II.1.1 Một số bất đẳng thức dạng đa thức
Trong phần này, để thuận tiện ta quy ước các biến xuất hiện trong mỗi bất đẳng thức đều là các số không âm. Việc chứng minh những đánh giá này không khó khăn và tương tự nhau và để tập trung hơn vào nội dung chính, do đó việc chứng minh các đánh giá này sẽ không được đề cập trong chuyên đề này.
i) , dấu bằng xảy ra khi .
ii) , dấu bằng xảy ra khi .
iii) , dấu bằng xảy ra khi .
iv) , dấu bằng xảy ra khi .
v) ; , dấu bằng xảy ra khi .
II.1.2 Một số bất đẳng thức dạng phân thức:
Cho là các số dương
i) , dấu bằng xảy ra khi .
ii) , dấu bằng xảy ra khi .
iii) , dấu bằng xảy ra khi .
II.1.3 Một số bất đẳng thức dạng căn thức:
i) , dấu bằng xảy ra khi .
ii) , dấu bằng xảy ra khi:
.
iii) , dấu bằng xảy ra
khi: .
iv) , dấu bằng xảy ra khi:
. v) Cho
+) , dấu bằng xảy ra khi:
+) (với ), dấu bằng xảy ra khi: .
Trên đây là một vài đánh giá ta hay sử dụng trong các bất đẳng thức của chuyên đề này, việc xây dựng và chứng minh chúng không khó khăn mà vấn đề chính đó là ta sử dụng nó như thế nào và khi nào?
Trong phần tiếp theo ta sẽ minh hoạ bằng một số bài toán đã xuất hiện gần đây trong một số đề thi tuyển sinh vào Đại học và đề thi học sinh giỏi. Phần lớn lời giải đều đã có sẵn, một vài bài toán có lời giải khác so với hướng dẫn, tuy nhiên đó không phải là mục tiêu của chuyên đề này mà nội dung chủ yếu đó là ta phân tích để làm xuất hiện các lời giải đó.
II.2. Dấu đẳng thức trong một số bất đẳng thức
II.2.1. Một số bất đẳng thức đối xứng và không có ràng buộc đối với các biến Trong phần này ta sẽ đưa ra một số bất đẳng thức có tính chất sau đây:
+) Đối xứng đối với các biến.
+) Các biến không có ràng buộc nhau
Bài 1. Cho là các số dương. CMR: (1).
Trước hết ta xét lời giải của bài toán:
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra:
Mà từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi . Một vấn đề đặt ra khi giảng bài toán này đó là tại sao ta có thể chọn được các biểu thức để ghép với số hạng trong bất đẳng thức trên, có phải là ta may mắn tìm được hay là có cơ sở nào đó? Câu trả lời đó là việc chọn số hạng trên hoàn toàn có cơ sở, nó dựa vào nhận xét sau: Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên dấu bằng trong bất đẳng thức thường xảy ra khi ; kiểm nghiệm lại (1) thấy đúng. Do đó có thể suy luận như sau để làm xuất hiện số hạng trong đánh giá đầu tiên: Khi dấu bằng xảy ra thì nên số hạng cộng vào cũng phải bằng (bậc 2), hơn nữa số hạng cộng thêm phải chứa (bậc 1) vì vậy ta phải nhân thêm a để cùng bậc 2, còn việc chia cho 4 để khi .
Với suy luận như vậy, ta có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức.
Bài 2. Cho là các số dương chứng minh rằng:
(2) Phân tích:
+) Dấu bằng xảy ra khi .
+) Ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng: với một vài số hạng để làm xuất hiện số hạng ở vế phải của (2).
+) Số hạng cộng vào phải chứa và có bậc bằng 3 và bằng khi .
Từ các phân tích trên ta chọn được số thoả mãn các yêu cầu trên. Từ đó ta có lời giải của bài toán:
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng vế với vế ta có:
Mặ khác ta có: từ đó ta suy ra điều phải chứng
minh.
Từ cách suy luận như trên ta có thể phát triển ra nhiều bài toán tương tự và tổng quát từ những đánh giá như trên.
Bài 3. Cho là các số dương, chứng minh rằng:
a)
b)
c)
Bài 4. Dựa vào đánh giá số hạng: bằng bất đẳng thức Cauchy hãy đưa ra bài toán đầy đủ.
Như vậy qua việc phân tích lời giải của bài toán 1 thì ta có thể làm được nhiều bài toán tương tự, không những vậy ta còn có thể tạo ra những bài toán mới-một công việc mà tưởng chừng như không thể đối với học sinh bình thường.
II.2.2. Một số bất đẳng thức đối xứng có ràng buộc đối với các biến
Trong phần này ta sẽ đưa ra một số bất đẳng thức có tính chất sau đây:
+) Đối xứng đối với các biến.
+) Các biến có ràng buộc nhau bằng một đẳng thức hoặc 1 bất đẳng thức Bài 5. (Đề thi Đại học khối A năm 2003)
Cho là các số dương thoả mãn điều kiện . CMR:
(5) Phân tích:
+) Vì vài trò của các biến là như nhau nên dấu bằng thường xảy ra khi . Kiểm tra lại = thì (5) xảy ra dấu bằng.
+) VT của (5) có dạng căn bậc hai tương tự như bất đẳng thức trong phần 1.3 do đó ta có thể sử dụng đánh giá tương tự.
Từ đó ta có lời giải bài toán:
Chứng minh:
Ta có:
Cộng vế với vế ta được:
Mà: , từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng
xảy ra khi .
Bài 6 (Đề thi HSG lớp 12 Thành phố năm 2009).
Cho 2 số dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích:
+) Vai trò của và là như nhau nên có thể dự đoán Amin khi ; nên Amin khi dấu bằng xảy ra. Kết hợp với tính giá trị của A tại vài điểm khác ta dự đoán Amin khi .
+) Ta cần làm biến mất tích ở trên tử số để có thể sử dụng giả thiết .
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho và số có dạng , m được tìm dựa vào điều kiện khi thì , từ đó ta có thể chọn .
Từ các phân tích trên ta có lời giải của bài toán:
Bài giải
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu bằng xảy ra khi . Vậy khi .
Bài 7.
Cho là các số dương thoả mãn điều kiện: . CMR:
(7) Phân tích:
+) Vai trò của là như nhau, kết hợp với điều kiện , ta có thể suy ra dấu bằng khi .
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng và các số hạng có dạng
để khử mẫu số. Dựa vào điều kiện để xảy ra dấu bằng, khi đó mà nên ta có
suy ra .
Từ đó ta có lời giải của bài toán Chứng minh:
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
+) Cộng vế với vế ta suy ra:
. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 8. Cho 2 số dương thỏa điều kiện và. Tìm giá trị nhỏ nhất: .
Phân tích:
+) Vai trò của như nhau nên có thể giá trị nhỏ nhất xảy ra khi và , từ đó suy ra .
+) Ta tìm số m sao cho bất đẳng thức: xảy ra dấu bằng khi . Từ đó ta suy ra .
Bài giải:
+) Ta có:
. Từ đó suy ra:
.
Mà do đó ta suy ra: , dấu bằng xảy ra khi . Vậy
khi .
II.2.3. Một số bất đẳng thức không đối xứng
Bất đẳng thức không đối xứng nói chung việc đánh giá dấu bằng là tương đối khó khăn, trong phần này ta chỉ xét một vài bất đẳng thức mà việc chỉ ra dấu bằng không quá phức tạp.
Bài 9. (Bài 4.22-Bài tập Đại số 10 nâng cao).
Cho 1 tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 x 50. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất.
Phân tích
Gọi là kích thước hình vuông cắt đi, ta có: thể tích của khối hộp là: ( ).
+) Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số : sẽ làm xuất hiện nhưng không khử được và do đó không tìm được giá trị lớn nhất. Mặt khác nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
thì khi xem xét dấu bằng sẽ không thể tìm được . +) Trong lời giải ta tìm thấy cách đánh giá
dấu bằng xảy ra khi . Tại sao ta có thể có đánh giá trên may mắn hay có cơ sở?
+) Để trả lời câu hỏi này ta xuất phát từ ý tưởng sau: Tìm 2 số m và n trong đánh giá:
sao cho (*) và dấu bằng phải xảy ra tức là:
(**).
Từ (*) ta suy ra ; từ (**) ta suy ra:
Từ đó ta có m, n thoả mãn hệ phương trình: . Giải hệ ta được .
Như vậy việc chọn các hệ số trong lời giải là có cơ sở chứ không phải do may mắn hoặc đoán mò.
Bài 10 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thành phố HP năm 2010).
Cho 3 số không âm a, b, c thoả mãn . CMR
Phân tích
+) Ý tưởng xuất phát cho lời giải đó là áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số hạng để làm xuất hiện lần lượt sau đó cộng lại ta suy ra đpcm.
+) Ta chọn số m trong các đánh giá:
m thoả mãn điều kiện mà từ đó suy ra: .
Ta có lời giải của bài toán như sau:
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu bằng xảy ra khi: .
Bài 11. (Đề thi khảo sát Đại học năm 2013-2014-Trường THPT Trần Phú) Cho là các số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ý tưởng xuất phát: Dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá biểu thức:
sau đó khảo sát hàm số . Để có được điều này ta phải tìm các số m và n trong các đánh giá sau:
+) ;
Từ đó suy ra: , do đó để có được điều mong muốn
ta phải tìm các số m, n để (*).
Việc giải quyết trọn vẹn hệ phương trình (*) là điều tương đối khó khăn, tuy nhiên tìm ra một nghiệm của (*) là việc có thể làm được chẳng hạn dùng máy tính cầm tay Casio –fx 570-ES ta chọn được . Từ đó ta có lời giải của bài toán như sau.
Bài giải:
+) Ta có: ;
Từ đó suy ra: do đó
+) Đặt , ta có: , dấu bằng xảy ra khi
.
Bài 12. Cho 2 số dương thay đổi x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Ý tưởng xuất phát:
Ta có: , để khử được ở mẫu ta tìm 2 số m và n sao cho:
đồng thời: (*), tương tự như trên ta có thể tìm được một nghiệm
của (*) là . Từ đó ta có lời giải bài toán:
Bài giải:
Ta có: , từ đó suy ra:
, dấu bằng xảy ra khi .
Vậy khi . III. KẾT LUẬN
Qua một số ví dụ về việc phân tích điều kiện xảy ra dấu bằng để tìm lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức phần nào giải đáp được câu hỏi vì sao có thể có được đánh giá như vậy. Qua đó giúp ta tiếp cận các bất đẳng thức một cách dễ dàng hơn. Tất nhiên trong nội dung của chuyên đề này chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ về cách chứng minh bất đẳng thức và cũng chỉ giải quyết được một lớp các bất đẳng thức tương đối hẹp.
Chuyên đề này được viết theo những hiểu biết còn ít về bất đẳng thức của tác giả vì vậy không tránh khỏi những sai sót và hạn chế, rất mong được sự góp ý và chỉ bảo của của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Để có thể áp dụng suy luận trên xin đưa ra một số bài tập để làm rõ hơn vấn đề này.
1. Cho 2 số dương a, b thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2. Cho 2 số dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3. (A - 2009). Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện . CMR:
.
4. Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
5. Cho là các số dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
6. Cho tứ diện đều có cạnh bằng 1. Các điểm lần lượt trên các cạnh và sao cho
và .
a) CMR: .
b) Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo . c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích toàn phần trên.