Bất đẳng thức, bất phương trình - Bất đẳng thức | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

A.Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nh[r]

Trang 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ 1 BẤT ĐẲNG THỨC



Điều kiện

Nội dung

0

c  abacbc (2 )a

c d

 

   







(3)

0

a b

ac bd

c d

  



 



(4)

Nâng lũy thừa với

n 

 

a b a  b 

a b a b

Lấy căn hai vế

0

a  a b  a b (6 )a

a b  a b (6 )b

Nghịch đảo

a b

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)

  a 0; b 0 thì ta cĩ: 2 .

a b

ab





Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi ab.

  a 0; b 0; c 0 thì ta cĩ:

3

a b c

abc

 



Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi a b c.

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACƠPXKI (CAUCHY SCHWARZ)

 x y a b; ; ;   thì:

a x b y a b x y







y x

a b

a b 

 x y z a b c; ; ; ; ;   thì:

a x b y c z a b c x y z









Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi

y

ab c ( ; ; a b c 0).

 x y;   và a 0, b 0 thì

x

a b a b



 Dấu " "  xảy ra khi

y x

a b

 x y z; ;   và a 0, b 0, c 0 thì

a b c a b c

 

  Dấu " "

y

a b c

4

Chương

Trang 2

Câu 1.Cho bất đẳng thứca b a b Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

A.a b B.ab 0 C.ab 0 D.ab 0

Hướng dẫn giải Chọn B.

Tính chất của bất đẳng thức

Câu 2.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x23x với x  là:

A.

9 4



3 2



3

2

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có:

0

x x



 



  x23x  0

Câu 3.Cho biểu thức f x  1 x2 Kết luận nào sau đây đúng?

A.Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. 

B.Hàm số f x chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. 

C Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 

D Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 

Ta có: f x  và   0 f  1  ; 0 f x  và   1 f  0  1

Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng   0và giá trị lớn nhấtbằng 1

1 1

f x

x



A. f x có giá trị nhỏ nhất là   0, giá trị lớn nhất bằng 1

B. f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1. 

C. f x có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2  

D. f x không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 

Ta có: 0 f x     và1; x f  0  Vậy 1 f x không có giá trị nhỏ nhất, giá 

trị lớn nhất bằng 1

Câu 5.Cho biết hai số avà b có tổng bằng3 Khi đó, tích hai số a và b

A có giá trị nhỏ nhất là

9

4 B có giá trị lớn nhất là

9

4

C có giá trị lớn nhất là

3

2 D không có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải Chọn D.

ab

Trang 3

Câu 6.Cho ba số a; b; cthoả mãn đồng thời: a b c  0; b c a  0; c a b  0 Để

A Cần có cả , ,a b c  0 B Cần có cả , ,a b c  0

C Chỉ cần một trong ba số , ,a b c dươngD Không cần thêm điều kiện gì.

Câu 7.Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì

A Hình vuông có diện tích nhỏ nhất.

B Hình vuông có diện tích lớn nhất.

C Không xác định được hình có diện tích lớn nhất.

D Cả A, B, C đều sai.

Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si

A.a b  ac bc B.

a b

C.a b và c d  ac bd D.a b  ac bc c , 0

A.

a b

c d









a b

c d











a b

c d

C.

a b

c d









  a c b d   D.

0 0

a b

c d

 





  ac bd

A

a b

c d









  a c b d   B.

0 0

a b

c d





 



a b

d c

C.

0 0

a b

c d





 

a b

c d









  a c b d  

A a b

a b

B.a b  ac bc C.

a b

c d









  ac bd D Cả A, B, C đều

sai

A.

a b

c d









  a c b d   B.

a b

c d









  ac bd

Trang 4

a b

c d









  a c b d   D.ac bc  a b c 0

đúng?

A.Giá trị nhỏ nhất của P là

1

4 B.Giá trị lớn nhất của P là

1

4

C.Giá trị lớn nhất của P là

1

2 D P đạt giá trị lớn nhất tại

1 4

a 

2

Pa a a  a    a  

2

f x

x x



A.

11

4

11

8

11

Ta có:

2

x  x x     x

f x

x x

8

11

Câu 15. Cho f x   x x2 Kết luận nào sau đây là đúng?

A f x có giá trị nhỏ nhất bằng  14 B. f x có giá trị lớn nhất bằng   12

C. f x có giá trị nhỏ nhất bằng    14 D. f x có giá trị lớn nhất bằng   14

 

2

f x  x x  x  x    x  

f  

2

4

n m  m n  B.m2n2 2mn

C. 

2

0

m n m n  D. 

2

m n  mn

m n 2 4mn  m22mn n 2 4mn  m2n2 2mn

Câu 17. Với mọi ,a b  , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?0

A.a b 0 B.a2 ab b 2  0 C.a2ab b 2  0 D.a b 0

Hướng dẫn giải

Trang 5

Chọn C.

a ab b a  a    a     b

Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy  , bất đẳng thức nào sau đây đúng?36

A.x y 2 xy 12 B.x y 2xy72 C.4xy x 2y2 D.

2

36 2

x y

xy



Hướng dẫn giải Chọn A.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có:

x y  xy  

Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x y 12, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

2

36 2

x y

xy   

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có:

6 2

x y

xy   

Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy  Giá trị nhỏ nhất của2

A x y

 2

1 1

a x

a a





1 1

b y

b b





Ta có:

1

a

x  a và

1

b

y  b

Suy ra:

 

   

1

a b

Do a b 0 nên a  1 1 và b  1 1 suy ra:    

1

a b     

1

Vậy

1 1

0

x y 

x y

do x 0 và y  nên 0

x y

x  y  

Câu 22. Với , , ,a b c d  Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?0

Trang 6

A 1



C

a c a a c c

b d b b d d



 D Có ít nhất hai trong ba mệnh đề

trên là sai

Ta có:

 

a b c

a a c

b b c b b c





Câu 23. Hai số ,a b thoả bất đẳng thức

2

a b a b 

A a b B a b C a b D a b

2

a b a b 

   2a22b2 a b 2  a b 2 0  a b

Câu 24. Cho ,a b  Chứng minh 0 a b b a 2 Một học sinh làm như sau:

a b

2 1

a b ab



II)  1  a2b2 2ab  a2b2 2ab0  (a b )2  0

2

0

a b

b a  Cách làm trên :

C Sai ở III) D Cả I), II), III) đều đúng.

Câu 25. Cho , ,a b c  Xét các bất đẳng thức sau:0

a b

a b c

b c a   III)  

1 1

4

a b

Bất đẳng thức nào đúng?

A Chỉ I) đúng B Chỉ II) đúng C Chỉ III) đúng D Cả ba đều

đúng

b c a   b c a   đúng;

2

a b ab



 





a b

Trang 7

Câu 26. Cho các bất đẳng thức: 2  

a b

I

a b c

II

b c a   ,

 

III

a b c  a b c  (với , ,a b c  ) Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng0

thức trên là đúng?

A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng. D , ,I II III đều đúng

b c a   b c a   đúng;

3 3

a b c abc







a b c

a b c a b c

Câu 27. Cho , ,a b c  Xét các bất đẳng thức:0

I) a b c  33 abc II) 

1 1 1

9

a b c

  III)a b b c c a        9 Bất đẳng thức nào đúng:

A Chỉ I) và II) đúng B Chỉ I) và III) đúng.

 a b c  33 abc  I đúng;



3 3

a b c abc











  

a b c

a b c  a b c   đúng;

 a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca  a b b c c a        8abc  III sai

Câu 28. Cho , ,a b c  Xét các bất đẳng thức:0

a b c

b c a

64

b c c a a b

a b c

III) a b c abc   Bất đẳng thức nào đúng?

C Chỉ I) và II) đúng D Cả ba đều đúng.

  1 a 1 b 1 c 8 a b c 8

đúng

1

b

a  a ;

1

c

2

b c

Tương tự:

4 2

2

c a

4 2

2

a b

Trang 8

Suy ra:  

64

b c c a a b II

a b c

2

3 abc a b c abc     abc  3 abc3 3 III sai

Câu 29. Cho , ,x y z  và xét ba bất đẳng thức(I) 0 x3y3z3 3xyz; (II)

x yz x y z  ; (III) 3

x y z

y z  x Bất đẳng thức nào là đúng?

A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng C Chỉ III đúng.

D Cả ba đều đúng.

 

x y z  x y z  xyz I đúng;

3

3 3

x y z xyz











  

x y z

x yz x y z   sai;

 

3

x y z x y z

III

yz x y z x   đúng

Câu 30. Cho ,a b  và 0 ab a b  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a b 4 B a b 4 C a b 4 D a b 4

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

 2

4

a b

ab 

Do đó: ab a b  

 2

4

a b



   a b 2 4a b   0 a b a b     4 0

4 0

a b

    (vì a b  ) 0  a b 4

Câu 31. Cho a b c d   và xa b c d    

, ya c b d    

, za d b c    

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A x y z  B y x z  C z x y  D x z y 

Ta có: x y a b c d      a c b d     a c d  b c d   a b d   c b d  

a c b bd cd d a b c

Suy ra: x y

Tương tự: x z a c d b      0 x z ; y z a b d c      0 y z

Câu 32. Với m, n 0, bất đẳng thức: mn m n   m3n3

tương đương với bất đẳng thức

A.   2 2

0

m n m n 

0

m n m n mn 

C.   

2

0

m n m n   D Tất cả đều sai.

Trang 9

  3 3 2 3 2 3 0

mn m n m n  m n m mn  n 

m m n n m n

Câu 33. Bất đẳng thức: a2b2c2d2e2 a b c d e    

, , , , a b c d tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A.

0

B.

0

C.

0

a b  a c  a d  a d 

a b c d e a b c d e  

0

Câu 34. Cho , x y  Tìm bất đẳng thức sai?0

A. 

2

4

x y  xy B.

x y  x y

2

xy x y

2

x y  x y

x y 1 1 4 1 1 4



Câu 35. Chox2y2  , gọi S x y1   Khi đó ta có

Ta có: 1x2y2 2xy 2xy 1

Mặt khác: S2 x y 2 x22xy y 2 2   2 S 2

Câu 36. Cho ,x y là hai số thực thay đổi sao cho x y  Gọi2 m x 2y2 Khi đó ta

có:

A giá trị nhỏ nhất của m là 2 B.giá trị nhỏ nhất của m là 4

C giá trị lớn nhất của m là 2 D.giá trị lớn nhất của m là 4

Ta có: x y  2 y 2 x

Trang 10

Do đó:    

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2

2

x ,

2 1

x  ,

2 1

x  ,

1 2

x 

, 2

x

giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

A.

2

2 1

x

Ta có:

x x x và

1

x x 



   

 

x

 

2

x x

2

x

f x

x

 

 với 1 là

5

f x

Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng   52

2

x

f x

x





bằng

A.

1

2

1

2

2 2

x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng

1

2 2

1 2

f x x

x

với x  0 là

1

Ta có: f x  2x 1 2 2 x 1 2 2

Vậy hàm số f x có giá trị nhỏ nhất bằng   2 2

Câu 41. Với , ,a b c  Biểu thức 0

P

b c c a a b

Trang 11

3

0

2

P

3

4

3

2P

3

P a b c

b c c a a b

Áp dụng bất đẳng thức

x yz x y z  suy ra:

2

b c c a a b      a b c 

Do đó

3

; đẳng thức xảy ra khi a b c 

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	695,02 KB