MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số

Đặc biệt, trong cấu trúc các đềthi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hay là đề thi trung họcphổ thông quốc gia thì các bài toán về phương trình, hệ phương trình được coi

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Quảng Bình - Tháng 5 năm 2017

Mục lục 1

Mở đầu 4

Một số kiến thức cơ sở 6

Chương 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 9

1.1 Phương pháp biến đổi tương đương 9

1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 14

1.3 Phương pháp sử dụng hệ số bất định 24

1.4 Phương pháp lượng giác hóa 25

1.5 Phương pháp nhân với biểu thức liên hợp 28

1.6 Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số 30

1.7 Phương pháp dùng bất đẳng thức 33

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 40

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 40

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 44

2.3 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 53

2.4 Phương pháp đánh giá - dùng bất đẳng thức 56

2.5 Phương pháp hệ số bất định 59

2.6 Phương pháp giải hệ phương trình hoán vị vòng quanh 61

2

Chương 3 CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH 68

3.1 Đề thi năm 2010 68

3.2 Đề thi năm 2011 70

3.3 Đề thi năm 2012 72

3.4 Đề thi năm 2013 74

3.5 Đề thi năm 2014 76

3.6 Đề thi năm 2015 78

Kết luận 79

Tài liệu tham khảo 81

Mở đầu

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi nhận thấy được nội dung giảiphương trình và hệ phương trình đại số là một trong những nội dung khá trọngtâm và cần thiết cho cả giáo viên và học sinh Đặc biệt, trong cấu trúc các đềthi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hay là đề thi trung họcphổ thông quốc gia thì các bài toán về phương trình, hệ phương trình được coi

là bài toán làm khó học sinh nhiều nhất Chính vì vậy, để giải tốt các bài toánphương trình và hệ phương trình không hề đơn giản, cần phải vận dụng tốt cácphương pháp, hình thành kĩ năng trong quá trình làm bài Quan trọng hơn,mỗi giáo viên cần xâu chuỗi được các kiến thức một cách đầy đủ và logic trướckhi giảng dạy và ôn luyện cho học sinh, tạo cho học sinh hứng thú trong việchọc tập phần đại số này

Vậy, để đạt hiệu quả tốt hơn trong việc hệ thống lại các phương pháp giải trongchương trình THPT, tôi xin trình bày trong đề tài lần này một số phươngpháp giải các phương trình và hệ phương trình đại số thường gặp một cáchtổng hợp nhất và muốn để người đọc thấy được cách nhìn nhận quan sát đểchuyển phương trình, hệ phương trình về dạng quen thuộc cũng như phối hợpcác phương pháp với nhau một các nhuần nhuyễn

Nội dung khóa luận tôi tập trung vào cách giải các phương trình, hệ phươngtrình đại số hay và đặc sắc bao gồm các phương trình, hệ phương trình đa thức,phân thức, hữu tỉ và vô tỉ (không xem xét các phương trình lượng giác, mũ vàlogarit)

Khóa luận được chia làm ba chương:

• CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

• CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHĐẠI SỐ

• CHƯƠNG III: CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNGTRÌNH TRONG CÁC KỲ THI

Trong hai chương I và chương II tôi giới thiệu và tổng hợp nhiều ví dụ điểnhình về các bài toán phương trình, hệ phương trình đại số đặc trưng với từngphương pháp giải, có phân tích bài toán và đưa ra hướng dẫn giải cụ thể.Chương III là chọn lọc những bài toán trong các đề thi tuyển sinh và đưa ranhững phương pháp giải tổng hợp, giúp người đọc thấy linh hoạt hơn trong việcvận dụng các phương pháp vào giải toán

Một số kiến thức cơ sở

1 Phương trình một ẩn : Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x),trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

2 Phương trình bậc nhất một ẩn : Phương trình dạng ax + b = 0,với a

và b là hai số đã cho và a 6= 0 , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.Cách giải: Sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình

Phương trình ax + b = 0(với a 6= 0 ) được giải như sau:

a.x + b = 0 ⇔ a.x = −b ⇔ x = −b

aVậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 (với a 6= 0 ) luôn có một nghiệm duynhất x = −b

4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Cách giải:

• Bước 1 : Tìm điều kiện của phương trình

• Bước 2 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

• Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được

• Bước 4 : Kết luận Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được ở bước 3, các giátrị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho

5 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Cách giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa :

• |a| = a khi a ≥ 0

• |a| = −a khi a < 0

6 Phương trình bậc hai một ẩn : (nói gọn là phương trình bậc hai) làphương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số chotrước gọi là các hệ số và a 6= 0

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 với a 6= 0 và biệt thức ∆ = b2 − 4ac

• Nếu∆ = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = −b +√∆

2a , x2 =

−b −√∆2a

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

8 Điều kiện xác định: Khi giải phương trình f (x) = g(x), ta cần lưu ýtới điều kiện đối với ẩn số x để f (x)và g(x)có nghĩa (tức là mọi phép toán đềuthực hiện được) Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (haygọi tắt là điều kiện của phương trình) Khi các phép toán ở hai vế của mộtphương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của x thì ta có thể không ghiđiều kiện của phương trình.

9 Phương trình tham số: Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn),ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này đượcxem như những hằng số và được gọi là tham số Tập nghiệm của phương trình

có thể phụ thuộc vào tham số Giải và biện luận phương trình chứa tham sốnghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, cónghiệm và tìm các nghiệm đó

10 Phương trình tương đương: Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi làtương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Nếu f (x) = g(x) tương đương với

f1(x) = g1(x) thì ta viết: f (x) = g(x) ⇔ f1(x) = g1(x)

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làmthay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.a) Cộng hay trừ từng vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thứcluôn có giá trị khác 0

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành mộtphương trình tương đương đơn giản hơn Các phép biến đổi như vậy được gọi

là các phép biến đổi tương đương

11 Phương trình hệ quả: Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x) = g(x)đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x)được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x) = g(x)

Ta viết f (x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

1.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Từ định nghĩa phương trình tương đương, ta sẽ dùng các phép biến đổi tươngđương để chuyển từ phương trình phức tạp chưa biết cách giải về phương trìnhđơn giản đã biết cách giải để tìm tập nghiệm của nó Ngoài ra cần chú ý đếnphép biến đổi hệ quả, cũng giúp chúng ta tìm được nghiệm của phương trình

đã cho Một số phép biến đổi tương đương thường dùng là:

• Phép cộng (trừ) hai vế với cùng một biểu thức

• Phép nhân (chia) hai vế với cùng một biểu thức khác 0

9

Nếu y = −7: Ta có phương trình x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 +

√13

Vậy phương trình có nghiệm x = 6

*Chú ý: Khi trình bày với cách này chúng ta không cần đặt riêng điềukiện của phương trình nhưng phải chú ý điều kiện vế phải không âm

• Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình (1.3) ta đưa tới phương trình

Ví dụ 1.4 Giải phương trình: √

x2 − 2x − 4 = √2 − xHướng dẫn giải:

Ví dụ 1.6 Giải các phương trình sau:

x = 1 −

√17





x = 14

x = 92

x = 92

Thử lại thấy x = 1

4 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x =

14

Ví dụ 1.9 Giải phương trình: x8 − x5 + x2 − x + 1 = 0

Hướng dẫn giải: Phương trình tương đương với:



x4 − x2

Phương trình tương đương với :

x +√

1 − x = 2 (vô nghiệm)Nếu t = 1 ⇔ √

Do đó đặt t = √

x = 3t − 32t − 3.Thay vào (1.12*) ta biến đổi thành

√

x + 1 = ba; b ≥ 0

2x + 3 = √

x + 1 + 1.(vô nghiệm)Với a = 2b ⇔ √

Ta viết lại phương trình như sau:

Suy ra √

x2 + 2x + 5 = 2 ⇔ x = −1Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1

x2 − x + 1; b = √x + 1 ta có phương trình2a2 + 2b2 = 5ab ⇔





a = 2b

a = b2

Từ đó tìm được nghiệm: x = 5 ±

√37

Ví dụ 1.17 Giải phương trình:

p5x2 − 14x + 9 −px2 − x − 20 = 5√x + 1

Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≥ 5

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

√61

5 −√

612Với a = 3b

2 ⇒ x = 8; x = −7

4

Đối chiếu với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là

x = 8; x = 5 +

√61

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đưa phương trình về dạng: pf(x)Q(x) = f(x) + P (x) khi đó:

Đặt pf(x) = t; t ≥ 0 Phương trình viết lại thành t2− tQ(x) + P (x) = 0.Đến đây giải t theo x

Nếu t = x + 3 phương trình vô nghiệm

Nếu t = 3 Phương trình có nghiệm x = ±2√

2Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = ±2√

Ta thấy cả hai vế đều có dạng hẳng đẳng thức ta có thể đưa về dạng

A2 = B2 Viết lại phương trình dưới dạng:

8(4 − x2) + 16p2(4 − x2) = x2 + 8xĐặt t = p2(4 − x2) ta có phương trình: 4t2 + 16t − x2 − 8x = 0

Giải phương trình trên theo ẩn t ta được: t1 = x

2; t2 =

−x

Vì |x| ≤ 2 nên t2 không thỏa điều kiện.

Với t = x

2 thì p2(4 − x2) = x

√2

3 .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

√2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 và x = 2.

x − 1; b =√3

x − 2; c = √3

x − 5

x = 3

x = 72

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 3

2; x = 3; x =

7

2.Biến đổi đẳng thức rồi đặt ẩn phụ:

Ví dụ 1.25 Giải phương trình (x + 4)(x + 1) + 3√

x2 + 5x + 2 = 6.Phân tích: Để ý rằng khi khai triển tích

(x + 4)(x + 1) = x2 + 5x + 4 Ta có thể đặt ẩn phụ để giải bài toán.Hướng dẫn giải:

Ví dụ 1.26 Giải phương trình: √

x +√

9 − x = √

−x2 + 9x + 9.Hướng dẫn giải: Bình phương hai vế ta có:

√

x +√

9 − x = p−x2 + 9x + 9 ⇔ x2 − 9x + 2√x√

9 − x = 0

4x − 4, khi đó phương trình trở thành

u6 − 14u3 − 24u + 96 = 0 ⇔ (u − 2)2(u4 + 4u3 + 18u + 24) = 0

Dễ thấy (u4 + 4u3 + 18u + 24) = 0 vô nghiệm vì:

Nếu u ≤ 0 thì u6 − 14u3 − 24u + 96 > 0

Ta tìm α; β sao cho:

−x + 3 = α(√1 − x)2 + β(√

x + 1)2 ⇔ −x + 3 = (β − α)x + α + βGiải ra ta được: α = 2; β = 1.Ta viết lại phương trình thành:

Nên phương trình có hai nghiệm x = 5

3; x =

−√3

2 .

1.4 Phương pháp lượng giác hóa

• Nếu bài toán chứa √a2 − x2 có thể đặt x = |a| sint với −π

2 hoặc

x = |a| cost với 0 ≤ t ≤ π

• Nếu bài toán chứa √x2 − a2 có thể đặt x = |a|

sin t với t ∈

 −π

2 ;

π2

o

• Nếu bài toán chứa √a2 + x2 có thể đặt x = |a| tant với t ∈  −π

2 ;

π2

hoặc

x = |a| cott với t ∈ (0; π)

• Nếu bài toán chứa r a + x

a − x hoặc

r a − x

a + x có thể đặt x = acos2t.

• Nếu bài toán chứa p(x − a)(b − x) có thể đặt x = a + (b − a)sin2t

* Chú ý: Vì lượng giác là hàm tuần hoàn nên ta chú ý đặt điều kiện của

các biểu thức lượng giác sao cho khi khai căn không có dấu giá trị tuyệtđối, tức là luôn dương.

Ví dụ 1.29 Giải phương trình: x3 +

q(1 − x2)3 = xp2(1 − x2)

Hướng dẫn giải: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1

Từ điều kiện của bài toán ta đặt ẩn phụ x = cost, khi đó √

1 − x2 = |sin ϕ|Chỉ cần chọn ϕ mà 0 ≤ ϕ ≤ π khi đó −1 ≤ cosϕ = x ≤ 1 và |sin ϕ| = sin ϕ.Phương trình đã cho biến đổi được về dạng:

cos3ϕ+sin3ϕ = √

2 cos ϕ sin ϕ ⇔ (cos ϕ+sin ϕ)(1−cos ϕ sin ϕ) =√

2 cos ϕ sin ϕĐặt u = cos ϕ + sin ϕ = √

2 sin



ϕ + π4

2 − 1)(√

2 + 3)2

Do sinϕ ≥ 0 cho nên cosϕ =

1 −√

2 −

q(√

2 − 1)(√

2 + 3)2

Vậy phương trình có tập nghiệm: S =

2 − 1)(√

2 + 3)

√22







⇔ sin 4t = 4x(1 − x

2)(x2 + 1)2 ⇔ 2

sin 4t =

(x2 + 1)22x(1 − x2).Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:

1

cos t +

1sin 2t =

2sin 4t ⇔ 4 sin t.cos2t + 2cos2t = 2

⇔ 2sint.cos2t = 1 − cos2t ⇔ 2sint.cos2t = 2sin2t ⇔ (cos 2t − sin t) sin t = 0

⇔ (1 − 2sin2t − sin t)sint = 0 ⇔ (sin t + 1)(2 sin t − 1) sin t = 0

⇔ sin t = 1

2 ⇔ t = π

6 ⇔ x = √1

3Vậy phương trình có 1 nghiệm x = √1

3.

1.5 Phương pháp nhân với biểu thức liên hợp

Ý tưởng của phương pháp là trục căn thức và tạo nhân tử chung

ta viết phương trình dưới dạng:

Ví dụ 1.32 Giải phương trình: x3 + 3x2 − 3√3

3x + 5 = 1 − 3x (1.32)Phân tích: Đánh giá phương trình, ta thấy phương trình có dạng hằngđẳng thức (x + 1)3 nên ta sẽ biến đổi phương trình theo hằng đẳng thức

để biểu thức thu gọn hơn Nhẩm nghiệm phương trình x = 1

Hướng dẫn giải: Viết lại phương trình dưới dạng:

⇔ x = −2Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {−2; 1}

• Kĩ thuật ghép hạng tử

Ví dụ 1.33 Giải phương trình:

√10x + 1 +√

3x − 5 = √

9x + 4 +√

2x − 2 (1.33)Phân tích: Có thể thấy

10x + 1 − 9x − 4 = x − 3 và 3x − 5 − 2x + 2 = x − 3 Ta tìm được nhân tửchung cần nhóm là x − 3

9x + 4 +

1

√3x − 5 +√

2x − 2 = 0 (vô nghiệm)

⇔ x = 3

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}

1.6 Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số

Trong việc giải những bài toán phương trình thì phương pháp dùng tính đơnđiệu hàm số là một phương pháp mạnh và cho ta lời giải đẹp Sau đây tôi xingiới thiệu một số ứng dụng của phương pháp trên, trước tiên là một số định lýquan trọng:

Định lý 1.1 Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liêntục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x) = k không nhiều hơnmột và ∀x, y ∈ D : f (x) = f (y) ⇔ x = y

Định lý 1.2 Nếu hàm số f (x) và g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên

D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x) = g(x) không nhiều hơn 1.Định lý 1.3 Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên Dthì f (x) > f (y) ⇔ x > y (hoặc x < y)

Vận dụng linh hoạt các định lý trên, từ một phương trình ẩn x, ta sẽ đưa vềdạng f (g(x)) = f (h(x)) với f (t) là một hàm đơn điệu trên miền đang xét

vọng hàm đồng biến theo x, Khi đó theo định lý 1.1, phương trình có nghiệmduy nhất x = 1.

Hướng dẫn giải: Điều kiện:

S =

(

2;5 ±

√34

x ∈

2; 139

x ∈

(

25 ±√

138

⇔ x = 25 −

√138

Vậy phương trình có tập nghiệm S =

(

2;25 −

√138

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

3(1 +

3

√2)2

với a là hằng số

Nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn f (x) = g(x) = a

• Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn cóh(x) ≥ m hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị x làmcho dấu của đẳng thức xảy ra

• Một số phương pháp hay được sử dụng là đưa về bình phương đúng, sửdụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá một cách hợp lý, sử dụngmột số bất đẳng thức như bất đẳng thức AM-GM, BCS và bất đẳng thứcHolder

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:

• Bất đẳng thức AM - GM:

x1 + x2 + + xn ≥ n√n

x1x2 xn, xi ≥ 0(i = 1, n)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn

• Bất đẳng thức Holder: (dạng mở rộng của BCS): Cho bộ n số dương(m, n ≥ 2):

3.√3x + 3)2 ≤ (13 + 27)(13x − 13 + 3x + 3)

√

√3x + 3

3√3

Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≥ −3

Ví dụ 1.40 Giải phương trình:√

x2 + x − 1 +√

−x2 + x + 1 = x2 − x + 2.Phân tích: Để ý rằng VT có dạng √

B nên ta nghĩ tới việc sử dụng bấtđẳng thức BCS để tìm giá trị lớn nhất Rồi sau đó chứng minh VP lớn hơnhoặc bằng giá trị này

Hướng dẫn giải: Điều kiện:

Thử lại thấy đúng, vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Ví dụ 1.42 Giải các phương trình sau:

a) 32x4 + (4x − 1)4 = 1

27.b) (1 + x)

8

+ 16x4(1 + x2)4 =

1

8.Hướng dẫn giải:

Do đó phương trình trên tương đương với 2x = 1 − 4x ⇔ x = 1

6Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

6b) Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

(1 + x)8 + 16x4(1 + x2)4 ≥ 1

8

(1 + x2)4(1 + x2)4 =

18Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 1)2 = −2x ⇔ x = −2 +√

3Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 +√

3

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỌN LỌCGiải các phương trình sau:

1

8x(1 − x2)(1 + x2)2 − 2

√2x(x + 3)

x = r −33

43

)

,

4

(x + 2)4 + (x + 4)4 = 82Đáp số:(HD: Đặt y = x + 3) Tập nghiệm S = {−1; −5}

11}

1

x − 8 +

12x + 7 +

15x + 8 =

18x + 7Đáp số: (HD: áp dụng 1

3; 0;

−157



7

x5 − x4 − x3 − 11x2 + 25x − 14 = 0Đáp số: (HD: Phân tích và nhóm các số hạng) Tập nghiệm S = {2}

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằmđưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản (có thể rút theo y hoặc x) rồithế vào phương trình còn lại trong hệ

• Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó tatìm cách rút y theo x hoặc ngược lại

2 − 1

x thay vào (1) ta được

40