Lý thuyết Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn 1 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn đ[.]
Trang 1Lý thuyết Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
1 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
2 Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau Tính góc và độ dài đoạn thẳng
Phương pháp:
+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau + Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, chứng minh
các hệ thức
Phương pháp:
+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau +) Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song
Giải bài tập toán 9 trang 82, 83 Tập 2 Bài 36 (trang 82 SGK Toán 9 Tập 2)
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H Chứng minh tam giác AEH
là tam giác cân
Vẽ hình:
Xem gợi ý đáp án
Trang 2Ta có:
(1)
, (2) (Vì là góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn chắn các cung AM và cung NC,
và là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung AN và cung MB)
Theo giả thiết thì:
(3) (M là điểm chính giữa cung AB)
(4) N là điểm chính giữa cung AC)
Từ (1),(2), (3), (4), suy ra do đó ∆AEH là tam giác cân (định nghĩa tam giác cân)
Bài 37 (trang 82 SGK Toán 9 Tập 2)
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M Gọi S
là giao điểm của AM và BC
Vẽ hình:
Xem gợi ý đáp án
Trang 3Xét đường tròn (O), ta có:
là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung MC và AB
(1)
và
đ
(2) (góc nội tiếp chắn cung ) Theo giả thiết thì: AB = AC => (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm)
Bài 38 (trang 82 SGK Toán 9 Tập 2)
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho
đ đ đ Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T Chứng minh rằng:
a)
b) CD là phân giác của
Vẽ hình:
Xem gợi ý đáp án
Trang 4a) Xét đường tròn (O) có đ đ đ nên
Ta có là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung CD và AB nên:
và cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung BC lớn và BC nhỏ (hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:
Vậy
b) Xét đường tròn (O) có:
là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung CD nên:
đ
là góc nội tiếp chắn cung BD nên:
đ
Trang 5Giải bài tập toán 9 trang 83 Tập 2: Luyện tập
Bài 39 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2)
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O) Trên cung nhỏ BD lây một điểm M Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S.Chứng minh ES = EM
Vẽ hình minh họa
Xét đường tròn (O) có hai đường kính nên nên
+) Ta có là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AC và cung BM
(1) +) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung CM
(2) +) Lại có: (cmt) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: từ đó ∆ESM là tam giác cân tại E và ES = EM
(đpcm)
Bài 40 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2)
Xem gợi ý đáp án
Trang 6Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D Chứng minh SA = SD
Vẽ hình
Gọi E là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn (O)
Xét đường tròn (O) ta có:
+) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AB và CE
(1) +) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AE
đ
(2)
+) Có: (do AE là phân giác góc BAC (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)
Từ (1), (2), (3) tam giác SDA cân tại S hay SA=SD
Bài 41 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2)
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên tròn đường tròn
Xem gợi ý đáp án
Trang 7Chứng minh:
Vẽ hình minh họa:
Xét đường tròn (O) có:
+) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn (O) chắn cung CN và BM
+) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) chắn cung CN và BM \Rightarrow
(2) Cộng (1) và (2) theo vế với vế:
đ
(3)
Mà là góc nội tiếp chắn cung CN
đ
đ (4)
Từ (3) và (4) ta được: (đpcm)
Bài 42 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2)
Xem gợi ý đáp án
Trang 8Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn P,Q,R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C
a) Chứng minh AP ⊥ QR
b) AP cắt CR tại I Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân
Vẽ hình
a) Gọi giao điểm của AP và QR là K
Vì P, Q,R theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A,
B C nên
Xét đường tròn (O) ta có:
+) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung AR và QP nên:
b) Xét đường tròn (O) ta có:
Xem gợi ý đáp án
Trang 9+) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung AR và CP nên:
(1)
+) góc nội tiếp chắn cung PR, nên
(2) Theo giả thiết thì (3)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: Do đó ∆CPI cân
Bài 43 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2)
Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I Chứng minh:
Vẽ hình
Theo giả thiết: (vì AB // CD) (1)
Ta có: là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung AC và cung
Theo (1) suy ra
đ
(3) Xem gợi ý đáp án
Trang 10Mà đ (góc ở tâm chắn cung ) (4)
Từ (3), (4), ta có (đpcm)