Sáng kiến kinh nghiệm SKKN môn toán THPT sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức

đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập, có hướng tìm ra và sử dụng các phương pháp chứng minh các bất đẳng thức.. Mục đích nghiên cứu : Khi kết thúc chương trình lớp 12, khi gặp b

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM

SỐ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC"

đó học sinh có thêm một công cụ giải bài tập, có hướng tìm ra và sử dụng các phương pháp chứng minh các bất đẳng thức

Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải bài tập chứng minh bất đẳng thức (nhất là trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của bộ giáo dục và đào tạo) là nhiệm vụ rất khó khăn Nhu cầu của mỗi học sinh trước khi giải bài tập dạng này có cách nhìn khái quát, định hướng phương pháp giải Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này

đó là nêu rõ phương pháp và cách áp dụng khi chứng minh các bất đẳng thức

Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến của tôi là:

“ Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức”

2 Mục đích nghiên cứu :

Khi kết thúc chương trình lớp 12, khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng được bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo phương pháp nào Sự kết hợp các phần kiến thức khác nhau giữa đại số, hình học, giải tích sẽ cho ta các phương pháp chứng minh thích hợp Vận dụng tính chất của tiếp tuyến đường cong, ứng dụng của nó cùng với tính chất của các bất đẳng thức cơ bản

sẽ cho ta một phương pháp chứng minh mới, phù hợp là mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này

3 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:

Kết quả lớn nhất của sáng kiến này là đã tìm ra thêm một phương pháp chứng

minh bất đẳng thức, ngoài việc tổng hợp các 10 phương pháp chính làm bài tập chứng minh bất đẳng thức Từ đó phân biệt các phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, ) trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp Khi đó giáo viên sẽ rút ra kinh nghiệm khi giảng bài và sáng tạo các bài toán mới

Phương pháp nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân tích, tổng hợp hiệu quả của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường Từ đó sáng tạo ra phương pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu quả của phương pháp mới này

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Về con người là các thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT và các em học sinh

đang học tại trường THPT của tôi Trong phần toán học, ở đây đối tượng nghiên cứu là

các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh được học trong chương trình phổ thông

5 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:

Là nêu một phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp các

kiến thức về tính chất bất đẳng thức, các ứng dụng cơ bản của đạo hàm

Nội dung chính của sáng kiến kinh nghiệm này bao gồm:

Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức)

1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức

2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức

3) Hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức

4) Phát hiện, khắc phục và sửa chữa sai lầm trong chứng minh bất đẳng thức

Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh

bất đẳng thức thường gặp

Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức

Chương 4: Kết quả thực nghiệm tại trường tôi công tác

Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bất đẳng thức là một dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông đối với đại trà học sinh Điều đó đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức là một nội dung không hề đơn giản Nhiều giáo viên xác định không cần dành quá nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho

học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ bài toán chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của nó Chưa hẳn điều đó đã đúng, nếu chúng ta nghiêm túc phân bậc đối tượng học sinh và chỉ cần bồi dưỡng năng lực giải bài tập bất đẳng thức tùy theo mức độ các nhóm học sinh khác nhau

1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức:

Điều này rất quan trọng, có thể căn cứ vào số lượng biến, sự phức tạp của đối tượng, căn cứ vào mức độ tường minh, sự phối hợp ít hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si có thể

lấy một hệ thống bài toán phân bậc như sau Ta lấy một ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

bài (1) chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số

bài (2) phải ghép đôi rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số

bài (3) đầu tiên phải biết tách

  và tương tự cho hai hạng tử còn lại

2) Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức:

Bất đẳng thức và các ứng dụng rất thuận lợi để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải

có được cách giải quyết bài toán, đồng thời là cách suy nghĩ để giải quyết bài toán, giải quyết vấn đề

Ví dụ: Giáo viên nêu các dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây

là hoạt động phân tích, so sánh) như: các số tham gia bất đẳng thức dương; Có căn bậc 2, bậc 3; Vì sao phải sáng tạo, đặc biệt hoá khi dấu bằng xảy ra để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngược lại một cách linh hoạt

3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức:

Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức không phải là ngoại

lệ do cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác nhau Ta có thể tìm hiểu qua các ví

dụ sau đây:

a) Ví dụ 1: Cho 0 x y,  1 Chứng minh rằng: 1

4

x y  y x 

Cách 1: Dựa vào điều kiện 0 x y,  1ta có:VT  xy( x y) y(1 y)

Lúc này lại áp dụng bất đẳng thức Côsi: ( ) (1 ) 1

Cộng các bất đẳng thức trên ta đƣợc điều phải chứng minh

Đánh giá: Ở đây học sinh đã nhầm ví dụ này với ví dụ 3 của phần I.1, vận dụng bất

đẳng thức Cô-si là sai, vì các số có thể âm Tuy nhiên, mỗi bất đẳng thức trên đều đúng

nhƣng không phải theo Cô-si, mà do ( )2 0,

2

a b

b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d là 4 cạnh của một tứ giác lồi Chứng minh rằng diện

tích tứ giác không lớn hơn 1( )

Đánh giá: Lời giải này còn thiếu trường hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện

c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M x a(2 x)(2bx) với a, b dương, phân biệt và 0 < x < 2a, 0 < x < 2b

Lời giải: Vì 1.2 (2 )(2 )

2

M  x a x bx

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn nhất khi chúng

bằng nhau, nhưng điều đó không xảy ra nên M không có giá trị lớn nhất

Đánh giá: Điều này sai logic vì khi 3 số đó bằng nhau thì có giá trị lớn nhất, còn khi

không bằng nhau thì chưa kết luận được gì

a 1

10

1 9

1 8

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

2.a 1

5

2 9

1 4

2 7

1 3

2 5

1 2

Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, a, 12

phân biệt được Ví dụ đặt a = cosx có thể hiểu là đặt ẩn phụ, hoặc gọi là phương pháp

lượng giác hoá Dưới đây tôi giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó

1 Phương pháp biến đổi tương đương :

Sử dụng các tích chất của bất đẳng thức, phép biến đổi kéo theo, tương đương Có

2 con dường quy nạp hoặc diễn dịch để có được kết quả bài toán

Ví dụ 1 : Bài 4(SGK CTC10Tr.79):

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 hạng tử ở vế trái => ĐPCM

Ví dụ 2: Với mọi a,b,c thì: 2 2 2

a b c abbcca Giải: Với mọi a,b,c thì: 2 2 2

(a b )  0 a b 2ab

Bước 1: Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề với n=no

Bước 2: Giả sử P(n) đúng đến n = kno Ta chứng minh đúng với n = k+1

Hơn nữa bất đẳng thức cũng là một mệnh đề logic với những điều kiện cho trước Vì vậy hoàn toàn áp dụng được phương pháp này

Ví dụ: CMR với n nguyên dương lớn hơn 2 thì: 1 1 1 1

5 Phương pháp lượng giác hoá:

Thông thường từ dữ kiện đề bài, ta đạt ẩn phụ theo các giá trị luợng giác, chuyển bài toán về chứng minh bất đẳng thức luợng giác Lấy một ví dụ:

Ta có:cos(x y) 1    1 cos cosx y sin sinx y

Tương tự: 1 cos cos  y z sin siny z

1 cos cos  z x sin sinz x

Nhân tương ứng ta có:

(1 cos cos )(1 cos cos )(1 cos cos ) x y  y z  z x sin x.sin y.sin z

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức liên hệ 3 điểm: AB + BC  AC

Ví dụ 1: CMR với mọi a,b,c,d ta có: 2 2 2 2 2 2

a b  c d  ac  b d Giải: Trong mặt phẳng toạ Oxy xét các điểm A(a;b), B(-c;-d) ta có:

OA + OB  AB Suy ra điều cần chứng minh

Ta có thể áp dụng các chứng minh trên cho việc chúng minh bất đẳng thức sau:

Nội dung chính của phương pháp này đó là tìm cách đưa bài toán nhiều biến phức tạp, thành bài toán mới ít ẩn số hơn một cách hợp lý

- Thứ nhất: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2009, câu V:

Chứng minh rằng với x y z, ,  0 thoả mãn x x(   y z) 3yz ta có:

3 3 3

(xy)   (x z)  3(xy x)( z y)(  z) 5(yz) Phương pháp làm bài: Đặt a x y b,  x z c,  y z bài toán trở thành:

Các thầy cô có thể tìm hiểu lời giải này trong đáp án đề thi đại học khối a năm 2009 của

bộ giáo dục và đào tạo

- Thứ hai: Đề thi tuyển sinh cao đẳng môn toán năm 2009, câu V :

Cho a b, thoả mãn: 0   a b 1, chứng minh rằng: 2 2



 , t(0;1) Ta chứng minh được f t'( )  0 do đó hàm f t( ) đồng biến trên khoảng (0;1) Suy ra ĐPCM

Bài toán này có lẽ không còn cách nào khác ngoài việc sử dụng phương pháp

hàm số Tuy nhiên học sinh cần được luyện tập nhiều mới phát hiện được sự tương

đồng trong 2 vế của BĐT (2)

- Thứ ba: Đề thi tuyển sinh đại học khối D môn toán năm 2009, câu V

Cho x y,  0thoả mãn x y 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

1 1

0;

0;

4 4

t t hay không? Từ đó mới kết luận được kết quả của bài toán

Trên đây là 3 câu hỏi trong đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 Với các phương pháp

đã nêu khi trang bị cho học sinh Tôi tin học sinh của tôi thực hiện tốt những câu hỏi này

- Thứ tư: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2012, câu 6

“Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x    y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y y z z x 2 2 2

P  3   3   3   6(x  y  z ).”

Trước bài toán này, câu hỏi đặt ra là chúng ta sẽ giải quyết nó theo hướng nào? Các phương pháp kể trên có giải quyết được bài toán hay không?

Chương 3: GIẢI PHÁP MỚI

Xuất phát yêu cầu kiến thức của từng giai đoạn khác nhau, giáo viên bổ sung cho học sinh các phương pháp, cách giải phù hợp Dạy học chứng minh bất đẳng thức cũng vậy Người giáo viên tìm tòi, bổ sung phương pháp chứng minh cho các học sinh những phương pháp mới hiệu quả là điều cần thiết Ngoài các phương pháp thường làm kể trên, khi học phần kiến thức Đạo hàm và các ứng dụng Ngay trong chương trình lớp 11, khi

có khái niệm đạo hàm chúng ta có ý nghĩa hình học quan trọng về đạo hàm

“Nếu tồn tại, f '(x )0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x) tại điểm

0 0 0

M (x ; f (x )) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0là

y  y  f '(x ).(x  x )”

Ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng (d): y  ax  b là tiếp tuyến của đồ thị (C):

y  f (x) tại điểm M (x ;f (x ))0 0 0 ( không là điểm uốn), khi đó tồn tại một khoảng D chứa điểm x0 sao cho trên đó đồ thị (C) nằm phía dưới đồ thị (d) hoặc nằm phía trên đồ thị (d) Tức là f (x)  ax    b x D hoặc f (x)  ax    b x D Và đẳng thức xảy ra khi x  x0

Hơn thế nữa ta đều phân tích được k

0

f (x) (ax   b)  (x  x ) g(x) với k  N, k  2 Khi đó ta xét dấu của g(x) để so sánh giữa f (x) và (ax  b)

Từ việc phân tích ở trên ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức 2 hay nhiều biến nếu

ta biến đổi một bất đẳng thức về dạng chẳng hạn như f (a )1  f (a ) f (a )2   n  E Khi đó điểm rơi là a1  a2   an  x0 Khi đó ta sẽ viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

được hàm số và điểm rơi cần thiết Qua đó cũng cho thấy sự hạn chế của phương pháp này Tuy nhiên cũng sẽ là công cụ giúp ta giải quyết các bài tập chứng minh bất đẳng

thức một cách tự nhiên hơn Người đọc sẽ giải thích được các câu hỏi như: Tại sao lai có bất đẳng thức đó? Nó xảy ra khi nào? Cách nào để tìm ra nó Thực tế khi giải bài tập,

không nhất thiết phải trình bày chi tiết cách tìm ra bất đẳng thức cơ sở, từ đó suy ra điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét một số bài toán thuộc dạng này

Bài 3 Cho 3 số dương a, b, c biết a    b c 3 Chứng minh rằng

Bài 4 Cho a, b, c  0 Chứng minh a 2 b 2 c 2 9

Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 2

(1 x)



 tại điểm có hoành độ

1 x 3

Ta xét bài toán tổng hợp Câu 6 đề thi đại học khối A năm 2012, một bài tập tương đối khó

“Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x    y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y y z z x 2 2 2

P  3   3   3   6(x  y  z ).”

Ta tìm hiểu đáp án chi tiết của Bộ Giáo dục và Đào tạo:

“ Ta chứng minh t

3   t 1   t 0 (*) Xét hàm số t t

f (t)     3 t 1 f '(t)  3 ln 3 1 0 t     0;f (0)   0 (*) đúng

Áp dụng (*) ta có x y   y z   z x        

Khi x    y z 0 thì dấu bằng xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của (P) bằng 3.”

(Theo đáp án môn toán khối A, đề thi tuyển sinh đại học năm 2012)

Theo đáp án trên đây, việc tìm giá trị nhỏ nhất của bài toán phụ thuộc nhiều vào việc tìm ra bất đẳng thức (*) và sử dụng nó Theo đáp án thì lời giải không thấy tự nhiên Nhưng nếu chúng ta xét theo phương pháp giải sử dụng phương trình tiếp tuyến của đường t

y  e tại điểm có hoành độ bằng 0

quyết bài toán cần phối hợp nhiều phương pháp khác nhau, các kĩ thuật khác nhau, đúng yêu cầu là một bài toán phân hóa học sinh giỏi và xuất sắc trong đề thi đại học khối A Ngoài những bài toán kể trên, sử dụng phương pháp chứng minh mới này có thể giải quyết được các bài tập sau nhanh chóng và thuận tiện:

Chương 4: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

I THỰC NGHIỆM 1:

Bài kiểm tra chương 1 giải tích 12 Tôi đã dõi và tổng hợp kết quả của học sinh lớp tôi trực tiếp giảng dạy và các lớp đối chứng Tuy rằng việc phân hóa lớp tương đối tương đồng nhưng hiệu quả bài làm rõ ràng với hướng làm mới, các em vận dụng theo phương pháp 11 kết quả tốt hơn rất nhiều Ta thống kê số liệu học sinh làm tôt câu 2 phần

3,0 Các bài toán liên

quan

1 3,0 3,0

x y

x y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2

Kết quả: Thống kê số học sinh làm được bài tự luận thứ 2 Việc thống kê đó còn cho

ta biết bao nhiêu học sinh giải bài 2 phần tự luận theo phương pháp chứng minh 11.Qua

đó giáo viên có thể điều chỉnh, rút kinh nghiệm cho học sinh:

+ Năm học 2010 – 2011:

Lớp Tên Sĩ số Hoàn thành

100%

Hoàn thành 50%

Ghi chú