biến đổi fourier rời rạc

Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier liên tục Chuỗi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier theo thời gian gián đoạn Biến đổi Fourier rời rạc Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Trong

Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier liên tục Chuỗi Fourier

Biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier theo thời gian gián đoạn

Biến đổi Fourier rời rạc

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là

biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu

thời gian rời rạc Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực

hoặc số phức, làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên

các máy tính Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu

và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong trong một tín hiệu, để giải

phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập Biến đổi này có

thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Mục lục

1 Định nghĩa

2 Các tính chất

2.1 Đầy đủ 2.2 Trực giao 2.3 Định lý Plancherel và định lý Parseval 2.4 Tuần hoàn

2.5 Định lý dịch 2.6 Unita

3 Ứng dụng

3.1 Phân tích phổ

4 Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc

5 Tham khảo

6 Liên kết ngoài

Định nghĩa

Dãy của N số phức : được biến đổi thành chuỗi của N số phức X0, , X N−1 bởi công thức sau đây:

với e là cơ số của lôgarit tự nhiên, là đơn vị ảo ( ), và π là pi Phép biến đổi đôi khi được kí hiệu bởi ,

Phép biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT) được cho bởi công thức sau

Những phương trình này có thể được mô tả đơn giản như sau: các số phức X k đại diện cho biên độ và pha ở các

bước sóng khác nhau của "tín hiệu vào" x n Phép biến đổi DFT tính các giá trị X k từ các giá trị x n, trong khi IDFT

tính x n bằng tổng của các sóng thành phần với tần số k / N Khi viết các phương trình dưới dạng

như trên, ta đã sử dụng công thức Euler để biểu diễn các hàm lượng giác dưới dạng lũy thừa số phức để biến đổi

được dễ dàng Khi viết X k dưới dạng tọa độ cực, ta thu được biên độ A k / N và pha φ k từ modulus và argument

của X k:

trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan Cần ghi chú rằng các thừa số chuẩn hóa của DFT và IDFT (ở

đây là 1 và 1/N) và dấu của các số mũ chỉ là quy ước, và có thể khác nhau trong các tài liệu khác nhau Điều kiện

duy nhất cho các quy ước này là DFT và IDFT có dấu ngược nhau ở các số mũ và tích của hai thừa số chuẩn hóa

phải là 1/N.

Các tính chất

Đầy đủ

Phép biến đổi Fourier rời rạc là một biến đổi tuyến tính khả nghịch

trong đó C kí hiệu tập các số phức Nói cách khác, với mọi N > 0, mọi vectơ phức N chiều đều có một DFT và một IDFT, và chúng đều là các vectơ phức N chiều.

Trực giao

Các vectơ tạo thành một cơ sở trực giao của tập các vectơ phức N chiều:

trong đó là hàm delta Kronecker Có thể dùng điều kiện trực giao để suy ra công thức cho IDFT từ định nghĩa của DFT, và điều kiện này tương đương với điều kiện unita dưới đây

Định lý Plancherel và định lý Parseval

Nếu X k và Y k là các DFT của x n và y n thì theo định lý Plancherel:

trong đó dấu sao kí hiệu số phức liên hợp Định lý Parseval là một trường hợp đặc biệt của định lý Plancherel:

Các định lý này tương đương với điều kiện unita dưới đây

Tuần hoàn

Nếu như ta tính biểu thức định nghĩa DFT tại mọi số nguyên k thay vì chỉ cho k=0, , N-1, thì dãy số nhận được là một mở rộng tuần hoàn của DFT, và có chu kì N.

Tính tuần hoàn có được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa:

Tương tự như vậy, biểu thức của IDFT cũng cho một dãy mở rộng tuần hoàn

Định lý dịch

Việc nhân các số x n với một pha tuyến tính (m là một số nguyên bất kì) tương ứng với việc dịch vòng tròn các số X k : X k được thay bằng X k-m , trong đó các chỉ số được tính theo mô đun N Tương tự như vậy, việc dịch vòng tròn các số x n tương ứng với việc nhân các số X k với một pha tuyến tính Dưới dạng công thức, nếu {x n} đại diện cho vectơ x thì

nếu

thì

và

Unita

Có thể nhận thấy theo mô tả ở trên, toán tử DFT có thể được biểu diễn dưới dạng một ma trận Vandermonde:

trong đó

là một căn nguyên thủy bậc N của đơn vị Phép biến đổi ngược chính là ma trận nghịch đảo của ma trận trên:

Với hằng số chuẩn hóa unita , DFT trở thành một biến đổi unita, định nghĩa bởi một ma trận unita:

trong đó det() là hàm tính định thức Định thức là tích của các giá trị riêng (luôn là hoặc như mô tả dưới đây) Trong không gian vectơ thực, một biến đổi unita có thể xem là phép quay vật rắn của hệ tọa độ, và tất cả các tính chất của phép quay vật rắn đều đúng cho toán tử unita DFT

Tính trực giao của DFT nay có thể viết dưới dạng điều kiện trực chuẩn:

Nếu X được định nghĩa là unita DFT của vectơ x thì

và định lý Plancherel có thể viết dưới dạng:

Nếu ta coi DFT chỉ là một phép biến đổi tọa độ trong đó chỉ cần chỉ ra các thành phần của vectơ trong hệ tọa độ mới, thì mệnh đề trên chỉ nói rằng tích vô hướng của hai vectơ được giữ nguyên trong phép biến đổi unita DFT

Trong trường hợp đặc biệt khi x=y, điều này có nghĩa là độ dài vectơ cũng được giữ nguyên—đây chính là định lý

Parseval:

Ứng dụng

DFT có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau Ở đây chỉ mô tả một số ví dụ (tham khảo thêm các tài liệu ở cuối trang) Tất cả các ứng dụng của DFT đều dựa trên một tính chất quan trọng là DFT và IDFT đều có thể được tính nhanh chóng bằng thuật toán biến đổi Fourier nhanh

Phân tích phổ

Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãy {x_n} thường đại diện cho một dãy hữu hạn các mẫu tại các thời điểm cách đều nhau của một tín hiệu x(t), trong đó t để chỉ thời gian Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc) chuyển biến đổi Fourier liên tục của x(t) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), và thường gây ra

hiệu ứng răng cưa Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng này

Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc

Một số cặp DFT

Ghi chú

Định lý dịch

DFT cho số thực

từ công thức cấp số nhân

từ định lý nhị thức

là một hàm

chữ nhật gồm W

điểm quanh

trung điểm n=0, trong đó W là

một số nguyên

lẻ, và là một hàm tương

tự hàm sinc(cụ thể hơn, là một hàm hạt nhân Dirichlet) Rời rạc hóa và tổng tuần hoàn của Hàm Gauss với Vì hoặc là lớn hơn một và do

đó đảm bảo sự hội tụ nhanh chóng của một trong hai tổng, với lớn, có thể tính phổ tần số

và chuyển về miền thời gian bằng biến đổi Fourier rời rạc

Tham khảo

Brigham, E Oran (1988) The fast Fourier transform and its applications Englewood Cliffs, N.J.:

Prentice Hall ISBN 0-13-307505-2

Oppenheim, Alan V.; Schafer, R W.; and Buck, J R (1999) Discrete-time signal processing Upper

Saddle River, N.J.: Prentice Hall ISBN 0-13-754920-2

Smith, Steven W (1997) The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing

(http://www.dspguide.com/pdfbook.htm) San Diego, Calif.: California Technical Publishing ISBN

0-9660176-3-3 http://www.dspguide.com/pdfbook.htm

Cormen, Thomas H.; Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, and Clifford Stein (2001) "Chapter 30:

Polynomials and the FFT" Introduction to Algorithms (ấn bản Second Edition) MIT Press and

McGraw-Hill pp.822–848 ISBN 0-262-03293-7 esp section 30.2: The DFT and FFT, pp 830–838

P Duhamel, B Piron, and J M Etcheto (1988) "On computing the inverse DFT" IEEE Trans Acoust.,

Speech and Sig Processing 36 (2): 285–286.

J H McClellan and T W Parks (1972) "Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier

transformation" IEEE Trans Audio Electroacoust 20 (1): 66-74.

Bradley W Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982) "Eigenvectors and functions of the discrete Fourier

transform" IEEE Trans Acoust., Speech and Sig Processing 30 (1): 25-31.

F A Grünbaum (1982) "The eigenvectors of the discrete Fourier transform" J Math Anal Appl 88 (2):

355-363

Natig M Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997) "Fractional Fourier-Kravchuk transform" J Opt.

Soc Am A 14 (7): 1467-1477.

C Candan, M A Kutay and H M.Ozaktas (2000) "The discrete fractional Fourier transform" IEEE

Trans On Signal Processing 48 (5): 1329-1337.

Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004) "Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value

decomposition of its orthogonal projection matrices" IEEE Trans Circ Syst I 51 (11): 2245-2254.

Juan G Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005) "On the multiangle centered discrete fractional Fourier

transform" IEEE Sig Proc Lett 12 (4): 273-276.

J Cooley, P Lewis, and P Welch (1969) "The finite Fourier transform" IEEE Trans Audio

Electroacoustics 17 (2): 77-85.

Liên kết ngoài

Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O Smith III

(http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/mdft.html)

Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL) (http://www.fftw.org)

Xử lý tín hiệu số

Lý

thuyết tín hiệu thời gian rời rạc · định lý lấy mẫu · lý thuyết ước lượng · lý thuyết phát hiện tín hiệu

Các

chuyên

ngành

xử lý tín hiệu âm thanh · xử lý hình ảnh số · xử lý tiếng nói · xử lý tín hiệu thống kê

Các kĩ

thuật

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) · biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) · Bất biến xung lực · biến đổi song tuyến tính · ánh xạ cực-không · biến đổi Z · biến đổi Z mở rộng

Lấy

mẫu

lấy thừa mẫu · lấy thiếu mẫu · giảm mẫu · tăng mẫu · hiệu ứng răng cưa · lọc khử răng cưa ·

khoảng lấy mẫu · khoảng Nyquist/tần số Nyquist

Lấy từ “http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Biến_đổi_Fourier_rời_rạc&oldid=10500699”

Thể loại: Giải tích Fourier Xử lý tín hiệu Giải tích số

Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 06:17, 9/3/2013

Văn bản được phát hành theo Giấy phép Creative Commons Ghi công/Chia sẻ tương tự; có thể áp dụng điều khoản bổ sung Xem Điều khoản Sử dụng để biết thêm chi tiết

Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của Wikimedia Foundation, Inc., một tổ chức phi lợi nhuận