Giải Toán 9 Bài 3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Lý thuyết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Định lý 1 Trong một đường tròn a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dâ[.]
Trang 1Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ
tâm đến dây
Lý thuyết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến
dây
Định lý 1: Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
Định lý 2 Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
Xét đường tròn (O):
Khi đó:
Giải bài tập toán 9 trang 106 tập 1 Bài 12 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB Chứng minh rằng CD = AB
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
Trang 2a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.
Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây suy ra: J là trung điểm của AB
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:
OJ2 = OA2 – AJ2 = 52 – 42 = 9 (OA = R = 5cm)
=> OJ = 3cm (1)
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm
b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M
Tứ giác OJIM có: góc I = góc J = góc M = 900 nên là hình chữ nhật
Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm
=> OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật) (2)
Từ (1), (2) suy ra CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) (đpcm)
Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng:
a) EH = EK
b) EA = EC
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa:
Trang 3a) Nối OE ta có: AB = CD
=> OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
K là trung điểm của CD nên OK ⊥ CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Hai tam giác vuông OEH và OEK có:
OE là cạnh chung
OH = OK
Do đó ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
=> EH = EK (1) (đpcm)
b) Ta có: H là trung điểm của AB nên AH =
K là trung điểm của CD nên
(định lí 1)
Tương tự
Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
EA = EH + HA = EK + KC = EC
Vậy EA = EC (đpcm)
Giải bài tập toán 9 trang 106 tập 1: Luyện tập
Trang 4Bài 14 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm Vẽ dây CD song song với AB và
có khoảng cách đến AB bằng 22cm Tính độ dài dây CD
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
Kẻ OM ⊥ AB, ON ⊥ CD
Ta thấy M, O, N thẳng hàng Ta có:
= 20 cm; MN = 22 cm
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AMO có:
OM2 = OA2 – AM2 = 252 – 202 = 225
=> OM = √225 = 15cm
=> ON = MN – OM = 22 – 15 = 7 (cm)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CON có:
CN2 = CO2 – ON2 = 252 – 72 = 576
=> CN = √576 = 24
=> CD =
Bài 15 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O Cho biết AB > CD
Trang 5Hãy so sánh các độ dài:
a) OH và OK
b) ME và MF
c) MH và MK
Gợi ý đáp án
a) Trong đường tròn nhỏ:
AB > CD => OH < OK (định lí 3)
b) Trong đường tròn lớn:
OH < OK => ME > MF (định lí 3)
c) Trong đường tròn lớn:
ME > MF => MH > MK
Bài 16 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A
Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA Hãy so sánh độ dài hai dây BC và
EF
Gợi ý đáp án
Kẻ OH ⊥ EF
Trong tam giác vuông OHA vuông tại H
có OA > OH (đường vuông góc ngắn
hơn đường xiên)
Vì OA > OH nên BC < EF (định lí 3)