Bất đẳng thức

Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai về trong biểu thức điều kiện bằng nhau và bậc của tử và maauxa trong các phân thức của biểu thức P bằngnhau.. Vì vậy áp

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TÍNH THUẦN NHẤT

thỏa mãn điều kiện (1) gọi là hàm thuần nhất ba biến x, y, z

Sau đây là một số ví dụ.

Lời giải.

Nếu từ giả thiết Bất đẳng thức luôn đúng

Nếu Đặt Bài toán đã cho trở thành: “Cho các số thực x, y thỏa

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Bài 2 (KA 2009) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng

Khi đó bài toán đã cho trở thành

“Cho các số thực dương x, y thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức

Bằng phương pháp khảo sát hàm số ta có

Vậy min P = Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Đôi lời bình luận Đây là một bài toán khó dành cho học sinh giỏi Trước tiên nhận thấy vai

trò của a và b trong biểu thức điều kiện cũng như trong biểu thức P như nhau nên ta tìm cách

“khử” bớt biến c Kỹ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật

giảm biến” Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai về trong biểu

thức điều kiện bằng nhau và bậc của tử và maauxa trong các phân thức của biểu thức P bằngnhau Do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế hoặc chia cả tử và mẫu cho một lũy thừa của c màbậc của c hoặc bằng với bậc của hai vế hoặc bằng bậc của tử và mẫu Khi đã giảm được biến

c, bài toán trở thành bài toán của hai biến x, y mà biểu thức điều kiện và biểu thức P đều lànhững biểu thức đối xứng đối với x, y

Đến đây, ta thấy biểu thức P thu được khá cồng kề và có bậc cao Dự đoán dấu bằng xảy rakhi Khi đó Vì vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số

dương ta thu được một biểu thức cần đánh giá gọn hơn và quan trọng là dấu

bằng xảy ra khi x = y = 1 Kỹ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ

thuật chọn điểm rơi”.

Sau đây là các bài tập tương tự

Bài 1 Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh rằng

Bài 5 (KA 2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và Tìm GTNN của

BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC

ĐA BIẾN ĐỐI XỨNG

I Bài toán tìm cực trị của biểu thức đối xứng hai biến

Ta luôn biết rằng mọi biểu thức đối xứng hai biến x, y đều biểu diễn được thành biểu thứcchứa S = x + y và P = xy trong đó

Trước hết chúng ta xét một bài toán cơ bản sau:

Bài 1 Cho các số x, y không âm thỏa mãn Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

Lời bình Ở bài toán 2, học sinh hay sai điều kiện (*) của v nên cho những đáp số sai Một

điều cần chú ý với những bài toán phải đặt biến mới đó là chúng ta phải tìm được chính xácđiều kiện của biến mới

Bài 3 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Lời giải

Bài toán này nếu chúng ta đưa về biểu thức chứa xy thì biểu thức sau khi đạt được sẽ có chứacăn, cồng kềnh phức tạp khó xử lý Bài toán này ta sẽ đưa về khảo sát cực trị của hàm số 1biến x + y

Bài toán quy về tìm GTLN, GTNN của trên

Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải.

Giả thiết suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc

Bài tập tương tự

Bài 5.1 Cho x, y là các số dương Tìm GTNN của biểu thức

Bài 5.2 Cho x, y là các số thực Tìm GTNN của biểu thức

Phân tích bài toán.

Đây là bài toán tìm cực trị của các biểu thức đồng bậc và đối xứng với hai biến a, b cho nênviệc đầu tiên là sử dụng tính đồng bậc của biểu thức để giảm biến (bằng cách đặt )sau đó đưa về bài toán xử lý các biểu thức đối xứng

.Bằng biến đổi đơn giản ta có

Bằng phương pháp xét hàm số ta có Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Bài tập tương tự.

II Bài toán tìm cực trị của biểu thức đối xứng ba biến

Bài 7 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Ta tìm khoảng biến thiên của t

Lại có Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi

,

Bài 7.2 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 8 Cho các số dương a, b, c Tìm GTNN của biểu thức

Lời giải Do Q là một biểu thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa Đặt

Bài 8.1 Cho các số thực dương a, b, c Tìm GTNN của biểu thức

Bài 8.2 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

KỸ THUẬT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CẦN BIẾT

1 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số không âm

Ta có:

2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai bộ Ta có:

3 Bất đẳng thức Svac-sơ:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

B MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi

Hướng khai thác điều kiện như sau:

 Khai thác điều kiện kết hợp với bất đẳng thức kinh điển để giới hạn miền giá trị của biến.

 Khai thác bằng cách thế vào biểu thức cần chứng minh

 Khai thác bằng dùng điều kiện vào các bước cuối cùng hoặc các bước trung gian của bài toán chứng minh.

Ở đây tôi khai thác theo hướng thế vào biểu thức cần chứng minh.

1) Cho Tìm GTNN của biểu thức

2) Cho a, b, c dương và a 2 + b 2 + c 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

3) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

.

2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng kết hợp chọn điểm rơi

Nhận xét: Ta thấy do x, y, z có vai trò như nhau trong biểu thức Từ đó ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi

Với nên x + 3y = 1; y + 3z =1; z + 3x =1, mặt khác ta dùng bất đẳng thức Cauchy

để khử căn bậc 3.

Bài tập:

1) Cho x, y >0 Tìm GTNN của biểu thức :

2) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c =

Tìm GTNN của biểu thức

3) Cho ba số thực và

Tìm GTLN của biểu thức

3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp Cauchy chọn điểm rơi

Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh

Nhận xét:

Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức

qua một phép biến đổi.

Do đó để giải được nhanh gọn bài toán trên ta phải thực hiện phép đổi biến để đưa về bất đẳng thức nguồn ban đầu.

Bài toán trở thành chứng minh:

Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là: x = y = z = 1

Bài tập

1) (Trích đề thi ĐH Khối A năm 2007) Cho Tìm GTNN của biểu thức:

2) Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3) Với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc.

4 Kỹ thuật đánh giá mẫu số

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

Nhận xét: Biểu thức cần chứng minh vai trò a, b, c giống nhau nên điểm rơi là a = b = c Đồng thời mẫu số phức tạp do

đó ta chọn phương án đánh giá mẫu số cụ thể như sau:

Ví dụ 3 (A – 2007) Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Lời giải Theo Cauchy ta có:

Vậy:

Đặt:

Khi đó:

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.

Từ các bđt trên và từ giả thiết ta suy ra đpcm.

Ta có

Áp dụng bđt cộng mẫu có:

a  b c ab bc ca   Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

Ví dụ 4: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: Chứng minh rằng:

Lời giải: Ta có:

Dấu ‘=’ xảy ra khi

III BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC (Dồn biến theo trung bình nhân)

IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 2 (A – 2003) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : x + y + z 1 Chứng minh rằng:

P =

a)

b)

Bài 14 Cho Chứng minh rằng:

Bài 18 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phương pháp : Tìm GTLN (GTNN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại

coi là tham số, rồi tìm GTLN (GTNN ) của hàm số mới với biến thứ hai và các biếncòn lại coi là tham số… cho đến biến cuối cùng

Các ví dụ:

Lời giải:

+ Xét hàm số với biến và coi là tham số ,

Trên đổi dấu từ dương sang âm khi qua nên

)(

21

31

2

2 2

2 2

c

a c

a f

(

)12(

2

2 2

2

2

c a

ca a

31

21

32)(

2

)

1

;0(1

1)()

(

2 2

2

2 0

c g c c

c c

c a

Xét 1 3 , (0; )

1

2)

c c

g

)13

()1

(

)81(2)

c c

c

c c

)

;0(22

10

)

('

c

c c

g

Trên đổi dấu từ dương sang âm khi qua

22

10)(

11

221

b a

c c a

ac

c a b

3

10

c b

+ Xét hàm số với biến và coi y là tham số dương.

và qua thì đổi dấu từ âm sang dương nên

Bài 7 Cho và Tìm GTNN của

3 Tính T theo , giả sử (hoặc )

4 Khảo sát hàm trên đoạn Từ đó suy ra GTLN, GTNN của biểu thức T.

Chú ý: Để chọn được biến số thích hợp, trong nhiều bài toán ta phải sử dụng tốt

các bất đảng thức đã biết (AM – GM, Cauchy – Schwarz,…)

Ví dụ 1 Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:

Giải:

Từ (1) suy ra , thay vào (2) ta có:

Khi đó

Ví dụ 2 Cho là các số thực thay đổi khác 0 Tìm GTNN của biểu thức:

Khi thì tập giá trị của t là Khảo sát hàm số

đạt được khi tương ứng với

Ví dụ 4 Cho là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện:

Ví dụ 6 Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm GTNN của biểu thức :

Giải: Ta có

Mặtkhác theo bất đẳng thức AM – GM:

Bài 3: Cho là các số thực thay đổi thuộc đoạn Tìm GTNN của biểu thức

của biểu thức:

Bài 6 Cho là các số thực thay đổi thuộc đoạn Tìm GTNN của biểu thức

Bài 7 Cho là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện TìmGTNN của biểu thức

Bài 8 Cho là các số thực dương thay đổi thoả mãn Tìm GTLN của biểuthức

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

II.1.1 Một số bất đẳng thức dạng đa thức

Trong phần này, để thuận tiện ta quy ước các biến xuất hiện trong mỗi bất đẳng thức đều là các số không âm Việc chứng minh những đánh giá này không khó khăn và tương tự nhau và để tập trung hơn vào nội dung chính, do đó việc chứng minh các đánh giá này sẽ không được đề cập trong chuyên đề này.

i) , dấu bằng xảy ra khi

II.1.2 Một số bất đẳng thức dạng phân thức:

Cho là các số dương

i) , dấu bằng xảy ra khi

II.1.3 Một số bất đẳng thức dạng căn thức:

i) , dấu bằng xảy ra khi

Trên đây là một vài đánh giá ta hay sử dụng trong các bất đẳng thức của chuyên đề này, việc xây dựng và chứng minh chúng không khó khăn mà vấn đề chính đó là ta sử dụng nó như thế nào và khi nào? Trong phần tiếp theo ta sẽ minh hoạ bằng một số bài toán đã xuất hiện gần đây trong một số đề thi tuyển sinh vào Đại học và đề thi học sinh giỏi Phần lớn lời giải đều đã có sẵn, một vài bài toán có lời giải khác so với hướng dẫn, tuy nhiên đó không phải là mục tiêu của chuyên đề này mà nội dung chủ yếu đó là ta phân tích để làm xuất hiện các lời giải đó.

II.2 Dấu đẳng thức trong một số bất đẳng thức

II.2.1 Một số bất đẳng thức đối xứng và không có ràng buộc đối với các biến

Trong phần này ta sẽ đưa ra một số bất đẳng thức có tính chất sau đây:

+) Đối xứng đối với các biến.

+) Các biến không có ràng buộc nhau

Trước hết ta xét lời giải của bài toán:

Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra:

Mà từ đó ta suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi Một vấn đề đặt ra khi giảng bài toán này đó là tại sao ta có thể chọn được các biểu thức để ghép với

số hạng trong bất đẳng thức trên, có phải là ta may mắn tìm được hay là có cơ sở nào đó? Câu trả lời

đó là việc chọn số hạng trên hoàn toàn có cơ sở, nó dựa vào nhận xét sau: Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên dấu bằng trong bất đẳng thức thường xảy ra khi ; kiểm nghiệm lại (1) thấy đúng Do đó có thể suy luận như sau để làm xuất hiện số hạng trong đánh giá đầu tiên: Khi dấu bằng xảy ra thì

nên số hạng cộng vào cũng phải bằng (bậc 2), hơn nữa số hạng cộng thêm phải chứa (bậc 1) vì vậy ta phải nhân thêm a để cùng bậc 2, còn việc chia cho 4 để khi

Với suy luận như vậy, ta có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức.

Bài 2 Cho là các số dương chứng minh rằng:

(2)

Phân tích:

+) Dấu bằng xảy ra khi

+) Ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng: với một vài số hạng để làm xuất hiện số hạng

ở vế phải của (2)

+) Số hạng cộng vào phải chứa và có bậc bằng 3 và bằng khi

Từ các phân tích trên ta chọn được số thoả mãn các yêu cầu trên Từ đó ta có lời giải của bài toán:

Từ cách suy luận như trên ta có thể phát triển ra nhiều bài toán tương tự và tổng quát từ những đánh giá như trên

Bài 3 Cho là các số dương, chứng minh rằng:

II.2.2 Một số bất đẳng thức đối xứng có ràng buộc đối với các biến

Trong phần này ta sẽ đưa ra một số bất đẳng thức có tính chất sau đây:

+) Đối xứng đối với các biến.

+) Các biến có ràng buộc nhau bằng một đẳng thức hoặc 1 bất đẳng thức

Bài 5 (Đề thi Đại học khối A năm 2003)

Cho là các số dương thoả mãn điều kiện CMR:

Mà: , từ đó suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi

Bài 6 (Đề thi HSG lớp 12 Thành phố năm 2009)

Cho 2 số dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích:

+) Vai trò của và là như nhau nên có thể dự đoán A min khi ; nên A min khi dấu bằng xảy

ra Kết hợp với tính giá trị của A tại vài điểm khác ta dự đoán A min khi

+) Ta cần làm biến mất tích ở trên tử số để có thể sử dụng giả thiết

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho và số có dạng , m được tìm dựa vào điều kiện khi

Từ đó suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi

II.2.3 Một số bất đẳng thức không đối xứng

Bất đẳng thức không đối xứng nói chung việc đánh giá dấu bằng là tương đối khó khăn, trong phần này ta chỉ xét một vài bất đẳng thức mà việc chỉ ra dấu bằng không quá phức tạp.

Bài 9 (Bài 4.22-Bài tập Đại số 10 nâng cao)

Cho 1 tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 x 50 Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất.

thì khi xem xét dấu bằng sẽ không thể tìm được

+) Trong lời giải ta tìm thấy cách đánh giá

dấu bằng xảy ra khi Tại sao ta có thể có đánh giá trên may mắn hay có cơ sở?

+) Để trả lời câu hỏi này ta xuất phát từ ý tưởng sau: Tìm 2 số m và n trong đánh giá:

sao cho (*) và dấu bằng phải xảy ra tức là: (**).

Từ (*) ta suy ra ; từ (**) ta suy ra:

Từ đó ta có m, n thoả mãn hệ phương trình: Giải hệ ta được .

Như vậy việc chọn các hệ số trong lời giải là có cơ sở chứ không phải do may mắn hoặc đoán mò.

Bài 10 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thành phố HP năm 2010).

Cho 3 số không âm a, b, c thoả mãn CMR

Phân tích

+) Ý tưởng xuất phát cho lời giải đó là áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số hạng để làm xuất hiện lần lượt sau đó cộng lại ta suy ra đpcm.

+) Ta chọn số m trong các đánh giá:

Ta có lời giải của bài toán như sau:

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

Bài 11 (Đề thi khảo sát Đại học năm 2013-2014-Trường THPT Trần Phú)

Cho là các số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ý tưởng xuất phát: Dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá biểu thức:

sau đó khảo sát hàm số Để có được điều này ta phải tìm các số m và n trong các đánh giá sau:

ta phải tìm các số m, n để (*).

Việc giải quyết trọn vẹn hệ phương trình (*) là điều tương đối khó khăn, tuy nhiên tìm ra một nghiệm của (*)

là việc có thể làm được chẳng hạn dùng máy tính cầm tay Casio –fx 570-ES ta chọn được Từ

đó ta có lời giải của bài toán như sau.

Ta có: , để khử được ở mẫu ta tìm 2 số m và n sao cho:

đồng thời: (*), tương tự như trên ta có thể tìm được một nghiệm của (*) là Từ đó ta có lời giải bài toán:

Bài giải:

, dấu bằng xảy ra khi

Vậy khi

III KẾT LUẬN

Qua một số ví dụ về việc phân tích điều kiện xảy ra dấu bằng để tìm lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức phần nào giải đáp được câu hỏi vì sao có thể có được đánh giá như vậy Qua đó giúp ta tiếp cận các bất đẳng thức một cách dễ dàng hơn Tất nhiên trong nội dung của chuyên đề này chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ về cách chứng minh bất đẳng thức và cũng chỉ giải quyết được một lớp các bất đẳng thức tương đối hẹp

Chuyên đề này được viết theo những hiểu biết còn ít về bất đẳng thức của tác giả vì vậy không tránh khỏi những sai sót và hạn chế, rất mong được sự góp ý và chỉ bảo của của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.

Để có thể áp dụng suy luận trên xin đưa ra một số bài tập để làm rõ hơn vấn đề này.

1 Cho 2 số dương a, b thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 Cho 2 số dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 (A - 2009) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện CMR:

.

4 Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5 Cho là các số dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

6 Cho tứ diện đều có cạnh bằng 1 Các điểm lần lượt trên các cạnh và sao cho

b) Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích toàn phần trên.

SỬ DỤNG ĐA THỨC ĐỂ ĐÁNH GIÁ