Phương pháp 1:
- Đối với những bài toán có giả thiết abc = 1. Đặt .., ( x, y, z 0 ).
- Đối với dạng toán mà xyz = k3 với k là hằng số dương cho trước, tùy theo bài dạng mà đổi biến cho phù hợp, thường có ba cách đổi biến cơ bản sau:
Cách 1: Đặt ;
Cách 2: Đặt ;
Cách 3: Đặt ;
Sau đây là một số ví dụ làm sáng tỏ điều này.
Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn.
Nhận xét. a, b, c là các số thực dương và abc = 1 nên ta đặt , với x, y, z là các số thực dương.
Ta có:
Đây chính là BĐT Nesbit cho ba số dương xy, yz, zx, suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn.
Nhận xét. a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt , với x, y, z là các số thực dương.
Ta có:
(*)
Đặt . Khi đó
(*) (**)
Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có:
Ba bất đẳng thức trên có hai vế đều dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra .
Chú ý: Ta có thể chứng minh (*) theo cách sau đây:
Do vai trò x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát nên giả sử : x y z
> 0. Như vậy x – y +z > 0 và y – z + x > 0.
+ Nếu z – x + y 0 thì (*) hiển nhiên đúng.
+ Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có:
; ;
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, suy ra (*).
Vậy (*) đúng cho mọi x, y, z là các số thực dương, suy ra bài toán được chứng minh.
Phát hiện: Việc đổi biến và vận dụng (**) một cách khéo léo giúp ta giải được bài toán ở Ví dụ 3 sau đây:
Ví dụ 3. Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn.
Đặt .
Ta thấy x, y, z đều dương và BĐT cần chứng minh trở thành S = .
Do = .
Tương tự ta có: ; .
Suy ra: (1)
Mặt khác nếu S = x + y + z < 1
thì: T = >
Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz (theo (**) ví dụ 12) (2) Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (3)
Nhân (2) và (3) vế với vế, ta được:
hay: .
Từ đây suy ra: T > 83 mâu thuẩn với (1).
Vậy S = x + y + z 1, tức bài toán được chứng minh.
Ví dụ 4. Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
. Hướng dẫn.
Do xyz = 1 nên đặt . Khi đó BĐT thức cần chứng minh trở thành (*) . Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có
, để chứng minh (*) ta
cần chứng minh
luôn đúng. Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 5. Cho x, y, z là các số khác – 1 thỏa mãn điều kiện xyz = 8. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn.
Do xyz = 8 nên đặt , BĐT cần chứng minh trở thành . Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có
, ta cần chứng minh:
. BĐT này đúng . Đến đây bài toán được chứng minh.
Ví dụ 6. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
. Hướng dẫn.
Do xyz = 1 đặt với a, b,c là các số thực dương. BĐT đã cho trở thành:
Ta nhận thấy tổng 2 trong 3 số là một số dương nên trong ba số tồn tại ít nhất 2 số dương
Nếu trong ba số có 1 số âm thì 2 số còn lại dương nên BĐT đúng
Nếu cả 3 số dương thì
(**)
Ta có :
Nhân các BĐT dương cùng chiều ta được BĐT (**), do đó bài toán được chứng minh.
Ngược lại, đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các biểu thức (hoặc biến đổi của nó) có chứa các biểu thức có dạng: , với x, y, z 0. Lúc này việc đặt , với abc = 1 là một phương pháp hữu hiệu, sau đây là các ví dụ minh chứng điều này:
Ví dụ 7. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1) 2)
Hướng dẫn.
1) BĐT .
Đặt . Ta có x, y, z là các số thực dương có tích xyz = 1.
Suy ra:
(x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) (x + 2)(y + 2)(z + 2)
(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12 xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 8 4 xyz + xy + yz + zx 3 xy + yz + zx.
Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có:
. Suy ra điều phải chứng minh.
2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1).
Cách 2: Ta có:
Áp dụng kết quả bài toán 1), ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Phương pháp 2: Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c không âm có vai trò như nhau ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến như sau
Đặt ; ; .
Ta có các đẳng thức sau:
(1)
(2)
(3)
(4) Cùng với việc áp dụng các bất đẳng thức sau:
(5) (6) (7) (8) (9) (Bạn đọc tự chứng minh các bất đẳng thức trên).
Sau đây là một số ví dụ để làm sáng tỏ vấn đề này:
Ví dụ 1. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh:
Hướng dẫn.
Đặt ; ; .
Theo (1) thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
.
Do z = abc = 1 nên theo (6) và (7) suy ra: x 3; y 3 suy ra: x(y – 2) 3 là BĐT đúng. Đẳng thức xảy ra x = y = 3 hay a = b = c =1. Suy ra bài toán được chứng minh
Ví dụ 2. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3. Chứng minh:
Hướng dẫn.
Đặt ; ; .
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
(*)
Theo (9) kết hợp với x = a + b + c =3 ta có: .
Suy ra: (**)
Mặt khác: (đúng với mọi y).
Từ (*) và (**) suy ra bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c =1.
Ví dụ 3. Cho ba số không âm a, b, c thoả mãn: . Chứng minh:
(*) Hướng dẫn.
Đặt ; ; .
Do , nên theo (3) bất đẳng thức (*) trở thành:
. Mặt khác, theo (9) suy ra:
Vậy để hoàn thành bài toán ta cần chứng minh: . Thật vậy, từ (5) và (6) suy ra:
.
Từ đó ta có:
Đây là bất đẳng thức đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1.
Ví dụ 4. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh:
Hướng dẫn.
Đặt ; ; . Ta có:
(*)
Theo (1) và (2) thì (*) trở thành:
Do y = 3 nên từ (5) suy ra , kết hợp (9) ta có bất đẳng thức trên đúng, suy ra bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1.
Ví dụ 5. Cho ba số a, b, c thuộc (0; 1) thoả mãn . Chứng minh:
Hướng dẫn.
Ta có: = .
Do vậy, nếu đặt ; ; thì ta có: .
Theo (9) thì ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Chú ý rằng: và suy ra: .
Ta xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu x 1 thì .
Trường hợp 2: Nếu thì: 3x – 4< 0 và 0 < x – 1 < y, suy ra:
Trường hợp 3: Nếu thì:
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có luôn đúng, suy ra bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = .
Phương pháp 3. Đối với những bài toán mà biến a, b, c, … thuộc đoạn với n >
0 nên ta có thể dùng phép đặt a = n – x; b = n – y; c = n – z; … Ví dụ 1. Cho các số a, b, c thuộc đoạn
1) Chứng minh
2) Tìm GTLN của biểu thức Hướng dẫn.
1) Đặt a = 1 – x; b = 1 – y; c = 1 – z, do a, b, c thuộc đoạn nên x, y, z thuộc đoạn . Khi đó BĐT ở câu a trở thành:
luôn đúng vì x, y, z thuộc đoạn Đẳng thức xảy ra khi (a, b, c) = (1, 1, 1); (1, 1, 0) ; (1, 0, 1); (0, 1, 1).
2) Do a, b, c thuộc đoạn nên vì
Tương tự ta có: nên cộng vế theo vế các BĐT cùng
chiều trên ta suy ra .
Mặt khác theo câu a ta có: nên
P = 2 khi (a, b, c) = (1, 1, 0) ; (1, 0, 1); (0, 1, 1).
Vậy GTLN của P = 2 (a, b, c) = (1, 1, 0) ; (1, 0, 1); (0, 1, 1).
Nhận xét. Từ nhận xét mở đầu ta có thể mở rộng dạng toán này bằng cách thay đổi khoảng của biến (ví dụ 2) hoặc thêm biến (ví dụ 3).
Ví dụ 2. Cho các số a, b, c thuộc đoạn 1) Chứng minh
2) Tìm GTLN của biểu thức Hướng dẫn.
1) Đặt a = 2 – x; b = 2 – y; c = 2 – z, do a, b, c thuộc đoạn nên x, y, z thuộc đoạn . Khi đó BĐT ở câu a trở thành:
hiển nhiên đúng vì x, y, z thuộc đoạn .
Đẳng thức xảy ra khi (a, b, c) = (2, 2, 2); (2, 2, 0) ; (2, 0, 2); (0, 2, 2).
2) Do a, b, c thuộc đoạn nên vì
Tương tự ta có: nên cộng vế theo vế các BĐT cùng
chiều trên ta suy ra
Do đó P ; P = 4 khi (a, b, c) = (2, 2, 0) ; (2, 0, 2); (0, 2, 2).
Vậy GTLN của P = 4 (a, b, c) = (2, 2, 0) ; (2, 0, 2); (0, 2, 2).
Ví dụ 3. Cho các số a, b, c, d thuộc đoạn 1) Chứng minh
2) Tìm GTLN của biểu thức Hướng dẫn.
1) Cách 1: Đặt a = 1 – x; b = 1 – y; c = 1 – z, d = 1 – t do a, b, c thuộc đoạn nên x, y, z thuộc đoạn . Khi đó BĐT ở câu a trở thành:
hiển nhiên đúng vì x, y, z , t thuộc đoạn
Dấu đẳng thức xảy ra khi 4 số a, b, c, d cùng bằng 1 hoặc 3 trong bốn số a, b,c, d bằng 1, số còn lại bằng 0.
Cách 2: Vì a, b, c, d thuộc đoạn nên ta có:
Tương tự: ;
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế thu gọn ta được điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra như cách 1.
2) Bạn đọc tự chứng minh.
Ví dụ 4. Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:
. Hướng dẫn.
Đặt a = 4 + x ; b = 5 + y; c = 6 + z; Từ giả thiết suy ra: x 0; y 0; z 0.
Giả sử . Mặt khác từ
Do (vì x
0; y 0; z 0).
Khi đó ta có: .
Điều này mâu thuẫn với đẳng thức (*) từ đó ta có điều cần chứng minh
Phương pháp 4: Một số phương pháp đổi biến khác để đưa về các bất đẳng thức quen thuộc.
Đối với một số bài toán bằng việc quan sát kĩ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể lựa chọn việc đổi biến số để đưa về các bất đẳng thức quen thuộc. Sau đây là 1 số ví dụ cụ thể :
Ví dụ 1. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
Hướng dẫn.
Ta đặt nên BĐT
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
Ví dụ 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: . Chứng minh :
Hướng dẫn.
Đặt với . Từ giả thiết
.
Và BĐT cần CM .
mặt khác ta có BĐT sau: .
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra .
Ví dụ 3. Cho x, y, z > 0 thoả . Chứng minh:
. Hướng dẫn.
Từ giả thiết ta có thể đặt: với a,b,c >0
Nên BĐT CM
(đúng)
Dấu “=” xảy ra
Ví dụ 4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:
Hướng dẫn.
Ta đặt với thì
BĐT
Mặt khác ta có
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra .
Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh :
Hướng dẫn.
Ta đặt với và do nên
Nên BĐT .
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
. Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra .
Ví dụ 6. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: . Chứng minh : .
Hướng dẫn.
Từ
Ta đặt với
Nên BĐT cần CM
Mặt khác ta có:
Nên
Vậ y BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra
Ví dụ 7. Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn.
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: .
Đặt .
Vế trái viết lại:
Ta có: .
Tương tự:
Do đó: .
Tức là:
Ví dụ 8. Cho các số thực a, b với a + b 0. Chứng minh:
. Hướng dẫn.
Đặt .
Ta có: ab + bc + ca = –1 và lúc này BĐT cần chứng minh trở thành:
(luôn đúng).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 9. Cho3 số dương a, b, c thỏa: a + b + c =1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn.
VT= + +
= + +
= + +
Đặt: a + b = x, b + c = y, c + a = z. Vế trái bất dẳng thức tương đương:
+ + + + = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 (BĐT Cauchy)
Vậy: + + 2 a, b, c >0 thỏa a + b + c =1.
Một số bài tập áp dụng Bài 1. Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn . CMR:
a.
b.
Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn . CMR:
Bài 4. Cho thoả mãn . CMR:
Bài 5. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
a. với S là diện tich tam giác.
b.
Gợi ý: Đặt
Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. Cho a, b > 0 thoả mãn a + b = 1. Chứng minh: .
b. Cho a + b + c + d = 1. Chứng minh: .
c. Cho a + b + c 3. Chứng minh: .
d. Cho a + b > 8 và b 3. Chứng minh: .
Bài 7. Cho a, b, c là các số dương và . Chứng minh rằng 8abc 1.
Bài 8. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh:
(a + b)(b + c)(c + a) 5(a + b + c) – 7 Bài 9. Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh:
Bài 10. Cho các số dương a, b, c sao cho abc = 1. Chứng minh:
.
Bài 11. Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh:
Bài 12. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh: