIETGIANG VUOTGIO

VUOTGIO ñúng trong quan hệ Giangday Thật vậy, với ∀t 1 , t 2 ∈ Giangday ta

có t 1 [SOTIETGIANG] ≤ t 2 [SOTIETGIANG] ⇒ t 1 [VUOTGIO] ≤

t 2 [VUOTGIO]

Gọi FFFFA là họ các phụ thuộc ñơn ñiệu tăng trên lược ñồ quan hệ U Ta ký hiệu

FFFFA* là tập tất cả các phụ thuộc ñơn ñiệu tăng X  → + Y mà ñược suy diễn từ

(2) : Theo giả thiết ta có X  → + Y ∈ FFFFA* nên theo ñịnh nghĩa với ∀t 1 , t 2 ∈ r,

t 1 [X] ≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] ≤ t 2 [Y] (1’) Với Z ⊆ U, từ t 1 [X] ≤ t 2 [X] ta có t 1 [XZ] ≤

t 2 [XZ] (2’) Tương tự, từ t 1 [Y] ≤ t 2 [Y] ta có t 1 [YZ] ≤ t 2 [YZ] (3’) Từ (1’), (2’), (3’) ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [XZ] ≤ t 2 [XZ] ⇒ t 1 [YZ] ≤ t 2 [YZ] Vậy XZ  → + YZ

∈ FFFFA*

(3) : Theo giả thiết X  → + Y ∈ FFFFA* , Y  → + Z ∈ FFFFA* nên ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X]

≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] ≤ t 2 [Y] và với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [Y] ≤ t 2 [Y] ⇒ t 1 [Z] ≤ t 2 [Z] hay với

∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] ≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Z] ≤ t 2 [Z] Vậy X  → + Z ∈ FFFFA*

4.3.1.2 Phụ thuộc ñơn ñiệu giảm: Với X ⊆U và r là quan hệ xác ñịnh trên

U, t 1 , t 2 là hai bộ thuộc r, ta viết t 1 [X] ≥ t 2 [X], nếu với mọi A ∈ X, ta có t 1 [A] ≥

t 2 [A]

ðịnh nghĩa 4.11 Cho U là một lược ñồ quan hệ, r là một quan hệ xác ñịnh

trên U, xét X, Y ⊆ U Ta nói rằng quan hệ r thỏa mãn phụ thuộc ñơn ñiệu giảm

X xác ñịnh Y, ký hiệu là X  → − Y trong quan hệ r, nếu ta có với ∀t 1 , t 2 ∈r,

t 1 [X] ≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] ≥ t 2 [Y]

Ví dụ 4.16 Ta xét lược ñồ quan hệ U = { SOBD, TENHS, SOPHUT,

DIEMTHI } với ý nghĩa: Số báo danh học sinh (SOBD), Tên học sinh

(TENHS), Số giây chạy trong 100m (SOGIAY), ðiểm thi (DIEMTHI) Quan

hệ Thihocky xác ñịnh trên U cho ở bảng 4.8

Trong quan hệ Thihocky ta thấy rằng, nếu SOGIAY mà học sinh chạy trong 100m càng lớn thì DIEMTHI của học sinh càng kém Như vậy, trong quan hệ

Thihocky tồn tại phụ thuộc ñơn ñiệu giảm SOGIAY  → − DIEMTHI ñúng trong quan hệ Thihocky Thật vậy, với ∀t 1 , t 2 ∈ Thihocky ta có t 1 [SOGIAY] ≤

t 2 [SOGIAY] ⇒ t 1 [DIEMTHI] ≥ t 2 [DIEMTHI]

Gọi FFFFD là họ các phụ thuộc ñơn ñiệu giảm trên lược ñồ quan hệ U Ta

ký hiệu FFFFD* là tập tất cả các phụ thuộc ñơn ñiệu giảm X  → − Y mà ñược suy

(2): Theo giả thiết ta có X  → − Y ∈ FFFFD* nên theo ñịnh nghĩa với ∀t 1 , t 2 ∈ r,

t 1 [X] ≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] ≥ t 2 [Y] (1’) Với Z ⊆ U, từ t 1 [X] ≤ t 2 [X] ta có t 1 [XZ] ≤

t 2 [XZ] (2’) Tương tự, từ t 1 [Y] ≥ t 2 [Y] ta có t 1 [YZ] ≥ t 2 [YZ] (3’) Từ (1’), (2’), (3’) ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [XZ] ≤ t 2 [XZ] ⇒ t 1 [YZ] ≥ t 2 [YZ] Vậy XZ

→

 − YZ ∈ FFFFD*

(3): Theo giả thiết ta có X  → − Y ∈ FFFFD* và Y  → + Z ∈ FFFFA* nên theo ñịnh

nghĩa: X  → − Y ∈ FFFFD* ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] ≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Y] ≥ t 2 [Y] (1’)

Y  → + Z ∈ FFFFA* ta có với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [Y] ≥ t 2 [Y] ⇒ t 1 [Z] ≥ t 2 [Z] (2’) Từ (1’), (2’) ta có: với ∀t 1 , t 2 ∈ r, t 1 [X] ≤ t 2 [X] ⇒ t 1 [Z] ≥ t 2 [Z] Vậy X  → − Z ∈

FFFFD*

Hệ quả 4.3 Từ ñịnh lý 4.7 ta có các hệ quả sau:

(4) Hỗn hợp bắc cầu 1: X  → + Y ∈FFFFA* , Y  → − Z ∈ FFFFD* ⇒ X  → − Z ∈ FFFFD*