LUYỆN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:  ĐS: K = VẤN ĐỀ 3PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  fx có chứa hàm lôgarit mà không có dấu hiệu để đặt ẩn phụ  fx là tích của hai loại hàm khác

CHỦ ĐIỂM 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = f(x) = 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

Bài 3: 1) Hãy vẽ đồ thị (C1) của hàm số:

2) Dùng (C1) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

(m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2] (ĐH QG TP HCM KD)

Bài 4: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006)

Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = m

VẤN ĐỀ 2:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trịb) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó

Bài 2: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm)

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trịb)Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (Cm)

(ĐH KA – 2002)

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trịb) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó

Bài 4: Cho hàm số

a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT

b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ và CT của đồ thị

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BA

A Phương pháp:

Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C), ta có các bài toán sau:

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương 

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ âm 

(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C) tiếp xúc với Ox)

(C) cắt trục hoành tại 1 điểm 

Ngoài ra dựa vào đồ thị ta còn có nhiều bài toán khác…

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Tìm m để (Cm) tiếp xúc với hoành, biết:

a) (Cm): y = x3 - mx + m – 1b) (Cm): y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8c) (Cm): y = 2x3 + 3mx2 - 2m + 1

Bài 2: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + 6

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0

Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng một trong hai cách sau đây:

 Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm (C): f(x) với đường

thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT của f(x) )

Đặc biệt: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m

Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) 2) x + 3 = m3)

4)

7) x3 + 3x2 - 2 + m -1 = 08)

Bài 3: CMR với m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

 Cho y 0 : Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0)

 Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0)

2 Tiếp tuyến của (C) đi qua (kẻ từ) điểm M(x 1,y1) bất kỳ

( M(x1,y1) có thể thuộc hay không thuộc (C) )

 Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là:

y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1)

 Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1):

y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2)

 Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

3 Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x1; y1) kẻ được n tiếp tuyến

Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) có n nghiệm

 f(x) = f ’(x)(x – x1) + y1 có n nghiệm

+ M là trung điểm của AB+ Tam giác AIB có diện tích không đổi

 Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các trường hợp sau:

1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8)2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -23) Biết tung độ tiếp điểm bằng 274) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = - x + 35) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 26) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1)

(C) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I

a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị I là giao 2 tiệm cận của (H) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q Chứng minh rằng:

1) M là trung điểm của PQ 2) Tam giác AIB có diện tích không đổi 3) IQ.IP không đổi

CHỦ ĐIỂM 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 1

ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT

A PHƯƠNG PHÁP:

 Dùng công thức tách, công thức vi phân… để cách biến

đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử dụng trực tiếp bảng các nguyên hàm cơ bản

A PHƯƠNG PHÁP

Tính I = , ta có hai trường hợp sau:

 TH1: I =

Thì ta đặt: t =  dt =  I = Tích phân này dễ dàng tính được

(Tức nếu ta thấy trong biểu thức f(x) có thừa số này là đạo hàm của thừa số kia thì ta đặt t = thừa số này)

x =  dx =  I =

Tích phân này dễ dàng tính được

Các mẫu cần nhớ: Nếu tích phân có chứa:

1) hay , ( a > 0, Δ < 0): Đặt u =  tgt với < t < 2) ( a < 0, Δ < 0): Đặt u =  sint với  t 

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:

 ĐS: K =

VẤN ĐỀ 3PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

 f(x) có chứa hàm lôgarit mà không có dấu hiệu để đặt ẩn phụ

 f(x) là tích của hai loại hàm khác nhau

(Trong đó: u.dv = f(x).dx)Chọn u, dv thích hợp thì có dạng đơn giản

Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm thuận như: sinu, cosu,eu

thì ta đặt u = P(x) , dv = g(x).dx = (sinu / cosu / e u )dx

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau đây:

HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS: Với x = sint

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân

Bài 3:

( )

VẤN ĐỀ 7TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI:

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:

CHỦ ĐIỂM 3 CÁC DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIUTƠN

I DẠNG 1: Giải phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình

- Tính giá trị biểu thức (Áp dụng công thức )

A PHƯƠNG PHÁP

- Nếu gặp phương trình thì ta thực hiện các bước sau đây:

 Đặt điều kiện có nghĩa của :

 Dùng khai triển Niu tơn hoặc các công thức sau để rút gọn

 Cách 2: Dùng khai triển (a + x)n sau đó chọn x thích hợp, với a cho trước.

Nhận dạng: Mỗi số hạng có dạng: thì chọn khai triển (a + x)n

sau đó chọn x = b phù hợp

Đặc biệt nếu mỗi số hạng có dạng thì ta chọn khai triển (x + 1)n sau đó chọn x = a

 Cách 3: Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2, …

B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển

B2: Lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai của hai vế

B3: Chọn a, b, x, n thích hợp

Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:

Dùng đạo hàm cấp 1: Nếu một vế của khai triển mất hay

(C đầu hay cuối) và đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó tăng hoặc giảm đều một đơn vị,…

Dùng đạo hàm cấp 2: Nếu một vế của khai triển mất ( và ) hay (

và ) đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó là tích hai số

nguyên liên tiếp,…

Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi

đã loại bỏ các đặc trưng của đạo hàm

 Cách 4: Dùng tích phân

B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển

B2: Lấy tích phân (xác định) hai vế với cận thích hợp

B3: Tính tích phân hai vế ta được kết quả

Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:

Nếu một vế của khai triển có chứa và (C đầu và cuối) đồng thời

mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm đều một đơn vị, ….

Nếu hệ số của số hạng thứ k trong tổ hợp là: bk+1 – ak+1

Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi

đã loại bỏ các đặc trưng của tích phân

Bài toán 1: Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng

Bài toán 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

A PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 1: Ta thực hiện các bước sau đây:

 Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)n = (1)  Tính tổng số mũ của ẩn

 Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng số mũ của ẩn đề cho  k  Hệ số cần tìm

Chú ý: Tìm số hạng không chứa x: Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng 0.

Bài toán 2: (với ak > 0, )

Cách 1: Ta thực hiện các bước sau đây:

 Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)n = (1)  Có hệ số tổng quát là ak = …

 Xét tính đơn điệu (tăng: , giảm: ) của dãy số {ak} như sau:

 Dựa và tính đơn điệu của dãy {ak} mà  (ak)max

Cách 2: Tìm k để và  (ak)max

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

1)

Bài 2: Tìm hệ số chứa x12 trong khai triển (x2 + 1)n.

Biết tổng các hệ số của khai triển trên bằng 1024

Bài 3: Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15

Bài 4: Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + 2x)n bằng 59049 Tìm hệ số của x4

Bài 5: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển

(ĐH KD 2005) Bài 9: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10

(ĐH KD 2007) Bài 10: Tìm hệ số của x10 trong khai triển của , biết rằng:

(ĐH KB 2007)

Bài 12: Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển trên

Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong các khai triển sau:

1) (1 + 2x)n , ứng với: a) n = 12 b) n = 30

2)

Bài 14: Tìm n của khai triển biết hệ số của số hạng thứ 9 lớn nhất

Bài 15: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần

tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A

Tìm k{1, 2,…,n}sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất

 CHỦ ĐIỂM 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

1 Hệ thức cơ bản giữa các ham số

lượng giác:

5 Các cung liên quan đặc biệt

Cung đối nhau:

cos (a ± b) = cosacosb sinasinb

sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa

4 Công thức nhân đôi, nhân ba

tanx = 0  x = k; tanx = -1  ; tanx = 1 



2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)

 sinxcosα + sinαcosx = cosα  sin(x + α) = cosα (1)

Với điều kiện đầu bài ta được: cosα = sinβ ; -/2 ≤ β ≤ /2

Từ (1) ta được phương trình cơ bản:

Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t0, ta sẽ có phương trình

4 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

 PT dạng: asin 2 x + bsinx + c = 0 (hay acos2x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0Nếu PT này có nghiệm t0 (-1≤ t0 ≤ 1), ta được PT cơ bản:

sinx = t0 (hay cosx = t0)

 PT dạng: atan 2 x + btanx + c = 0 (hay acot2x + bcotx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = tanx, t  R (hay t = cotx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0Nếu phương trình có nghiệm t0 ta được phương trình cơ bản:

tanx = t0 hay (cotx = t0)Nhớ để tanx có nghĩa  x ≠ /2 +k

thì thay d = d(sin2x +cos2x) đưa về dạng (1) )

* Cách 1: Thay sin2x = ; sinx.cosx = ; cos2x = ; Ta có:

a (1 – cos2x) + b .sin2x + c .(1+cos2x) = 0

 b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)

Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)

* Cách 2:

 Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:

bsinx.cosx +c.cos2x = 0

 cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải

 Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên:

x ≠ /2 + k  cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

 a.tg2x + b.tgx + c = 0

(Đã biết cách giải)

6 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx = 

- sinx.cosx = : Phương trình trở thành: bt2 + 2.a.t +2c – b = 0

Nếu phương trình có nghiệm t0, ta giải phương trình:

= t0 với

Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx =  sinx.cosx = : cách giải tương tự.

B CÁC VẤN ĐỀ ÔN LUYỆN

Vấn đề 1: CÁC DẠNG PTLG THƯỜNG GẶP:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau:

Bài 3: Giải các phương trình sau:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Giải các phương trình sau:

2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x

3)

4)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos22x + sin2x – 1

2) 3(cos2x + ) + 5(cosx + ) = 2

3) 4sin5x cosx – 4cos5x sinx = cos24x + 1

4) sin4x + cos4x – cos2x + sin22x = 2

5)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)

Bài 1: Giải các phương trình sau:

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x – 3cos2x + 5sinx cosx = 2

2) 14sin4x + 2sin2xcos2x – 14sin2x - 8sinxcosx – 1 = 0

3) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0

4) 6sinx – 2cos3x =

5) sin3(x + ) = sinx

6) 3 cosx – sinx = cos3x + 3 sinx sin2x

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 4 (sinx + cosx) + 3sin2x – 11 = 0

2) (sinx + cosx)3 + sinx cosx – 1 = 0

3) (sinx - cosx)4 - 6sinx cosx – 1 = 0

4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|

5) sinx + cosx + 2 + tgx + cotgx + + = 0

6) cos3x – sin3x = cos2x

7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x

Vấn đề 2: HƯỚNG GIẢI MỘT PTLG NHƯ THẾ NÀO (HS Tự đọc kỹ)

      Trong các kí thi chúng ta thường gặp các phương trình lượng giác và chúng đãgây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinhthường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi

Trong chủ điểm này tôi xin trao đổi một số lưu ý với các em học sinh đangngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH nay.

     1) Trước hết thì các em cần nắm được những phương trình lượng giác thường gặp.

Trong những phương trình này tôi xin bàn với các em một chút về phương trình

đẳng cấp đối với sin và cos.

     Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậchai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba haycao hơn Minh chứng là đề thi ĐH khối B – 2008 (đẳng cấp bậc ba):

dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3 Do vậy với phương trìnhlượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp bậc k nhưsau: “Là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosxtrong một số hạng là cùng chẵn hoặc cùng lẻ và tổng luỹ thừa đó bằng k”

Cách giải: Xét TH cosx = 0, sau đó chia hai vế phương trình cho coskx ≠ 0 (k là bậccủa phương trình) ta được phương trình theo một hàm số lượng giác là tanx

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên2)

3) sin4x + 2sin2xcos2x – 14sin2x - 8sinxcosx – 1 = 04) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0

5) 6sinx – 2cos3x = 6) sin3(x + ) = sinx7) 3 cosx – sinx = cos3x + 3 sinx sin2x Những PT trên dành cho các em tự giải (vì đã có phương pháp giải)

2) Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà

thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực Để giải những phương

trình này ta phải tìm cách biến đổi về một trong các dạng phương trình lượng giácthường gặp, một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phươngtrình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác

 Ví dụ 1: Giải phương trình: Trích đề thi ĐH Khối A – 2008:

Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện haicung  và cung Các em lưu ý là ta luôn tính được giá trị đúng các giá trịlượng giác của các cung có dạng trong đó nên điều đầu tiên ta nghĩ tới

là sử dụng công thức cộng để phá bỏ hai cung đó

Ta có:

Nên phương trình đã cho

Nhận xét : • Để phá bỏ hai cung mà gây khó khăn cho chúng ta ngoài cách đã nêu ở

trên ta có thể làm theo cách khác như sau:

• Ta thấy sau khi phá bỏ hai cung và cung thì trong phương trình chỉ cònlại một cung x duy nhất nên ta dễ dàng biến đổi hơn nhiều

• Vậy nguyên tắc thứ nhất tôi đưa ra cho các bạn là: Đưa về cùng một cung. 

Ví dụ 2: Giải phương trình :   ( ĐH Khối D – 2006 ).

Lời giải:

Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung và về cung

Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có:

Chú ý : * Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết

công thức này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nókhông mấy khó khăn: sin3x = sin(2x + x) sau đó dùng công thức cộng và nhân đôi: