Cực và đối cực trong toán học và tin học

Cực và đối cực trong toán học và tin học

TÀM QUAN TRỌNG CỦA CỰC VÀ ĐÓI CỰC TRONG TOÁN HỌC

VÀ TRONG TIN HỌC

NGUYEN NGOC GIANG

Thạc sĩ Toán học — Cứ Nhân Khoa học Ngữ Van Anh

Trong toán học cực và doi cực là một trong những vấn đề được nhiều nguoi

quan tâm Cực và đối cực được sử dụng chứng minh nhiều dạng toán như

chứng minh đường thang di qua mot diém c6 dinh, chứng minh ba điểm thăng hàng, ba đường thẳng đồng quy, chứng minh trung điểm của một đoạn thắng, chứng minh hai đường thăng vuông goc, Tham chí ở bậc Dại học, cực và đối cực là một phân không thể thiếu trong chương trình toán cao cấp bởi cực và đối cực chính là hai khái niệm quan trọng của môn hình học

xạ ảnh Thế còn trong tin học thì sao ? Hiện nay ở nước ta chưa xuất hiện một công trình nào nghiên cứu kỹ lưỡng về vấn đề này Vì thế bàn về vấn đề nảy quả thật không đơn giản Qua những kết quả nghiên cứu ban đâu, tác giá nhận thấy rằng trong phân mêm hình học động cực và đối cực được ứng dụng trong phép dựng tiếp tuyến từ một điểm tới một cônic, phép đựng hai đường thăng vuông góc trong hình học Lobachevski (sử dụng mô hình Poincaré)

Bây giờ chúng ta sẽ đến với những điều vừa nói trước hết qua khái niệm cực

và đối cực

I Khái niệm cực và đôi cực

1.1 Hàng điểm điều hòa

d) Điều kiện cần và đủ của một hàng điểm điều hòa

1) Chọn góc bất kỳ OA = a,OB = b,OC = c,OD = d

2(ab ~ cđ) = (a + b)(c + đ) 2) Chọn góc A (hệ thức Descartes)

Các hệ thức tương tự:

BA BC BD CD CA CB DC DA DB

3) Chon goc la trung diém I cia doan AB (hé thirc Newton) :

IA? =IC ID, KC? = KA KB (K là trung điểm của CD)

Bôn đường thang đông quy hay song

song sẽ tao nén mot chim diéu hoa néu

hang diéu hoa

b) Chú ý

Cắt một chùm điều hòa bằng một cát

điều hòa và ngược lại chiếu mộthàng 4 €

điểm điều hòa ta được một chùm điều

hòa

a, b chia diéu hoa c, d

a, b lién hop điều hòa c, d

c) Điều kiện at có và đủ của một chùm điều hòa

1) Định lý

Điều kiện cần và đú đề bón đường thắng đồng quy tạo thành một chùm điều

hòa là có một cát tuyến song song với một đường bị ba đường chắn thành hai đoạn bằng nhau

2) Hệ quả I

Hai cạnh của một góc và hai

phân giác của góc tạo thành một

chùm điều hòa

3) Hệ quả 2

Nếu một chùm điều hòa có hai

tia liên hợp vuông góc với nhau

thi hai tia đụ lỏ cõc phón giõc của

cõc gục tạo bởi hai tia kia

4) ạp dụng

Dựng tia điều húa thứ tư khi biết ba tia của chỳm điều húa

Giả sử ta biết ba tia SA, SB, SC Muốn dựng SD liởn hợp với SC thớ chỉ

việc dựng BE //SA đặt BF=-—BE Noi SF ta duoc tia SD can tim (hinh

Cho hai duong thang x’Ox, y’Oy va mot diđờm A

ở ngoỏi hai đường thăng đụ Tớm quỹ tợch những

điểm B liởn hợp của A đừi với hai đường x'Ox,

y Oy do

Trởn một cõt tuyởn AM,N, ta lóy điệm liởn hợp

Bạ của A đối với Ox, Oy

1) Kẻ cõt tuyến lưu động AMN vỏ nối OBạ

OB, cắt AMN ởB O (A,B,M,N,) lỏ một chỳm điều húa theo định nghĩa Suy ra (ABMN) = —I1, vậy B lỏ điểm liởn hợp của A đụi với hai đường Ox,

Đường thắng quỹ tợch đụ gọi lỏ đường đối cực của điểm A đối với Ox, Oy

A gọi lỏ cực của đường thăng đụ

Mỗi điểm trong mặt phắng cụ một đường đối cực đừi voi Ox, Oy

Chỷ ý

Đường đối cực của A đối với hai đường song song d, đ' lỏ một đường thang

A song song voi d, d’

c) Cách vẽ đường đối cực của một điểm

Ta hãy tìm cách vẽ đường đôi cực của một điệm A đôi với hai đường thăng

Ox, Oy

1 Biết Ox, Oy và A, như thế là di biét ba tia OA, Ox, Oy ; ta chỉ việc kể tia

OB liên hợp của OA đối với Ox, Oy Bài toán này đã được đề cập ở phần trên

2 Kê hai cát tuyển AMN, AM)N' Gọi B và B' là liên hợp của A đối với

Ox, Oy Nhu vay, O, B, B’ thang hang MN’ cat M’N tai C Ta cé thé coi B

và B' liên hợp của A đối với hai đường CM và CN Vậy C, B, B’ thang hàng Tóm lại, O, B, B', C thắng hàng Do đó, đường đối cực của A đối với

Ox, Oy la đường OC

Phép dung nay rat don gian, chung ta chi can dùng thước mà thôi

Trong trường hợp hai đường thang xx’ ,yy cắt nhau tại O nhưng O ở ngoài giới hạn của tờ giấy thì ta dùng ba cát tuyến

Trong trường hợp hai đường thắng x'x, y'`y song song thì ta cũng có thé dùng ba cát tuyến để xác định đường đối cực của A

c) Ap dung vào đường chéo của một hình bốn cạnh toàn phần

O

Xét hình bón cạnh toàn phần ABCDEE Hai đường chéo BE và CF cắt nhau

ở O Đôi với hai tia OE và OF thì đường đôi cực của D là OA

Vậy đường chéo DA được hai đường chéo kia (BE và CF) chia điều hòa tại

P và Q

Lập luận tương tự cho hai đường chéo BE, CF

Tóm lại : Trong hình bốn cạnh toàn phân, mỗi đường chéo được hai đường chéo kia chia điều hòa

1.3 Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn

a) Định nghĩa

Cho đường tròn (O) Hai điểm A, B gọi là liên hợp đối với đường tròn (O)

khi đường tròn đường kính AB trực giao với đường tròn (©)

b) Bài toán

Tìm tập hợp những điểm liên hợp của một điểm A đôi với đường tròn (O)

Gọi B là một điểm bất kì trong mặt phẳng Vẽ đường tròn (I') đường kính

AB, đường tròn đó cắt OA ở H Góc AHB là góc vuông Vậy H là hình chiếu của B xuống OA OA cắt đường tròn tại C, D

Điều kiện cần và đủ để cho (T) trực giao với đường tròn (O) là

(AHCD) = —1 H là liên hợp của A đối với CD Vì A, C, D có định nên H

cũng có định Ta suy ra

Tập hợp những điểm liên hợp của A đối với đường tròn (O) là đường thẳng

A, vuông góc với OA tại H

Đường thẳng đó gọi là đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O) Đường đối cực A của A vuông góc với đường kính OA tại điểm H, vì (AHCD) = —1 nén diém H được xác định bởi :

ở một phía đối với O

2 Nếu OA nhỏ di (A tiến tới O) thì OH có số đo lớn dân lên (H tiến ra vô cực) Hai điểm A và H chạy trái chiêu nhau

3 Nếu A ởC thì H ở C Lúc đó OA = OH = R (chiều dương chọn từ O© tới

AI

4 Nếu A ởO thì Hra xa vô cực

d) Tinh chat của đường đôi cực

1 Đường đối cực của một điểm A đối với đường tròn (O) là một đường

thăng xác định rõ ràng (trừ khi A ở O) (Nhé rang OA OH = R”)

2 Hai điểm M và N khác nhau có hai đường đối cực khác nhau, đối với đường tròn (©)

3 Nếu đường đối cực của M đối với đường tròn (O) đi qua M' thì đường đối cực của MP đối với đường tròn đó đi qua M

4 Nếu một điểm A vạch nên một đường thang b thi duong doi cực của nó luôn luôn đi qua cực B của b

5 Nếu bốn điểm A, B, C, D làm thành một hàng điểm điều hòa thì đường đối cực của chúng đối với đường tròn (O) làm thành một chùm điều hòa

e) Cách vẽ đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn

Ta hãy tìm cách vẽ đường đối cực A của một điểm A cho trước với đường tròn (O; R) cho trước

Chân H của đường đối cực A nằm trên đường thắng OA Ta có hệ thức :

OA OH = R?

Vay taco thể vẽ được H, rồi suy ra A, vi A vuong goc voi OA tai H

1 Dung tiep tuyến

Kê hai tiếp tuyến AU, AV ; UV vuông góc với

OA tại H Tam giác vuông AUO ta có :

H

Vậy H là chân đường đối cực của A

Đường thăng UV là đường đôi cực của A đôi với V

đường tròn (©)

+) A ở trong đường tròn

Thực hiện phép vẽ ngược lại : Từ A, ta kẻ đường

vuông góc với OA, nó cắt đường tròn (O) ở T

Đường A kẻ từ H vuông goc voi OH chinh la

đường đối cực của A đối với đường tròn (O)

2 Dùng hai cát tuyến

Kê hai cát tuyến AMN và AM'N' NN' cat MM? &

F MN’ cat M’N tai E FE 1a đường đối cực của A,

đối với hai đường thăng FM và EN

FE cat MN va M’N’ tai B, B’

Tính chất của đường đối cực đối với hai đường

thắng cho ta biết hai điểm B, B' đều là liên hợp của

A

Vậy đường đối cực của A đối với đường tròn (O) cũng là đường FE

MN’ va M’N cat nhau tai E

M’N”’ va N’M”’ cat nhau tai F EF 1a duong đối cực

của A đôi với đường tròn (O)

Các khái niệm “điểm cực”, “siêu phẳng đối cực” trong định nghĩa nêu ở trên đều là các khái niệm xạ ảnh

3 Đmh lí 3

Nếu một điểm U không thuộc siêu mặt bậc hai (S) và một đường thăng đi qua U cắt siêu phẳng đối cực tại V đông thời cắt (S) tại hai điểm phân biệt (thực hoặc ảo lién hop) thi (UVMN) = -1

II ÁP DỤNG CUC VA DOI CUC TRONG GIẢI TOÁN

Dạng 1 : Chứng mỉnh ba điểm thăng hang

Giai Trước tiên ta giải bài toán sau

“Cho tam giác ABC và một đường tròn (O)

Gọi B°, C' là cực đối với đường tròn (O)

của CA và AB Tìm cực của đường cao

AA’”

Ta thay rang B’ và C° là cực của CA và AB

nén B’ va C’ đều là hai điểm liên hợp với A °

đối với đường tròn (O)

Vậy B'C' là đường đối cực của A

Goi A'ˆ là cực của đường cao AA' Vì đường đối cực của A'' là AA' đi qua

A nên đường đối cực của A là B°C' đi qua A'°

Hơn nữa theo định nghĩa về đường đối cực ta phải có OA'' vuông góc với AA’

Vay A’’ la giao điểm cia B’C’ voi đường

thắng vẽ từ O vuông góc với AA'

Quay trở lại chứng minh :

Ta thấy B'C' là đường đối cực của A Theo

trên ta chứng minh được A”' là cực của AH

Cũng vậy B'ˆ vả Cˆˆ là cực của BH và CH

Do dé A’’, B’’, C” thang hang

Vidu2

Cho tam giác ABC với (J là đường tròn nội tiếp Tiếp điểm của (I) trên BC,

CA, AB lân lượt là D, E, E Gọi M,N, P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thăng (EE, BC), (DF, CA), (DE, AB) Chứng minh rằng M,.N,P

Xét cực và đối cực đối với (I) Đường đối cực A

cia A la EF di qua M, nén duong doi cuc cia M

di qua A Mat khac dé thay dwong déi cực của M

đi qua D nên suy ra đường đối cực của M là AD

Đường đối cực của N là BE và đường đối cực r

của P là CF

Mặt khác dùng định lí Ceva ta sẽ có AD, BE, CF ”

đồng quy nên theo định lí “Ba điểm (khác tâm đường tròn) thắng hàng khi

và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song” ta có M,

N, P thắng hàng

Ví dụ 3

Cho đường tròn (O) Từ một điểm A vẽ hai cát tuyến

ABC và ADF Mỗi cặp tiếp tuyến với đường tròn (O)

tai (B, C) va (D, F) co điểm chung P và Q Gọi H là

giao diém của BF và CD Chứng minh ba điểm P, H,

Q thang hang

Ta hướng dẫn chứng minh bài toán như sau

Đường đối cực của H đi qua A

Ba đường đối cực của P, H, Q di qua A Vay P, H, Q

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC và một điểm O tùy ý Từ O vẽ các đường vuông góc với

OA, OB, OC cat cac canh doi diện BC, CA, AB tương ứng tại ba điêm A’, B’, C’ Chứng minh răng ba điêm A’, B’, C’ thang hang

Vẽ một đường tròn tâm O và phép đối cực w

sẽ cho ứng với tam giác ABC một tam giác ở s4

Gọi a` là đường cao xuất phát từ đỉnh A, A

Vì a' qua A, nên aˆ có cực A”' trên đường ;

Do đó A'' chính là điểm A' trên BC

Tương tự điểm B' là cực của đường cao b° và điểm C' là cực của đường cao o

Ba đường cao a', b’, c’ déng quy, vay ba cuc A’, B’, C’ thang hang

Vidu5

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Ba đường phân giác của tam giác ABC cắt đường tròn (O) & A’, B’,

C° Ba cặp tiếp tuyến với (O) 6 A, A’; B

B' vàC, C' cắt nhau & A’’, B’’, C’’ Chimg *

minh A’’, B’’, C’’ thang hang

Đối với đường tròn (O), đường đối cực của

A”? là AA", đường đối cực của B'' là BB',

đường đối cực của C'' là CC’ Ba đường

AA’, BB’, CC' là ba đường phân giác đồng quy tại O Vậy A'°,B'?, CC” sẽ năm trên đường đôi cực của O đối với đường tròn (O) và chúng thẳng hàng

Ví dụ 6

Những cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tiếp xúc với một đường tròn tại A’, B’, C’ Noi ba đỉnh A, B, C với một điểm O bắt kì trong mặt phẳng của tam giac ABC Goi A’’, B’’, C’’ la giao điểm của (OA, BC), (OB, CA), (OC, AB) Những đường déi cuc cla A’’, B’’, C’’ đối với đường tròn cắt nhitng duong B’C’, C’A’, A’B’ tai A, B,, C, Chimg minh A,, B,, C, thang hang

10

Ta giải bài toán như sau

Từ A'', kẻ đường tiếp tuyến thứ hai

A"A' với đường tròn Đường đối cực

của A'' đối với đường tròn ấy là

A'A', catB’C’ tai A

A, la giao điểm của hai đường đối cực

của A va A’’, vậy AA'' là đường đối

cực của A,

Tương tự BB’’ va CC’’ là những

đường đối cực của B, va C,

Ba đường AA'', BB'', CC'' đồng quy tại O, nên A,,B,,C: sẽ thắng hàng

trên đường đối cực của O đối với đường tròn

Ví dụ 7

Cho tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp (O) Các tiếp tuyến với đường

tron (O) tai A, B, C cat BC, CA, AB lần lượt tại A',

B’, C’ Chimg minh ba điểm A’, B’, C” thang hang

Ta giải bài toán như sau

Gọi P, Q, R là giao điểm của những cặp tiếp tuyến

xuất phát từ những cặp điểm (B, €), (C, A), (A, B)

Trước hết ta chứng minh rang CR đi qua giao điểm I

của AP va BQ

That vay, theo cach vé duong đối cực của C' đối với

đường tròn (O), ta thấy CR là đường đối cực đó Hơn nữa CR cũng là đường đối cực của C' đối với hai đường thắng (RA, RB) Vậy CR phải đi qua I Diem I goi 1a diém Lemoine

Bây giờ ta chứng minh ba diém A’, B’, C’ thang hang

Ở trên ta đã chứng minh được CR là đường đối cực của C° Tương tự ta có

AP, BQ là đường đôi cực của A', B'

Ba đường đối cực AP, BQ, CR dong quy tai I, nén A’, B’, C’ 6 trén duong doi cuc ctia I Do dé A’, B’, C’ la ba diém thang hang Duong thang A’B’C’ goi la truc Lemoine

Trong Pˆ° cho một cônic (S) đi qua ba điểm A,, A,, A, cla muc ticu xa ảnh {A,, A,, A,} Các đường thắng A,E lại cắt (S) tai A, (i = 1, 2, 3)

Các tiếp tuyến của (S) tại A, A,, A, cắt các đường thang

A,A,, A,A,, A.A, lan luot tai A', B', C' Chimg minh rang A', B', C' thang hang

Chọn {A,, A,, A, ; li} làm mục tiêu xạ ảnh, ta có phương trình của (S) có

hay (b + c)’x, + abx, + acx, = 0

Tacó A'= A,A, ñ A'A, nên ta tìm được tọa độ điểm A' :

Dạng 2 Chứng mình ba đường thăng đồng quy

Phương pháp 1

12

Chứng minh rằng ba đường chéo của một lục giác ngoại tiếp đồng quy

Ta giải bài toán như sau

Ta kí hiệu ABCDEF là lục giác ngoại

tiếp (O) Tiếp điểm của (O) trên vế SẮC

AB, BC, CD, DE, EF, FA lần lượt là :<⁄'; -

Xét cực và đối cực đối với (O)

Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của

cac cap duong thang (SM, PQ), (MN, QR), (NP, RS)

Dùng định li Pascal cho lục giác nội tiếp MNPQRS ta có I, J, K thắng hàng Theo định lí “Ba điểm (khác tâm đường tròn ) thắng hàng khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song”, ta có các đường đối cực của I, J, K dong quy

Ma dé thay cac duong đối cực của I, J, K lần lượt là AD, BE, CF nên ta có

AD, BE, CF đồng quy

Như vậy ta có điều cần chứng minh

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEE tiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt tại M, P, N Chứng minh răng AM, BP, CN đồng quy

Gọi L_O lần lượt là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác DEF và ABC Goi H, K, L

lần lượt là giao điểm của các cặp đường

thang (PN, FE), (MN, FD), (MP, DE)

Theo bài toán “Cho tam giác ABC voi (I)

là đường tròn nội tiếp Tiếp điểm của (I)

trên BC, CA, AB lân lượt là D, E, F Gọi

M,N, Plân lượt là giao điểm của các cặp

dwong thang (EF, BC), (DF, CA), (DE,

AB) Chứng minh rang M, N, P thang hang” ta có H, K, L thẳng hàng (*) Chi y rang DM, FN, EP dong quy nén (HMFE) = —1 Do đó M thuộc đường đối cực của H đối với (O) (theo kết quả “với hai điểm S, P trên mặt phẳng mà SP cat (O) ở M, N thỏa mãn bốn điểm S, P, M, N lập thành 1 hàng điểm điều hòa thì P nằm trên đường đối cực của S và S nằm trên

13

Mặt khác dễ thấy A thuộc đường đối cực của H đối với (O) nên ta có AM là đường đối cực của H đối với (O) (1)

Tương tự có BP là đường đôi cực của K đối với (O) (2)

CN là đường đối cực của L đối với (O) (3)

Từ (1), (2), (3), (*) và định lí “Ba điểm (khác tâm đường tròn ) thắng hang khi và chỉ khi ba đường đối cực của chúng đồng quy hoặc song song” ta có điều cần chứng minh

Ví dụ 3

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M,

N lần lượt là trung điểm của AB,

CD (ABN) cat AB & P (CDM) cat

CD ở Q Chứng minh rằng AC,

PQ, BD đồng quy

Ta giải bài toán như sau

Khi AB // CD thi bài toán trở nên

đơn giản

Gọi I là giao điểm của AC và BD thì dễ thấy I thuộc d (4)

Ta thấy : SM S8Q = SC SD = SA 8B

Chú ý M là trung điểm của AB nên ta có (SQAB) = -1 Theo kết quả “với hai điểm S, P trên mặt phẳng mà SP cắt (O) ở M, N thỏa mãn bón điểm S, P, M, N lập thành 1 hàng điểm điều hòa thì P nằm trên đường đối cực của S và S nằm trên đường đối cực của P” ta có Q thuộc d (5) Tương tự có P thuộc d (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra điều cần chứng minh

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường

tròn (O) Đường tiếp tuyến ở A với (O) cắt

BC ở D Nối DO cắt AB và AC ở E và E

Gọi M và N là trung điểm của AB và AC ö

14

Đường đối cực của D đối với đường tròn (O) là đường thẳng qua A, vuông góc với OD và cắt BC ở H Chùm A (BCHD) sẽ là chùm điều hòa

Taco OM | AB, ON | AC, OD | AH va OA | AD

Vậy chùm O (MNDA) là chùm điều hòa Cát tuyến MN của chùm ấy cho ta QPMN là hàng điểm điều hòa

Ta có kết luận : O, P, A là những điểm liên hợp của Q đối với góc BAC nên OPA là đường đôi cực của Q đối với góc BAC

Vậy OPA phải đi qua giao điểm của EN và ME

Dạng 3 Chứng mỉnh trung điểm của một đoan thăng

Rút ra kết luận của bài toán

Ví dụ 1 (Bài toán con bướm)

Cho tứ giác lỗi ABCD nội tiếp trong đường tron (O) AB va CD cat nhau tai

P Từ P vẽ đường thang vuông góc với OP cắt AC và BD tại E và F Chứng minh P là trung điểm của EE

Ta giải bài toán này như sau

Gọi M và Q là giao điểm của các cạnh đối như

hình vẽ Đường đối cực của Q đối với đường tròn

(O) là MP cắt AD tai N Do đó chùm M (QNDA)

là chùm điều hòa

Mặt khác, MQ cũng là đường đối cực của P đối

voi duong tron (O) nén MQ L OP tức là EF /

Ta chứng minh bài toán như sau

Đường đối cực của A đối với đường tròn nội tiếp đi qua M, nên đường đối cực của MI đi qua A

Hơn nữa MA' ở trên đường kính nên đường đối cực của M là đường thắng

Ax vẽ từ A song song với BC

15

Goi D Ia giao điểm của B°C' với Ax, ta

thay (B’C’MD) la hang điểm điều hòa

Như thế chùm A (BCID) cũng điều hòa,

[là giao điểm của AM với BC

Do đó, BC song song với tia AD sé

Ví dụ 3

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường

tròn (O) Hai tiếp tuyến tại B và C cat

nhau tại M Qua M vẽ đường song song

VỚI tiếp tuyến tại A Đường này cắt AB

và AC tại P và Q Ching minh M la

Ta giải bài toán như sau

Gọi N là giao điểm của BC cắt tiếp

tuyến qua A Ta thấy AM là đường đối

cực của N Chùm A (PQMN) điều hòa Doan PQ // AN nén MP = MQ

Ví dụ 4

Cho một đường tròn (O) và một đường thắng d Gọi

P là hình chiếu của O trên đ, vẽ cát tuyến PAB Hai

tiếp tuyến tại A và B cắt d tại M và N Chứng minh

P là trung điểm của MN

Ta giải bài toán như sau

Từ giao điểm T của hai tiếp tuyến vẽ TQ | OP cat

AB tại I Đường đối cực của P là TQ và T (PIAB) là

chùm điều hòa Vì MN /⁄ TLnên P là trung điểm của

Vidu5

Cho một đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB Vẽ đường kính AOC của

đường tròn (O) cắt BP tại E Gọi D là hình

chiếu của B trên AC Chứng minh PC đi

qua trung điểm của BD

Ta giải bài toán như sau

BD là đường đôi cực của E đối với đường

tròn (O) Chùm P (EDCA) điều hòa Đoạn

BD song song với tia PA nên PC đi qua trung điểm của đoạn BD

tròn (O) tại D và E Đường vuông góc hạ từ I xuống

AD cắt AJ tại L Chứng minh AD đi qua trung điểm

II:

Ta giải bài toán như sau

BC là đường đối cực của J Vậy chùm A (EDH) là

chùm điều hòa có hai ta AM L AD nên là chùm ®

phân giác

Cát tuyến II' song song với tia AE nên bị hai tia con

lại chia làm hai phần bằng nhau

Vay AD đi qua trung điểm của II

Ví dụ 7

Cho đường tròn đường kính AOB Từ điểm T trên tiếp tuyến tại A, kẻ một cát tuyến TCD Kẻ BC và BD cat OT 6H vaH’

Chứng minh O là trung điểm của HH

Ta giải bài toán như sau

Kẻ từ B đường BE song song với HH' cắt AT ở E E

Vay AD'D = DCB = C'CT va tt gidc CC’°D’D nditiép `

Phương tích của T đối với đường tròn ay : A B

TC TD = TC' TD'

Vay EAC’D’ là hàng điểm điều hòa và chùm B ”

(EAC’D’) là chùm điều hòa HH' song song với tia BE

nên HH' được ba tia kia phân thành hai đoạn bằng nhau

Vậy O là trung điểm cia HH’

Ví dụ 8

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm I trên đường kính AB ở ngoài đường tròn Từ I, kẻ một tiếp tuyến IT và

một cat tuyén ICD Đường TO cat đường tròn ở z

M Nối hai điểm C, D với M, cắt AB ở E và E ⁄ 7 | \

Chứng minh O là trung điểm của EFE it le ee le Ye

Kẻ đường tiếp tuyến thứ hai [T” với đường tròn

(O) TỊ” là đường đôi cực của I, cất CD ở G

Như thê chùm T’ (IGCD) la chum diéu hoa

17