MỘT SỐ BÀI TỰ LUYỆN (TIẾP THEO) Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với Câu 2 Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K.
Trang 1MỘT SỐ BÀI TỰ LUYỆN (TIẾP THEO) Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
x B
x x
, với 0 x 2
Câu 2 Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC Gọi E là một điểm bất
kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC
Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của
Câu 3 Trên mặt phẳng, cho 17 điểm trong đó ba điểm nào cũng nối được với nhau tạo thành một
tam giác có cạnh được tô bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu
Câu 4 Cho là 3 số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu ; ;
thì tổng chia hết cho tổng
Câu 5 Cho các số thực khác 0 thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức
Câu 6 Cho thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 7 Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt
nhau ở K Chứng minh rằng:
2
BAC BDC BKC
Câu 8 Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm
2, 3, 5 Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Câu 10 a) Cho đa thức (với là các số thực) Biết
Tính giá trị của biểu thức b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.
Chứng minh rằng:
Câu 11 a) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn Chứng minh rằng là số chính phương
b) Cho là 2 số dương thỏa mãn Chứng minh
Câu 13 Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 4 m2+m=5n2+n.
Chứng minh rằng: (m−n)và(5m+5n+1) đều là các số chính phương
Câu 14 Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2 số
gọi là a và b sao cho
Câu 15 Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Hai đường
thẳng AD và MC cắt nhau tại E Gọi I là giao điểm của CM và DN
a) Chứng minh rằng: vuông
Trang 2Câu 16 Cho tam giác , đường phân giác Gọi là điểm đối xứng với qua Đường thẳng đi qua song song với cắt ở Chứng minh tam giác cân tại và
Câu 17 Cho là các số thực dương thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 18 Cho đa giác lồi có cạnh Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường chéo của đa giác lồi
không song song với bất kì cạnh nào của đa giác đó
Câu 19 Cho thoả mãn Chứng minh rằng:
Câu 20 Cho tam giác ABC Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách
từ B và C đến AM lớn nhất
Câu 21 Cho hình vuông ABCD, gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB
chứa C, dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng song song với AB, cắt AH tại E Đường thẳng AH cắt DC tại F
a) Chứng minh rằng BM = ND
b) Tứ giác EMFN là hình gì?
c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC
Câu 22 Hình vuông có ô chứa số mà tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi cùng đường chéo bằng nhau được gọi là hình vuông kỳ diệu Chứng minh rằng số ở tâm một hình vuông kỳ diệu bằng trung bình cộng của hai số còn lại cùng hàng, hoặc cùng cột, hoặc cùng đường chéo.1-0
Câu 23 Cho là số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn và là số chính phương Chứng minh rằng là hợp số
Câu 24 Cho P a b b c c a abc với là các số nguyên Chứng minh rằng nếu
a b c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4
Câu 25 Cho là các số thực dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
Câu 26 Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm của cạnh BC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt
lấy hai điểm E và F Chứng minh rằng
1 2
S S
.Với vị trí nào của hai điểm E và F thì S DEFđạt giá trị lớn nhất?
Câu 27 Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
vẽ các hình vuông AMCD, BMEF và giao điểm hai đường chéo mỗi hình vuông lần lượt là O, O’ Gọi H là giao điểm của AE và BC
a) Chứng minh rằng:
b) Gọi I là giao của AC và BE Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng DF và ba điểm H,
D, F thẳng hàng
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
Câu 28 Cho hình vuông ABCD và đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình
vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng Chứng minh rằng có ít nhất đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm