1 AB CHINH THUC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI TH Ử ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi TOÁN – Khối A, A1, B Thời gian làm bài 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi: TOÁN – Khối A, A 1 , B Thời gian làm bài: 180 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =x3−3x +2 ( )C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho;
b) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng ( ) :d y =mx−2m+4 cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt A( )2, 4 , B C, sao cho tam giác OBC cân tại O, với Olà gốc tọa độ
Câu 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình
a) sin 2x−cos 2x =2 2 cosx +1 b) ( )
2 2
2
2
0
y
x
y
R
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 ( 2 )
0
π
Câu 4 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tam giác ABC vuông tại B, AB =a BC, =2a Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, cạnh bên A A' hợp với đáy góc 45o
Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AA B B' ' )
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất trên 1
;1 2
−
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 6.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung tuyến
B và C; biết E(5; 1− ) thuộc đường cao qua C
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2 ,) (B −1; 3; 2− và đường )
:
d − = + =
− − Tìm điểm I trên d sao cho tam giác IAB cân tại I , viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A B, và có tâm thuộc đường thẳng d
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 2
3z−4 z− +1 z = +5 7i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 6.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( )1; 6 , trực tâm H( )1; 2 , tâm đường tròn ngoại tiếp I( )2; 3 Tìm tọa độ B C ; biết B có hoành độ dương ,
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) 2 2 2
S x + y +z − x+ y− z= và đường thẳng : 2 1 1
x− y− z−
− Tìm tọa độ giao điểm của ∆ và ( )S , viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu ( )S
www.NhomToan.com
www.LuyenThiThuKhoa.vn
Trang 2Câu 8.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa (1+i z) + =z i Tìm môđun của số phức ω = + +1 i z
Hết
Trang 3SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
Trường THPT Hùng Vương
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014 Môn thi: Toán; Khối: A, A 1 , B
Câu 1.a Cho hàm số y =x3−3x + 2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C hàm số đã cho;
Tập xác định D = R
+ Giới hạn: lim ; lim
+y'=3x2−3; 1
1
x y
x
=
+ Bảng biến thiên
'
y
−∞
4
0
+∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1)− ;
Hàm số đạt cực đại tại điểm x =−1, y = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm điểm x =1, y = 0
Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt:
x −2 −1 0 1 2
y 0 4 2 0 4
14
12
10
8
6
4
2
2
f x( ) = x3 3 ·x + 2
Câu 1.b Tìm m để đường thẳng ( ) :d y =mx−2m+4 cắt ( )C tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho A cố định và tam giác OBC cân tại O, với O là gốc tọa độ
Ta có ( ) :d y =mx−2m+4
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và ( C) là: x3−3x + =2 mx−2m+4
2
2
( ) 2 1 0 (1)
x
=
(d) cắt ( C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Trang 4khác 2
m
Ta có A( )2; 4 , gọi B x mx( 1; 1−2m+4 ,) (C x mx2; 2−2m+4) theo Vi-et ta có
2
x x
+ = −
Tam giác OBC cân tại O
2
2
1
3
OB OC
m
m
=
=
Câu 2.1 Giải phương trình: sin 2x−cos 2x =2 2 cosx+1
2
4
2
3
2 4
x x
x
π
π
π
π
π
= +
⇔
Câu 2.b Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 2
0 1
y
x
y
Điều kiện: y≠0
Ta có hệ :
2
2
x
y
2
2
2
x
y x
y
+ + + − =
⇔
Trừ vế theo vế phương trình (**) cho 2 lần phương trình (*) ta có:
2
⇔ + − + − =
1
3
x y y x y y
+ = −
⇔
Trang 5Trường hợp 1: x y 1
y + = − , thay vào (*) ta có − +1 x2+ − =1 x 0
2
x
y
(vô nghiệm)
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 ( 2 )
0
π
3
I x x dx x dx
• Xét
2
0
sin
M x x dx
π
2
0
π
x
1
Câu 4 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A BC ' ' ' có tam giác ABC vuông tại B,
AB =a BC = a Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, cạnh bên hợp với đáy góc 45o
Tính thể tích của lăng trụ ABC A BC ' ' ' và khoảng cách từ
C đến mặt phẳng ( ' ' )
AA B B
Ta có: ' ( ) '
45o
A H ⊥ ABC ⇒A AH =
BH =a,
2
AH = AB +BH =a
•A H' =AH =a 2
• Thể tích lăng trụ
2
ABC
V =S A H = AB BC A H =a
(đvtt)
• Gọi L là hình chiếu của C trên
Trang 6' '
Ta có: ( ' )
AB ⊥ A BC ⇒AB⊥CL ( ' ' ) ( ( ' ' ) )
,
• A B' = A H' 2 +HB2 =a 3
Ta có:
'
'
6
A H BC a
A B CL A H BC CL
A B
Vậy ( ( ' ' ) ) 4
,
6
a
d C AA B B =CL =
Câu 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
3 1−x2 −2 x3+2x2+ =1 m (1) trên 1
;1 2
−
Lời giải:
f x = −x − x + x + trên 1
;1 2
−
Ta có
2 '
( )
Xét hàm số ( ) 3 2
g x =x + x + trên 1
;1 2
−
Ta có ( ) 2
Ta có bảng biến thiên
2
'( )
( )
g x
1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1
2
≥ ∀ ∈ −
và
1
;1 2
∀ ∈ −
ta có
Suy ra
2
x
x
− + + Do đó f′( )x = ⇔ =0 x 0 Bảng biến thiên
2
'( )
( )
f x 3 3 22
2
4
−
PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của d y: =m và
f x = −x − x + x +
Trang 7Phương trình có nghiệm duy nhất khi 3 3 22
4
2
− ≤ < hoặc m=1
PHẦN RIÊNG
Câu 6.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung tuyến AI x: + − =y 2 0, đường cao AH x: −2y+ =4 0và trọng tâm G thuộc trục hoành Tìm tọa độ của B và C; biết E(5; 1− ) thuộc đường cao qua C
• A( ) ( )0;2 ,G 2; 0
• I(3; 1 ,− ) BC : 2x + − = y 5 0
• B∈BC ⇒B t( ;5−2t)⇒C(6−t t; 2 −7)
AB t( ; 3−2 ,t EC) (1−t t;2 −6)
Ta có:
AB EC = ⇔t − +t − t t− =
2
2
5
t
t t
t
=
=
• Vậy B( ) (2;1 ,C 4; 3− hoặc ) 9 7; , 21; 17
B C
Trang 8Câu 7.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;1;2 ,) ( 1; 3; 2)
A B − − và đường thẳng : 1 2
d − = + =
− − Tìm điểm I trên d sao cho tam giác IAB cân tại I, viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm
thuộc đường thẳng d
• : 12 2 , (1 ; 2 2 ; )
= +
= −
•
2
IA=IB ⇔t + t+ + +t = +t + t + + −t ⇔ = − ⇒t I −
• Mặt cầu cần viết có tâm I(−4;8;5) bán kính R=IA = 52 +72 +32 = 83
• Vậy phương trình mặt cầu ( ) (2 ) (2 )2
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 2
3z−4 z − +1 z = +5 7i Gọi z = +a bi, a b, ∈R ta có
2 2
1
v
b
Kết luận z =i z, = +1 i
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( )1; 6 ,
trực tâm H( )1; 2 , tâm đường tròn ngoại tiếp I( )2; 3 Tìm tọa độ B C ; biết B có hoành độ ,
dương
• Gọi A' là điểm đối xứng với A qua I
'
HBAC
⇒ là hình bình hành với tâm M
'
• BC qua M và vuông góc với AH⇒BC y: =1
• B∈BC ⇒B t( );1 ;t > 0
Ta có:
= −
• M trung điểm BC, suy ra C(2− 6;1)
Vậy B(2+ 6;1 ,) (C 2− 6;1)
Câu 7.b (1,0 đ iểm) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
Trang 9( ) 2 2 2
S x +y +z − x + y− z = và đường thẳng 2 1 1
:
x − y− z−
tọa độ M là giao điểm của ∆ và ( )S , viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu ( )S
Gọi M(2−t;1+t;1+ ∈ ∆t) ,M ∈( )S ta có
2
Vì ∆& S( ) có duy nhất một điểm chung nên ( )P tiếp xúc với ( )S tại M
(P) đi qua M(2;1;1) và có véc tơ pháp tuyến IM(1; 3; 2− )
nên có phương trình ( )P :x +3y−2z− =3 0
Câu 8.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa điều kiện ( )1 i z+ + =z i Tìm môđun của số phức
ω= + +
( )1+i z+ = ⇔ +z i ( )(1 i x+yi)+ − = ⇔x yi i (2x− + =y) xi i 1
2
x y
=
=
• z= +1 2i
• ω= + + = + + + = +1 i z 1 i 1 2i 2 3i
13
ω =
Hết