Điều nàykhiến cho các lý luận và kết quả trong toán học có tính chặt chẽ và chính xác caohơn so với trong một số lĩnh vực hoạt động khác của con người.. Để kiểm tra một tính chất là đúng
Số thực
Tập hợp và ánh xạ
Trong toán học đương đại tập hợp được coi là một trong những khái niệm ban đầu, thỏa những tính chất nhất định, từ đó dùng một số qui tắc suy luận nhất định người ta xây dựng các kết quả mới Trong mục này ta nhắc lại một số tính chất và qui tắc này mà người học đã phần lớn người học đã học ở chương trình trung học.
Tập hợp là một tập hợp các đối tượng có chung một đặc điểm hoặc tính chất nhất định, và những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp đó Việc hiểu rõ về tập hợp giúp phân loại và tổ chức các phần tử dựa trên các đặc trưng chung, góp phần nâng cao khả năng phân tích và xử lý dữ liệu trong toán học Trong các lĩnh vực khác như khoa học và công nghệ, tập hợp đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các nhóm đối tượng có tính chất tương tự nhau, từ đó hỗ trợ quá trình nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.
Trong toán học, ký hiệu x = thuộc tập hợp A (x ∈ A) được sử dụng để biểu thị rằng phần tử x thuộc vào tập hợp A Ngược lại, nếu x không phải là phần tử của A, ta viết là x /∈ A, nghĩa là "x không thuộc A" Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là ∅ Để mô tả một tập hợp, người ta thường sử dụng hai phương pháp chính, giúp minh họa rõ ràng các thành phần của tập hợp đó.
Tập hợp là tập hợp các phần tử, ví dụ như tập hợp A chứa đúng bốn phần tử x, y, z và t, được viết là A = {x, y, z, t} Ngoài ra, tập hợp B gồm các ngày trong tuần có thể được biểu diễn là B = {thứ 2, thứ 3, thứ 4, thứ 5, thứ 6, thứ 7, chủ nhật} Việc liệt kê các phần tử của tập hợp giúp hiểu rõ nội dung và phạm vi của tập hợp đó, đồng thời giúp áp dụng các quy tắc trong toán học để làm việc với tập hợp một cách chính xác và hiệu quả.
B ={thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật}.
Cách này thường được dùng để mô tả các tập hợp có ít phần tử.
Trong toán học, ta cần xác định các tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp và chỉ các phần tử đó mới thuộc về tập hợp Giả sử tập hợp A gồm các phần tử có tính chất P, ta viết A = {x | P(x)}, tức là tập hợp A bao gồm tất cả các phần tử x thỏa mãn tính chất P Điều này giúp phân biệt rõ ràng các phần tử thuộc tập hợp và đảm bảo tính chính xác trong xác định tập hợp dựa trên đặc điểm chung.
Ví dụ tập hợpC gồm các sinh viên năm nhất học môn Vi tích phân 1 có thể được viết là:
C={sinh viên năm nhất|học môn Vi tích phân 1}.
Phương pháp này thường dùng để mô tả các tập hợp có nhiều phần tử. Để biểu diễn một tập hợp một cách trực quan ta có thể dùng biểu đồ như trong Hình 1.1.1.
Hình 1.1.1: Biểu đồ biểu diễn tập hợp chứa4phần tử.
Nếu mọi phần tử của tậpA cũng là phần tử của tậpB thì ta nói Alà tập con củaB và kí hiệu A⊂B.
Ví dụ 1.1.1 Cho A={x, y, z} vàB ={x, y, z, t} thìA⊂B.
Trong toán học, nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc về tập hợp B và ngược lại, tức là mỗi phần tử của tập hợp B cũng thuộc về tập hợp A, thì ta nói rằng hai tập hợp A và B bằng nhau hoặc trùng nhau Ký hiệu của quan hệ này là A = B, thể hiện rằng hai tập hợp này chứa chính xác cùng các phần tử Việc xác định hai tập hợp bằng nhau giúp người học hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tập hợp trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực lý thuyết tập hợp và toán học sơ cấp.
Các phép toán trên tập hợp
Hợp hayhội của hai tập hợpAvà B là tập hợp gồm tất cả các phần tử của A và tất cả các phần tử củaB, kí hiệuA∪B Vậy x∈A∪B ⇐⇒ (x∈Ahoặc x∈B).
Ví dụ 1.1.2 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y} thìA∪B={a, b, c, x, y, z}.
Giao của hai tậpA vàB là tập hợp gồm tất cả các phần tử của A mà cũng là phần tử của B, kí hiệuA∩B Vậyx∈A∩B ⇐⇒ (x∈A vàx∈B).
Ví dụ 1.1.3 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y} thìA∩B={a, x}.
Hiệu của tậpA và tậpB là tập gồm tất cả các phần tử của Amà không thuộc
Ví dụ 1.1.4 Cho A={a, b, x, z} vàB ={a, c, x, y} thìA\B ={b, z}.
NếuA⊂E thìE\A được gọi làphần bùcủaA trong E.
Ví dụ 1.1.5 Cho A={a, b, x, z} vàE ={a, b, c, x, y, z}thì E\A={c, y}.
Tích của tập hợpA với tập hợpB là tập hợp gồm tất cả các cặp có thứ tự(x, y) với x∈A vày∈B, kí hiệuA×B Vậy(x, y)∈A×B ⇐⇒ (x∈Avà y∈B).
Ví dụ 1.1.6 ChoA={a, b}vàB ={x, y}thìA×B={(a, x),(a, y),(b, x),(b, y)}. Ánh xạ Ánh xạ là một khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, cho tương ứng giữa phần tử của tập hợp này với phần tử của tập hợp khác Cụ thể hơn mộtánh xạf từ tập hợpX đến tập hợp Y là một tương ứng mỗi phần tử x∈X với một phần tử duy nhấty của Y Người ta thường ký hiệu ánh xạ dưới dạng f :X→Y, x7→y=f(x). Tập X gọi là tập hợp nguồn, hay miền xác địnhcủa ánh xạ, tập Y gọi là tập hợp đích của ánh xạ Phần tửy được gọi là ảnh củax và phần tử x được gọi là một tiền ảnh của y.
Ảnh của một tập con A của X qua ánh xạ f là tập hợp tất cả các hình ảnh của các phần tử trong A, được ký hiệu là f(A) Trong đó, ảnh của miền xác định X chính là miền giá trị của ánh xạ f, ký hiệu là f(X) Đây là khái niệm quan trọng trong lý thuyết ánh xạ, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các tập hợp và cách hàm số biến đổi tập hợp này thành tập hợp khác.
ChoB là tập con bất kì củaY, ta gọi tập hợp các tiền ảnh của các phần tử trong
B qua ánh xạf là tiền ảnh của B quaf và được kí hiệu bởi f − 1 (B).
Trong toán học, một ánh xạ được gọi là đơn ánh (kí hiệu là injective) khi mỗi phần tử khác nhau trong tập xác định đều có ảnh khác nhau trong tập ảnh Điều này có nghĩa rằng, với mọi \( x_1 , x_2 \) thuộc tập \( X \), nếu \( x_1 \neq x_2 \) thì \( f(x_1) \neq f(x_2) \) Ánh xạ đơn ánh đảm bảo rằng không có hai phần tử khác nhau nào trong tập xác định đồng thời ánh cùng một phần tử trong tập ảnh, phản ánh tính chất không trùng lặp của ánh xạ này.
Một ánh xạ là toàn ánh nếu mọi phần tử của tập đích đều là ảnh của ít nhất một phần tử trong tập nguồn, nghĩa là f : X → Y là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y, đảm bảo rằng không có phần tử nào trong Y bị bỏ qua Trong khi đó, một ánh xạ là song ánh khi nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, tức là mỗi phần tử trong miền xác định đều ánh xạ tới duy nhất một phần tử trong tập đích và mọi phần tử trong tập đích đều có ít nhất một tiền ảnh trong miền Điều này giúp đảm bảo tính chất đầy đủ và duy nhất của ánh xạ trong các bài toán toán học và ứng dụng.
Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Trong toán học, nếu f : X → Y là một ánh xạ song ánh (bìa), thì với mỗi yếu tố y thuộc tập Y, có duy nhất một x thuộc tập X sao cho f(x) = y Ánh xạ ngược của f, được xác định bởi g : Y → X với g(y) = x, đảm bảo mỗi y có một hình ảnh duy nhất trong X, còn được ký hiệu là f⁻¹ Hình 1.1.3 minh họa rõ ràng mối quan hệ này giữa ánh xạ f và ánh xạ ngược g.
Cho ánh xạ f :X→Y vàg:Y →Z thìánh xạ hợp g◦f được định nghĩa bởi g◦f :X→Z,(g◦f)(x) =g(f(x)).
Hình 1.1.3: Biểu đồ minh họa ánh xạ ngược.
Vài quy tắc suy luận toán học
Toán học phát triển dựa trên một số nhỏ khái niệm và tiên đề đã được thừa nhận, từ đó suy diễn ra các quy tắc và kết quả mới Nhờ vào sự xây dựng chặt chẽ này, các lý luận và kết quả trong toán học đảm bảo tính chính xác cao hơn so với nhiều lĩnh vực khác của con người.
Trong toán học, các kết quả được trình bày dưới dạng các mệnh đề, mỗi mệnh đề có thể có giá trị đúng hoặc sai Toán học không chấp nhận mâu thuẫn, do đó không tồn tại mệnh đề vừa đúng vừa sai, đảm bảo tính logic và khách quan trong các kết quả toán học.
Với mệnh đề A thì mệnh đề đúng khi và chỉ khiA sai được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đềA, thường được kí hiệu làA.
Ví dụ 1.1.7 Phủ định của mệnh đề x∈Alà mệnh đề x /∈A.
Mệnh đề "A hay B" đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề A hoặc B là đúng Phủ định của "A hay B" là "không A và không B", tức là không có điều nào trong A hoặc B xảy ra Điều này giúp hiểu rõ hơn về cách xác định tính đúng đắn của các mệnh đề liên quan trong logic luận.
Mệnh đề “A và B” đúng khi và chỉ khi cả hai A và B đều đúng, đảm bảo tính chính xác và logic trong luận cứ Phủ định của mệnh đề này là “không A hoặc không B”, nghĩa là ít nhất một trong hai điều A hoặc B không xảy ra, giúp hiểu rõ các phản đề liên quan Viết đúng chính tả và dùng từ phù hợp giúp tăng tính rõ ràng và khả năng tối ưu hóa SEO cho nội dung.
Giả sử mỗi phần tử x thuộc tậpD tương ứng với một mệnh đềT(x) Mệnh đề
∃x∈D, T(x) nghĩa là tồn tại phần tửx thuộcD mà mệnh đề T(x) là đúng 1 Phủ định của mệnh đề này là∀x∈D, T(x), nghĩa là với mọi phần tửxthuộcDthì mệnh đề T(x) là sai.
Mệnh đề∀x∈D, T(x)nghĩa là với mọi phần tử x thuộcDthì mệnh đềT(x)là
Trong logic, ký hiệu ∃ (tiếng Anh là Exists) mang ý nghĩa "tồn tại" Phủ định của câu khẳng định này là ∃x∈D, T(x), nghĩa là có ít nhất một phần tử x thuộc tập D sao cho mệnh đề T(x) sai Hiểu rõ ký hiệu ∃ giúp nắm bắt các khái niệm trong lý thuyết tập hợp và logic chính xác hơn Việc xác định sự tồn tại của phần tử phù hợp đóng vai trò quan trọng trong các bài toán logic và toán học.
Suy diễn và chứng minh
Mệnh đề “A dẫn tớiB” hay “A suy raB”, kí hiệu là A⇒B, là đúng khi và chỉ khi
Trong logic, “A đúng và B đúng, hoặc A sai” là mệnh đề suy diễn có tính chất phức tạp, và nó sai khi và chỉ khi A đúng nhưng B sai Một nguyên lý quan trọng trong suy luận là, nếu xuất phát từ giả thiết đúng và thực hiện suy luận đúng, ta sẽ thu được kết luận đúng; ngược lại, nếu giả thiết sai, thì dù suy luận có chính xác đến đâu, kết quả cuối cùng vẫn có thể sai.
Hai mệnh đề “Adẫn tới B” và “B dẫn tớiA” thì A vàB có cùng tính đúng sai, hay là “tương đương”, kí hiệu làA ⇐⇒ B.
Phủ định của câu “A dẫn tới B” là “A và không B”, mang ý nghĩa là có A nhưng không có B Lưu ý rằng mệnh đề “A⇒B” không cùng tính đúng sai với mệnh đề đảo “B⇒A”, và cũng không tương đương với mệnh đề “A⇒B”, mà nó có cùng tính đúng sai với phản đảo của nó là “B⇒A”, nghĩa là nếu không có B thì không có A.
Ví dụ 1.1.8 Mệnh đề “học chăm chỉ thì đạt môn Vi tích phân” tương đương với
Rớt môn Vi tích phân không đồng nghĩa với việc học không chăm chỉ Việc học chăm chỉ không đảm bảo rằng bạn sẽ không gặp phải tình trạng rớt môn Vi tích phân Có những người học chăm chỉ nhưng vẫn thất bại trong môn học này, cho thấy rằng yếu tố duy trì sự chăm chỉ là quan trọng nhưng chưa đủ để đảm bảo thành công trong môn Vi tích phân.
Mệnh đề “nếu x= 2thì x 2 = 4” tương đương với “nếu x 2 ̸= 4thì x̸= 2”, không tương đương với “nếux̸= 2 thìx 2 ̸= 4”.
Chứng minh trong toán học là quá trình xác nhận một mệnh đề bằng cách trình bày một chuỗi các suy luận logic từ các mệnh đề đã được chứng minh là đúng để đi đến kết luận chính xác Khi chứng minh mệnh đề ∀x∈D, T(x), ta cần chứng minh rằng T(x) đúng với mọi x thuộc D; ngược lại, nếu tồn tại một x trong D sao cho T(x) sai, thì mệnh đề ∀x∈D, T(x) sẽ bị phủ định Thuật ngữ “chứng minh” trong toán học nhấn mạnh rằng không thể khẳng định một điều gì đó nếu chưa kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra, đảm bảo tính hợp lệ và chính xác của kết luận.
Tập hợp các số nguyên
Trong quá trình phát triển qua thời gian, con người dần hình thành các khái niệm số lượng để mô tả thế giới xung quanh Tập hợp các số tự nhiên là nền tảng cơ bản giúp biểu đạt các lượng nhất định trong cuộc sống hàng ngày Việc hiểu rõ về các số tự nhiên đóng vai trò quan trọng trong toán học và ứng dụng thực tiễn, từ đo lường đến phân loại mọi thứ xung quanh chúng ta.
N={0,1,2,3,4, } được hình thành trong quá trình đó là cơ sở của phép đếm trong đời sống Dần dần do nhu cầu của đời sống tập hợp các số tự nhiên được mở rộng thành tập hợpZ các
2 kí hiệu ∀ (tiếng Anh là for All) nghĩa là với mọi
1.1 SỐ THỰC 9 số nguyên, bao gồm các số nguyên dương và các số nguyên âm, cùng với số không 0:
Z={ −4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, }. Tập hợp các số nguyên dương được kí hiệu là Z + :
Các tiên đề về số nguyên được giới thiệu vào cuối thế kỷ 19, khẳng định sự tồn tại duy nhất của tập hợp số nguyên gồm các phần tử đặc biệt 0, 1, cùng với các phép cộng, trừ, nhân và so sánh thỏa mãn các tính chất quen thuộc từ toán học phổ thông Trong đó, khái niệm “vô hạn” được đưa ra để phân biệt giữa các tập hợp hữu hạn, có thể đếm được bằng các số nguyên từ 1 đến một số nguyên dương nào đó, và các tập hợp vô hạn như tập hợp các số tự nhiên và số nguyên Để xác minh tính đúng đắn của một tính chất cho mọi số tự nhiên, người ta sử dụng phép quy nạp, hay còn gọi là nguyên lí quy nạp toán học, một phương pháp chính xác giúp tổng quát hóa các trường hợp riêng lẻ Phương pháp này dựa trên nguyên tắc rằng nếu một mệnh đề đúng với số nguyên đầu tiên và đúng với số nguyên tiếp theo khi giả định đúng với một số nguyên bất kỳ, thì mệnh đề đó đúng với tất cả các số nguyên dương.
Mệnh đề 1.1.9 (Phép qui nạp) Giả sửn0 là số tự nhiên nào đó và với mỗi số tự nhiên n≥n 0 thì T(n) là một mệnh đề với giá trị phụ thuộc giá trị của n Nếu (a) T(n 0 ) là đúng,
(b) với mọi số tự nhiênk≥n 0 , nếu T(k) là đúng thìT(k+ 1) là đúng, thìT(n) là đúng với mọi số tự nhiên n≥n 0
Ví dụ 1.1.10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn thìn M Vậy ta kết luận được dãy (a n )tiến ra vô cùng Ta thường viết ngắn gọn hơn, nlim→∞n=∞.
Ví dụ 1.1.25. nlim→∞n 2 =∞. Thực vậy, choM ∈Rbất kì, ta có n 2 > M ⇐⇒ n >√
Như vậy lấyp là một số nguyên lớn hơn√
M thì khin≥p sẽ dẫn tớin >√
M và do đón 2 > M Vậy theo định nghĩa ta được kết luậnlim n →∞ n 2 =∞.
Ghi chú 1.1.26 Các khái niệm “vô cùng”, “vô cực”, “vô hạn”, và các kí hiệu∞ và
−∞không phải là các số thực Chúng được dùng để miêu tả những quá trình giới hạn.
Vài kết quả về dãy hội tụ
Hàm số
Đồ thị Đường thẳng
Trong môn học này, phương pháp Hình học Giải tích do René Descartes khởi xướng từ thế kỷ XVII được sử dụng để mô hình hóa các hình học phẳng Qua đó, tập hợp các số thực \(\mathbb{R}\) giúp mô tả các đường thẳng, trong khi tập hợp \(\mathbb{R}^2\) dùng để hình dung mặt phẳng Phương pháp này cho phép diễn đạt các quan hệ trong Hình học Euclid thông qua các mối quan hệ giữa các số thực, giúp làm rõ các khái niệm hình học một cách chính xác và dễ hiểu hơn.
Cho hàm sốf :D⊂R→R Đồ thị của hàmf là tập hợp tất cả các điểm(x, y) trong mặt phẳngR 2 vớix∈D vày=f(x).
Ví dụ 1.2.2 Đồ thị của hàmf(x) =x 2 ,x∈Rlà tập hợp điểm{(x, y)∈R 2 |y=x 2 } trongR 2
Trong giải tích, một đường thẳng trong R² có thể được biểu diễn dưới dạng y = ax + b hoặc là tập hợp các điểm thỏa mãn x = c, với a, b, c là các hằng số thực Hệ số góc hay độ nghiêng của đường thẳng chính là tham số a, thể hiện độ dốc của đường thẳng nghiêng Tuy nhiên, cần lưu ý rằng khái niệm hệ số góc không được định nghĩa đối với đường thẳng đứng x = c.
Các hàm có dạng y = ax + b thường được gọi là hàm số tuyến tính, phản ánh mối quan hệ tuyến tính giữa x và y Khi xét hai điểm bất kỳ (x₀, y₀) và (x₁, y₁) nằm trên cùng một đường thẳng không thẳng đứng, phương trình của đường thẳng là y = ax + b Từ đó, hệ số góc của đường thẳng này được tính bằng công thức a = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀), đảm bảo xác định chính xác độ dốc của đường thẳng trong hệ thống tọa độ.
Dưới đây là công thức tính hệ số góc của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Công thức này không phụ thuộc vào việc chọn hai điểm nào trên đường thẳng, phản ánh tính chất của hình học Euclid (Xem Hình 1.2.1 để hiểu rõ hơn về quy trình).
Ví dụ 1.2.3 Hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm (4,6) và(0,7) là 7 0 − − 6 4 =− 1 4
Hai đường thẳng được gọi là song songnếu chúng khác nhau nhưng có cùng một hệ số góc hoặc cùng thẳng đứng.
Nhiệt độ theo đơn vị Celsius (°C) và Fahrenheit (°F) có mối quan hệ tuyến tính rõ ràng, trong đó điểm 0°C tương đương với 32°F, thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa hai đơn vị đo nhiệt độ này.
Trong toán học, hàm số tuyến tính thể hiện tính thẳng của đường đồ thị Thuật ngữ "hàm số tuyến tính" trong môn Vi tích phân có nghĩa khác so với trong môn Đại số tuyến tính Trong Đại số tuyến tính, chỉ hàm y = ax mới được coi là hàm số tuyến tính, trong khi trong Vi tích phân, phạm vi và cách hiểu về hàm số tuyến tính có thể rộng hơn Việc làm rõ khái niệm này giúp nâng cao hiểu biết về đặc điểm của các hàm số tuyến tính trong các lĩnh vực toán học khác nhau.
Hệ số góc của đường thẳng không phụ thuộc vào cách chọn hai điểm để tính, phù hợp với tính chất tam giác đồng dạng trong hình học Euclid Nhiệt độ sôi của nước ở 100°C hoặc 212°F là điểm mốc quan trọng trong đo lường nhiệt độ Để xác định mối liên hệ giữa độ Celsius và độ Fahrenheit, ta tìm phương trình của đường thẳng qua hai điểm (0,32) và (100,212), trong đó hệ số góc của đường thẳng này là m = (212 - 32) / (100 - 0).
5. Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ Celsius tăng1 ◦ thì nhiệt độ Fahrenheit tăng 9 5 ◦
Hàm số sơ cấp
Người học đã biết về môn Lượng giác trong chương trình trung học, dựa trên các tính chất quen thuộc của các hàm lượng giác Môn Hình học và Lượng giác ra đời từ thời cổ đại trước Công nguyên, trong khi Vi tích phân chỉ mới phát triển từ thế kỷ 19 dựa trên hệ thống suy diễn từ tập hợp các số thực Điều này dẫn đến sự khác biệt về hệ quy chiếu, khiến một số kết quả trong Hình học và Lượng giác chưa hoàn toàn phù hợp hoặc chưa nằm trong cùng hệ suy diễn với Vi tích phân Chẳng hạn, khái niệm “góc” trong lượng giác chưa được định nghĩa dựa trên tập hợp số thực, nhưng có thể được tích hợp vào Vi tích phân qua các phương pháp như tích phân hoặc chuỗi, mặc dù điều này phức tạp và không phù hợp cho phần học này Trong môn học này, chúng ta không định nghĩa trực tiếp các hàm lượng giác, nhưng có thể tham khảo các tài liệu bổ sung như [Apo67], [Spi94], [Rud76] để hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa lượng giác và Vi tích phân Môn Vi tích phân chủ yếu tập trung vào khai thác các tính chất đặc biệt của các hàm lượng giác để phục vụ các mục đích ứng dụng.
❼ sinvà coslà hàm số xác định trênR, có giá trị trên[−1,1].
❼ sinvàcos là hàm tuần hoàn có chu kì là2π (Số thựcπ đã quen thuộc, nhưng trong giáo trình này ta chưa đưa ra định nghĩa cho nó.)
❼ cos(x−y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y).
❼ Vớix∈(0, π 2 ) thìcoslà hàm giảm,sin là hàm tăng.
❼ tan = cos sin ,cot = tan 1
❼ Vớix∈(0, π 2 ) thìsinx < x 0 và m thuộc Z, m thuộc Z+, thì x^(m/n) được định nghĩa là căn bậc n của x m, giúp mở rộng các phép tính lũy thừa cho các số thực dương.
Như vậy khix >0vàr∈Qthìx r đã được định nghĩa Khir ∈Rthì định nghĩa cần thông qua quá trình giới hạn, từ việc xấp xỉ số thực bởi số hữu tỉ.
Ví dụ 1.2.5 Có thể định nghĩa3 √ 2 bằng cách lấy một dãy số hữu tỉ dương r n hội tụ về √
Vớir ∈Rcho trước thì hàm f(x) =x r được gọi là một hàm lũy thừa.
Vớia >0 vàa̸= 1cho trước thì hàmf(x) =a x được gọi là một hàm mũ Xem Hình 1.2.3.
Chúng ta có thể xây dựng hàm lũy thừa và hàm mũ một cách chặt chẽ, đảm bảo các tính chất đã được giới thiệu ở cấp trung học Người học quan tâm có thể tham khảo các tài liệu như [TPTT02] và các tài liệu liên quan trong phần Hàm lượng giác để hiểu rõ hơn về các đặc điểm quan trọng của hàm mũ và hàm lũy thừa, phù hợp với kiến thức nền tảng và ứng dụng thực tiễn.
Hình 1.2.3: Đồ thị và dáng điệu của một số hàm mũ Chú ý sự khác nhau giữa trường hợp cơ số lớn hơn1 và trường hợp cơ số nhỏ hơn 1.
Hàm mũa x có hàm ngược là hàm lô-ga-rít 7 cơ sốa, kí hiệu là log a Như vậy y=a x ⇐⇒ x= log a y.
Ví dụ 1.2.6 minh họa một đại lượng A thay đổi theo thời gian t, như dân số hoặc số tiền trong tài khoản Ban đầu, tại thời điểm t=0, lượng A là A(0) Sau mỗi đơn vị thời gian, lượng A tăng thêm dựa trên tỷ lệ r, ví dụ như tốc độ tăng dân số hoặc lãi suất ngân hàng, và phần lãi này được nhập lại vào số lượng ban đầu Quá trình này gọi là lãi nhập vốn, giúp lượng A tăng trưởng theo thời gian Để dự đoán giá trị của A tại thời điểm t, ta cần tính tổng cộng các khoản lãi nhập vốn tích lũy qua từng kỳ.
Sau 1 đơn vị thời gian thì giá trị củaAlà
Sau 2 đơn vị thời gian thì giá trị củaAlà
A(2) =A(1) +A(1)r=A(1)(1 +r) =A(0)(1 +r) 2 Sau 3 đơn vị thời gian thì giá trị củaAlà
1.2 HÀM SỐ 25 Đến đây ta có thể dự đoán công thức giá trị củaA saut đơn vị thời gian (cũng làtlần tính lãi nhập vốn) chính là
Các tính toán cho thấy rằng công thức này có thể dễ dàng được kiểm tra tính đúng đắn thông qua phương pháp quy nạp toán học Điều này minh họa rõ ràng vai trò quan trọng của hàm mũ trong các phép tính toán học phức tạp.
Hằng số e là một số thực vô tỉ phổ biến, có giá trị gần bằng 2,71828 Đây là một số đặc biệt trong toán học, thường xuyên xuất hiện trong các lĩnh vực như tính toán, xác suất và giải tích Hằng số e có thể được định nghĩa bằng giới hạn của dãy số hữu tỉ e = limₙ→∞ (1 + 1/n)ⁿ, giúp hiểu rõ hơn về vai trò và ý nghĩa của nó trong các công thức toán học.
Hàm mũy=e x có hàm ngược được gọi là hàm lô-ga-rít tự nhiên, kí hiệu là ln 9 Xem Hình 1.2.4 Vậy y=e x ⇐⇒ x= lny.
Hình 1.2.4: Đồ thị và dáng điệu của hàm mũy=e x và hàm ngượcy= lnx
Các hàm sơ cấp bao gồm tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp của các hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm log, hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược, đóng vai trò là các hàm cơ bản trong toán học Trong đó, các hàm sơ cấp phổ biến như hàm đa thức và hàm phân thức (thương của hai đa thức) giúp xây dựng và phân tích các biểu thức toán học phức tạp hơn Việc nắm vững đặc điểm và cách hoạt động của các hàm sơ cấp là nền tảng quan trọng để hiểu và áp dụng các kiến thức toán học cao cấp, đồng thời cải thiện hiệu quả trong việc giải bài tập và nghiên cứu các vấn đề toán học thực tiễn.
Có 8 ký hiệu "e" có thể xuất phát từ tên của nhà toán học Leonhard Euler, người đầu tiên sử dụng ký hiệu này trong toán học Ngoài ra, "e" còn liên quan đến khái niệm exponent (mũ), và còn được gọi là hằng số Napier, tên của nhà toán học John Napier.
Trong tiếng Anh, '9' được gọi là logarithm tự nhiên, hay còn gọi là natural logarithm Lưu ý rằng một số tài liệu và phần mềm sử dụng ký hiệu 'log' để chỉ hàm lô-ga-rít tự nhiên Hàm này đóng vai trò quan trọng trong toán học, đặc biệt trong các lĩnh vực liên quan đến toán cao cấp và phân tích số học.
Ví dụ 1.2.7 Hàm mũf(x) =e x cùng với hàmg(x) = sinxcho hàm hợp(f◦g)(x) f(g(x)) =e sin x và (g◦f)(x) =g(f(x)) = sine x Đây là những hàm sơ cấp.
1.2.1 Viết phương trình đường thẳng có tính chất dưới đây:
(a) có hệ số góc là 2và giao với trụcOytại (0,3)
(b) có hệ số góc là−3 và giao với trụcOy tại (0,0)
(c) có hệ số góc là 4và đi qua điểm(1,1)
(d) có hệ số góc là−2 và đi qua điểm(2,−2)
(e) đi qua các điểm(2,3)và(4,5)
(f) đi qua các điểm(2,−4)và(0,3)
(g) đi qua hai điểm(0,8)và(8,0)
(h) có hệ số góc là−1, có giao điểm với trụcOylà(0,−2)
(i) có hệ số góc là−1, đi qua điểm(−4,−4)
(j) đi qua điểm(2,1) song song với đườngy=−4x+ 3
(k) thẳng đứng và đi qua điểm (3,4)
(l) nằm ngang và đi qua điểm(−2,−3).
1.2.2 Giải thích các công thức sau:
1.2.3 Chứng minh các công thức sau:
1.2.5 Dân số nước Việt Nam năm 2019 là 97 triệu người Tốc độ tăng dân số hiện là 1% = 0,01mỗi năm Nếu tốc độ tăng này không thay đổi thì năm 2029 dân số nước Việt Nam sẽ là bao nhiêu?
1.2.6 Một người gởi3triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất6% = 0,06một năm, kì hạn (thời điểm tính lãi gộp vốn) là1năm Hỏi sau4năm thì tài khoản có bao nhiêu?Bao lâu thì người đó có được10triệu đồng?
1.2.7 Giá đất đai đã tăng gấp đôi trong 10 năm qua Trong thời gian đó lãi suất tiết kiệm ngân hàng vào khoảng8%/năm Hình thức nào có lợi hơn, đầu tư đất đai hay gởi tiết kiệm?
1.2.8 Năm 2016 GDP (tổng sản phẩm xã hội - Gross Domestic Product) của Việt Nam là
Năm 2016, GDP của Thái Lan đạt 409 tỷ USD, tăng trưởng 2,8% mỗi năm Trong khi đó, giá trị của nền kinh tế đạt 215 tỷ USD, với tốc độ tăng trưởng hàng năm là 6,7% Giả sử các tốc độ tăng trưởng này duy trì trong tương lai, dự kiến quy mô kinh tế Thái Lan sẽ tiếp tục mở rộng mạnh mẽ và vượt mức hiện tại.
(a) Khi nào thì GDP của Việt Nam đạt GDP năm 2016 của Thái Lan?
(b) Khi nào thì GDP của Việt Nam đuổi kịp GDP của Thái Lan?
(c) Hãy phác họa đồ thị GDP của hai nước trên cùng hệ trục tọa độ.
Giới hạn của hàm số
Tiếp tuyến Vận tốc Tỉ lệ thay đổi
Trong chương trình toán trung học phổ thông, các vấn đề về hàm số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục đã được giới thiệu rõ ràng, giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm cơ bản Trong giáo trình này, chúng ta sẽ đi sâu vào việc tìm hiểu các định nghĩa chính xác cũng như các định lý quan trọng liên quan đến các khái niệm trên để nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng trong học tập.
Trước khi đi vào định nghĩa chính xác về giới hạn hàm số, chúng ta sẽ xem xét các bài toán tiếp tuyến và bài toán vận tốc để làm động lực cho việc hiểu rõ hơn về khái niệm này.
Bài toán tiếp tuyến Đối với đường tròn thì có thể coi tiếp tuyến là đường thẳng giao với đường tròn đúng một điểm, như trong Hình 2.1.1 (a) Đối với các đường cong phức tạp hơn thì cách tiếp cận này không phù hợp Hình 2.1.1 (b) chỉ ra hai đường thẳngl vàtqua điểmP trên đường congC Đườngl giao với C đúng một điểm nhưng nhìn hình thì không có vẻ gì là tiếp xúc Đường thẳngt có vẻ tiếp xúc với C nhưng cắt C tại hai điểm.
Hình 2.1.1 Như vậy khái niệm “tiếp tuyến” tuy quen thuộc và dễ hình dung trong một số
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 29 trường hợp, lại chưa có ý nghĩa rõ ràng trong một số trường hợp khác.
Dưới đây ta xét một ví dụ để tìm hiểu khái niệm này.
Ví dụ 2.1.1 Tìm phương trình đường tiếp tuyến cho parabol y = x 2 tại điểm
Để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến, ta chọn điểm Q(x, x²) gần điểm P trên parabola và tính hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm P và Q được xác định bằng công thức m_PQ = (x² - 1) / (x - 1) Phương pháp này giúp xấp xỉ hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm P, từ đó hiểu rõ hơn về độ dốc của parabol tại vị trí đó.
Từ hình vẽ ta thấy khiQ càng gầnP,xcàng gần 1thì hệ số góc càng gần tới một số thực nhất định.
Bây giờ ta có thể đoán rằng hệ số góc của tiếp tuyến tạiP là 2, là “giới hạn” của hệ số góc của đường cát tuyếnP Qkhi Qtiến về P.
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến đúng thực là2 thì phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng2 đi qua điểm(1,1)là y−1 = 2(x−1) hay là y= 2x−1.
Như vậy ý then chốt là: tiếp tuyến tại P chính là “giới hạn” của cát tuyếnP Q khi “Q tiến vềP” Xem minh họa ở Hình 2.1.3
Khi chúng ta di chuyển, vận tốc thay đổi theo thời gian, phản ánh sự biến đổi của tốc độ trong quá trình chuyển động Vận tốc được định nghĩa là tỷ số giữa quãng đường đã đi được và thời gian thực hiện, chính là vận tốc trung bình của chuyển động Ví dụ, khi ngồi trên xe ô tô, chúng ta có thể xem bảng đo vận tốc để biết tốc độ hiện tại của xe, từ đó hiểu rõ hơn về quá trình di chuyển của mình.
Hình 2.1.3: Tiếp tuyến tại P là giới hạn của cát tuyến P QkhiQ tiến vềP từ bên phải và từ bên trái.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 31 thấy nó liên tục thay đổi, mỗi khi ta nhìn đồng hồ đo vận tốc thì thấy có vận tốc nhất định Đây chính làvận tốc tức thời, một khái niệm phổ biến trong đời sống. Nhưng vận tốc tức thời đó được hiểu chính xác như thế nào?
Ví dụ 2.1.2 Giả sử một quả bóng được thả rơi từ một vị trí cách mặt đất1000 mét Gọis(t) là quãng đường bóng rơi sautgiây, thì s(t) = 1
2 ã9,8t 2 , với 9,8 m/s 2 là hằng số trọng trường Ta tìm vận tốc của quả bóng sau5 giây.
Vận tốc tức thời có thể được ước lượng bằng cách tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ngắn từ 5 đến 5,1 giây Công thức tính vận tốc trung bình là khoảng cách đã đi chia cho thời gian trôi qua, cụ thể là vận tốc trung bình = [s(5,1) − s(5)] / (5,1 − 5) Phương pháp này giúp xác định nhanh tốc độ của một vật thể trong một khoảng thời gian nhỏ, hỗ trợ các phân tích chuyển động chính xác.
Bảng dưới cho ta tính toán vận tốc trung bình trên khoảng thời gian nhỏ dần:
Khoảng thời gian Vận tốc trung bình
Trong quá trình chuyển động, ta nhận thấy rằng sau một khoảng thời gian ngắn, vận tốc trung bình tiến gần hơn đến 49 m/s Điều này cho thấy tốc độ của vật càng lúc càng tiếp cận giá trị này khi thời gian trôi qua Do đó, ta dự đoán vận tốc tức thời tại thời điểm 5 giây sau khi bắt đầu chuyển động là 49 m/s, phản ánh tốc độ của vật tại thời điểm đó gần như bằng với vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ngắn trước đó.
Như vậy “vận tốc tức thời” tại thời điểm tchính là “giới hạn” của vận tốc trung bình trên khoảng thời gian từt tớit ′ khi t ′ “tiến về” t.
Cả hai bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến và vận tốc tức thời đều quy về việc xác định giới hạn của đại lượng \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) khi \(x\) tiến về \(a\) Đây là đại lượng phản ánh tỷ lệ thay đổi của hàm số \(f(x)\) so với thay đổi của biến \(x\) tại một điểm nhất định, giúp đo lường cách mà \(f(x)\) biến đổi khi \(x\) thay đổi Khái niệm này đóng vai trò then chốt trong phép tính vi tích phân và được gọi là đạo hàm, sẽ được phân tích chi tiết trong các chương tiếp theo Để hiểu rõ về đạo hàm, ta cần xây dựng khái niệm giới hạn, và đây là bước chuẩn bị cần thiết để khái niệm này hình thành rõ ràng.
Giới hạn của hàm số
Ý niệm về giới hạn và hội tụ đã xuất hiện từ thời cổ đại, như Archimedes ở Hy Lạp đã sử dụng ý tưởng rằng chiều dài của đường tròn là giới hạn của chu vi các hình đa giác đều nội tiếp khi số cạnh của chúng tăng lên.
Giả sử hàm số f(x) xác định khi x gần sốanhưng có thể không xác định tạia.
Ta nói “giới hạn của f(x) khix tiến về alà L”, nếuf(x)gần Ltùy ý miễnx đủ gần anhưng không bằng a, và viết xlim→ af(x) =L.
Trong nhiều trường hợp khái niệm giới hạn có thể được diễn tả đơn giản hơn tuy kém tổng quát hơn: nếu xgần tới ahơn thìf(x) gần tớiL hơn.
Trong ví dụ 2.1.3, hàm f là hàm hằng, nghĩa là f(x) = c với mọi x∈R Điều này có nghĩa là khi x tiến gần tới a, thì giá trị của f(x) luôn bằng c, đảm bảo rằng lim x→a f(x) = c Tóm lại, giới hạn của hàm hằng tại bất kỳ điểm nào cũng chính bằng giá trị của hàm tại điểm đó, phản ánh tính liên tục và ổn định của hàm hằng trên toàn tập R.
Ví dụ 2.1.4 Chof(x) =x với mọi x∈R Rõ ràng, với mọi a∈R, khi xgần tớia thìf(x) =x cũng gần tớia Vậy xlim→ ax=a.
Trong khái niệm giới hạn, cần lưu ý rằng giả thiết x ≠ a nhằm cho phép xét các giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định Điều này giúp mở rộng phạm vi phân tích và xử lý các trường hợp đặc biệt trong toán học Việc hiểu rõ về giả thiết này là nền tảng để áp dụng lý thuyết giới hạn một cách chính xác và hiệu quả trong các bài toán liên quan.
Ví dụ 2.1.5 Xét xlim→ 1 x−1 x 2 −1. Khi xgần 1 nhưng khác 1ta có x−1 x 2 −1 = 1 x+ 1, mặc dù hai vế không bằng nhau khix= 1 Do đó xlim→ 1 x−1 x 2 −1 = lim x → 1
Có thể dự đoán giá trị của giới hạn này là 1 2 , xem Hình 2.1.4.
Ví dụ minh họa rõ ràng rằng khi xác định giới hạn của hàm \(f(x)\) tại điểm \(a\), không cần xét giá trị của hàm tại \(a\) Điều này có nghĩa là, hàm \(f\) thậm chí không cần phải xác định tại điểm \(a\) vẫn có thể có giới hạn tại đó Giới hạn tại \(a\) phụ thuộc hoàn toàn vào cách hàm \(f\) tiếp cận điểm \(a\) từ các phía, chứ không liên quan đến giá trị của \(f(a)\) Do đó, giới hạn của \(f(x)\) tại \(a\) không bị ảnh hưởng bởi giá trị của hàm tại điểm đó, chỉ dựa trên cách hàm hành xử khi \(x\) tiến sát \(a\), như minh họa trong Hình 2.1.5 Đây là khái niệm trọng tâm trong lý thuyết giới hạn hàm số, giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hành xử của hàm và giá trị của nó gần điểm cần xét.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 33
Giới hạn của hàm số tại một điểm được định nghĩa chính xác qua ký hiệu limₓ→ₐf(x)=L trong ba trường hợp khác nhau, trong đó dấu tròn rỗng thể hiện điểm chưa thuộc đồ thị Khái niệm giới hạn được viết rõ ràng, gần giống như định nghĩa giới hạn của dãy số, giúp thực hiện các lý luận phức tạp hơn dù có phần trừu tượng Điểm a trong tập D được gọi là điểm tụ hoặc điểm giới hạn của D nếu mọi khoảng mở chứa a đều chứa ít nhất một điểm khác của D, đặc biệt, điểm tụ có thể không thuộc D nhưng luôn có các phần tử của D tiến gần tới nó.
Điểm 0 là điểm tụ của tập R \ {0}, trong khi điểm 0 không phải là điểm tụ của tập {0} ∪ (1, ∞) Định nghĩa 2.1.7 giới hạn của hàm số f tại điểm tụ a: Nếu f xác định trên tập D chứa a, và giới hạn của f khi tiến đến a là L, thì viết là xlim→ a f(x) = L, có nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ D, nếu 0 < |x − a| < δ thì |f(x) − L| < ε.
|f(x)−L|< ϵ Viết hoàn toàn bằng kí hiệu thì
Hình 2.1.6: Giới hạn của hàm số f. Định nghĩa này hay được gọi là “định nghĩa ϵ−δ” Sau đây là một số ví dụ để minh họa.
Ví dụ 2.1.8 Kiểm rằng lim x → 2(2x−1) = 3.
Bước 1: Phân tích để dự đoán δ Cho trước ϵ > 0, ta muốn tìm δ >0 sao cho nếu|x−2|< δthì|(2x−1)−3|< ϵ Vì |(2x−1)−3|=|2x−4|= 2|x−2|nên nếu
|(2x−1)−3|< δ thì2|x−2|0, chọnδ=ϵ/2 Nếu0 0 sao cho nếu 0 < |x − 2| < δ thì |x² − 4| < ϵ Ta nhận thấy |x² − 4| = |(x − 2)(x + 2)|, và tập trung vào những giá trị x gần 2, giả sử |x − 2| < 1, tức là 1 < x < 3, từ đó ta có 3 < x + 2 < 5.
|x 2 −4|=|(x−2)(x+ 2)| 0 ta có f(x) = 1, nên lim x → 0 +f(x) = lim x → 0 +1 = 1 Khi x < 0 ta có f(x) = 0, nên lim x → 0 +f(x) = lim x → 0 +0 = 0.
Sau đây là một mệnh đề giúp ta nhận biết sự tồn tại giới hạn của một hàm số tại một điểm.
Mệnh đề 2.1.22 (a) Nếulimx → af(x)tồn tại và bằngLthì hai giới hạnlim x → a + f(x),lim x → a −f(x) nếu tồn tại phải bằngL.
(b) Nếu hai giới hạnlim x → a +f(x), lim x → a −f(x) tồn tại và bằngL thì lim x → a f(x) tồn tại và bằng L.
Hàm số không có giới hạn tại một điểm nếu không tồn tại giới hạn một bên tại điểm đó hoặc nếu cả hai giới hạn một bên tồn tại nhưng có giá trị khác nhau Điều này có nghĩa là để hàm số có giới hạn tại điểm cụ thể, cần phải có giới hạn bên trái và bên phải đều tồn tại và bằng nhau Trong toán học, việc xác định giới hạn tại một điểm là yếu tố quan trọng để hiểu rõ về tính liên tục của hàm số Nếu không thoả mãn các điều kiện này, hàm số sẽ không có giới hạn tại điểm đó, ảnh hưởng đến tính liên tục và tính ổn định của hàm số trong quá trình phân tích.
Chứng minh rằng nếu limₓ→a f(x) = L và các giới hạn bên trái, bên phải của hàm số tại điểm a đều tồn tại, thì theo định nghĩa giới hạn, ta có ngay limₓ→a− f(x) = L và limₓ→a+ f(x) = L Điều này đảm bảo tính liên tục của hàm tại điểm a khi các giới hạn hai bên đều bằng nhau, phản ánh đúng ý nghĩa của giới hạn đứng của hàm số tại một điểm.
Ngược lại giả sử lim x → a −f(x) =L và lim x → a +f(x) =L Cho ϵ > 0, có δ 1 >0 sao cho khix ∈D và 0< x−a < δ1 thì |f(x)−L|< ϵ, và cóδ2 >0 sao cho khi x∈D và0< a−x < δ 2 thì|f(x)−L|< ϵ Lấyδ = min{δ 1 , δ 2 } Với mọi x∈D sao cho0 M\), thì \(|f(x) - L| < \varepsilon\).
Tương tự ta nói x →−∞lim f(x) =L nếuf(x) gầnL tùy ý miễnx đủ nhỏ Chính xác hơn, nếu với mọi số dươngϵtồn tại một số dương M sao cho nếux 0 sao cho khi 0 < |x - a| < δ, thì f(x) > M, thể hiện rằng f(x) có thể lớn tùy ý gần điểm a nhưng không bằng chính điểm đó Ngược lại, giới hạn bằng âm vô cùng lim(x→a) f(x) = -∞ diễn ra khi giá trị của hàm số giảm không giới hạn về âm, tức là cho mọi số dương M, có thể tìm δ > 0 sao cho khi 0 < |x - a| < δ, thì f(x) < -M, minh chứng rằng hàm có thể nhỏ tùy ý gần điểm a mà không vượt quá giới hạn đó.
Sự tương tự giữa giới hạn của hàm khi x tiến tới vô cùng và quá trình dãy số tiến ra vô cùng được so sánh trong Mục 1.1.4, giúp làm rõ cách xác định giới hạn của hàm trong các tình huống giới hạn vô cực Định nghĩa này được minh họa rõ ràng qua các hình 2.1.7, 2.1.8, và 2.1.9, giúp học viên hình dung trực quan về khái niệm và ứng dụng của giới hạn trong toán học.
Ví dụ 2.1.28 Không khó để thấy xlim→ 0
1 x 2 =∞. Để kiểm tra, cho M là số thực dương bất kì, ta có x 1 2 > M ⇐⇒ |x|< √ 1
M, vậy trong định nghĩa chỉ cần lấy δ= √ 1
M thì ta sẽ có 0 M. Tương tự, xlim→ 0
Ví dụ 2.1.29 Ta có thể kết hợp tất cả các loại giới hạn trên: xlim→∞x=∞, xlim→∞x 2 =∞, x →−∞lim x 2 =∞, x →−∞lim x 3 =−∞.
Trong quá trình phân tích, một trong hai thừa số tiến ra vô cực (∞), trong khi thừa số còn lại tiến về 2, dẫn đến tích rõ ràng tiến ra vô cực Điều này có thể được minh họa chi tiết hơn qua các ví dụ như Ví dụ 1.1.34 Người ta thường tóm tắt lý luận này bằng cách viết giới hạn của hàm số khi x tiến về vô cực là \[ \lim_{x \to \infty} x^3 \], thể hiện rõ quan điểm về sự phát triển của hàm số theo chiều hướng vô cực.
2.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 43
2.1.1 Hãy giải thích mệnh đề sau có nghĩa là gì? xlim→ 2 x 2 −x−2 x 2 +x−6 = 3
5. Mệnh đề này là đúng hay sai, tại sao?
2.1.2 Tính các giới hạn sau:
2.1.3 Sử dụng định lý kẹp chỉ ra xlim→ 0x 2 cos 20πx= 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.4 Sử dụng định lý kẹp chỉ ra xlim→ 0 px 3 +x 2 sinπ x = 0.
Hãy vẽ đồ thị để minh họa kết quả trên.
2.1.8 Tìm giới hạn sau nếu tồn tại:
Tìm các giới hạn sau nếu tồn tại
2.1.10 Có sốanào sao cho xlim→ 2
2x 2 −2ax−a−1 x 3 −3x−2 tồn tại không? Tìm giới hạn đó.