Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10

Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10 Chuyên đề 3 đường conic toán lớp 10

–

Cho hai điểm cố định F , 1 F và một độ dài không đổi 2 2a lớn hơn F F Elip 1 2 ( )E là tập hợp các

điểm M trong mặt phẳng sao cho MF MF1+ 2 =2a

Các điểm F , 1 F gọi là các tiêu điểm của elip 2

Độ dài F F1 2=2c gọi là tiêu cự của elip ( a c> )

b Phương trình chính tắc của elip

Cho elip ( )E có các tiêu điểm F và 1 F và đặt 2 F F1 2 =2c Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho

1 ;0 , ;02

Người ta chứng minh được: M x y( ) ( ); E x22 y22 1

( )1 trong đó b= a2−c2

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

Chú ý:

–

–

• ( )E cắt Ox tại hai điểm A a1(− ;0 , ;0) A a2( )và cắt Oy tại hai điểm B1(0;−b B), 0;2( )b

• Các điểm A A B B1, , , 2 1 2 gọi là các đỉnh của elip

• Đoạn thẳng A A1 2=2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng B B1 2 =2a gọi là trục nhỏ của elip

• Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip

• Nếu M x y( ) ( ); ∈ E thì x a y b≤ , ≤

2 Hypebol

a Nhận biết hypebol

Cho hai điểm cố định F ,1 F và một độ dài không đổi 2 2a nhỏ hơn F F Hypebol 1 2 ( )H là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF MF1− 2 =2a

Các điểm F và 1 F gọi là các tiêu điểm của hypebol 2

Độ dài F F1 2=2c gọi là tiêu cự của hypebol ( c a> )

b Phương trình chính tắc của hypebol

–

Cho hypebol ( )H có các tiêu điểm F và 1 F và đặt 2 F F1 2 =2c Điểm M thuộc hypebol ( )H khi và

chỉ khi MF MF1− 2 =2a Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F c1(− ;0 , ;0) F c2( )

Người ta chứng minh được: M x y( ) ( ); E x22 y22 1

( )2 trong đó b= c2−a2

Phương trình ( )2 gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Chú ý:

• ( )H cắt Ox tại hai điểm A a1(− ;0 , ;0) A a2( ) Nếu ta vẽ hai điểm B1(0;−b B), 0;2( )b

vào hình chữ nhật OA PB thì 2 2 OP= a2+b2 =c

• Các điểm A A gọi là các đỉnh của hypebol 1, 2

• Đoạn thẳng A A1 2=2a gọi là trục thực, đoạn thẳng B B1 2 =2a gọi là trục ảo của hypebol

• Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol

• Nếu M x y( ) ( ); ∈ H

thì x≤ −ahoặc x a≥

3 Parabol

a Nhận biết parabol

–

–

Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F Parabol ( )P là tập hợp các điểm

M cách đều F và ∆

F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P)

b Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol ( )P có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆ Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn

là p, hiển nhiên p >0

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho và ∆ :

Người ta chứng minh được: M x y( ) ( ); ∈ P ⇔ y2 =2px ( )3

Phương trình ( )3 gọi là phương trình chính tắc của parabol

Chú ý:

• O gọi là đỉnh của parabol (P)

• Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P)

• p gọi là tham số tiêu của parabol (P)

• Nếu M x y( ) ( ); ∈ P ) thì x ≥0và M x y' ;( − ∈) ( )P

B Ví dụ minh hoạ

Dạng 1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

–

Gọi

Độ dài trục lớn là:

Độ dài trục nhỏ là:

Vậy phương trình Elip là:

Câu 2. Cho có hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng , chu vi bằng thì phương trình chính tắc là:

Lời giải Chọn B

Ta có: Vậy PTCT của là :

Câu 3. Cho có tiêu điểm , , tâm sai thì phương trình là:

Lời giải Chọn C

–

 LỜI GIẢI

a) Do ( )E có một tiêu điểm F −1( 2;0) nên c = Suy ra 2 a2 =b c2+ 2 =b2+ 4

Mặt khác, ( )E đi qua điểm 2;5

3

M  

  nên

2 2

5

4 9

 

 

 

+

9b 25b 100 0 b 5

⇔ − − = ⇔ = hoặc 2 20

9

b = −

Vậy Elip cần tìm có phương trình ( ): 2 2 1

b) Do ( )E có một tiêu điểm F2( )5;0 nên c = 5

Theo giả thiết độ dài trục nhỏ bằng 4 6 nên 2b=4 6⇔ =b 2 6

Suy ra 2 2 2 2 ( )2

Vậy Elip cần tìm có phương trình ( ): 2 2 1

49 24

c) Độ dài trực lớn bằng 2 5 nên 2a=2 5⇔ =a 5 Tiêu cự bằng 2 nên 2c= ⇔ =2 c 1

Từ hệ thức a2 =b c2+ , suy ra 2 b2 =a c2− = − = 2 5 1 4

Vậy Elip cần tìm có phương trình ( ): 2 2 1

d) Do ( )E đi qua M(2;− 2) và N −( 6;1) nên ta có hệ phương trình

2

2

8 8

4

a

b

=



Bài 1 Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:

a) Elip đi qua điểm và có một tiêu điểm

b) Elip nhận là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng

c) Elip có độ dài trục lớn bằng và tiêu cự bằng 2

d) Elip đi qua hai điểm và

–

 LỜI GIẢI

a) Tổng độ dài hai trục bằng 8 nên 2a+2b=8 ( )1

c

a

Từ ( )1 và ( )2 , ta có

1

2

c

a

+ =

=





Thay vào hệ thức a2 =b c2+ , ta được 2

● Với c =4 2 4+ , suy ra 8 4 2

4 4 2

a b

 = +





= − −

 : không thỏa mãn

● Với c =4 2 4− , suy ra 8 4 2

4 4 2

a b

 = −





= − +

 Do đó Elip cần tìm có phương trình ( )

8 4 2 4 2 4

b) Elip có tâm sai 5 5 3

c

a

= ⇔ = ⇔ = ( )1

Mặt khác, Elip có hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 nên 2 2( a+2b)=20⇔ + = ⇔ = −a b 5 b 5 a

( )2

Thay ( )1 và ( )2 vào hệ thức a2 =b c2+ , ta được 2

( )

c

c

 =

  = − + ⇔  = −  + ⇔ − +

= ⇔ 

b) Elip có tâm sai và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20

c) Elip có tiêu điểm và hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

–

● Với c =5 5, suy ra 15

10

a b

=



 = −

 : không thỏa mãn

● Với c = 5, suy ra 3

2

a b

=



 =

 Do đó Elip cần tìm có phương trình ( ): 2 2 1

c) Elip có một tiêu điểm F −1( 2;0) nên c = 2

Diện tích hình chữ nhật cơ sở S =2 2a b=12 5⇔ab=3 5 ⇔a b2 2 =45 ( )1

Mặt khác, ta có a2 =b c2+ 2 =b2+ 4 ( )2

Kết hợp ( )1 và ( )2 , ta được

a b = ⇔ b + b = ⇔b + b − = ⇔b = hoặc b = − 2 9

Với b = , suy ra 2 5 a = Do đó Elip cần tìm có phương trình 2 9 ( ): 2 2 1

Dạng 2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

 LỜI GIẢI

Phương trình chính tắc của ( )H có dạng x22 y22 1

a −b = trong đó a b > , 0

Vì ( )H đi qua điểm A −( 3;0) nên ta có ( 3)22 022 1 a 3

Do ( )H có một tiêu điểm là F2(5;0) nên ta có c= ⇒5 b2 =c a2− 2 =5 3 162− 2 =

Vậy phương trình chính tắc của ( )H là 2 2 1

9 16

 LỜI GIẢI

Bài 1 Lập phương trình chính tắc của hypebol , biết rằng có một tiêu điểm là và

đi qua điểm

Bài 2 Viết phương trình chính tắc của hypebol , biết đi qua điểm và có một tiêu điểm là

Dạng 3 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA PARABOL

 LỜI GIẢI

Bài 1 Viết phương trình chính tắc của parabol , biết rằng có đường chuẩn là đường thẳng

Tìm toạ độ điểm thuộc sao cho khoảng cách từ đến tiêu điểm của bằng

5

–

 LỜI GIẢI Bài 2 Cho parabol có phương trình ở dạng chính tắc và đi qua điểm Phương trình của là