Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải một số lớp phương trình vi - tích phân

Tác giả xin khẳng định kếtquả của đề tài “Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vàogiải một số lớp phương trình vi – tích phân” là kết quả của việcnghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - 2018

Lời cảm ơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, người

đã tận tâm hướng dẫn, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiệnluận văn này

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới phòng sau đại học, khoatoán, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích

- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám đốc Trung tâm GDTX Lập Thạch huyện Lập Thạch tỉnh Vĩnh Phúc đã giúp đỡ tác giả

GDNN-và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành khóa học này

Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình tácgiả, các đồng nghiệp của tác giả, các bạn học viên cao học Toán GiảiTích khóa 20 - Đợt 1 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện tốt chotác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Đỗ Thị Kim Anh

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sựhướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Trongkhi thực hiện đề tài nghiên cứu này tác giả đã tham khảo một số tài liệu

đã được ghi trong phần tài liệu tham khảo Tác giả xin khẳng định kếtquả của đề tài “Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vàogiải một số lớp phương trình vi – tích phân” là kết quả của việcnghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp vớikết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Đỗ Thị Kim Anh

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung chính 3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không gian hàm 4 1.1.1 Chuỗi hàm 4

1.1.2 Chuỗi lũy thừa 5

1.1.3 Chuỗi Taylor 5

1.1.4 Không gian Banach C[a,b] 6

1.1.5 Không gian định chuẩn C[a,b]m 6

1.2 Một số khái niệm về phương trình vi phân 7

1.2.1 Phương trình vi phân thường 7

1.2.2 Phương trình vi phân thường cấp n 7

1.2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n 8 1.2.4 Điều kiện Lipschitz 8

1.2.5 Định lý tồn tại nghiệm 8

1.2.6 Định lý duy nhất nghiệm 8

1.2.7 Định lý tồn tại nghiệm duy nhất 9

1.3 Một số kiến thức về phương trình tích phân 9

1.3.1 Phương trình tích phân tuyến tính loại hai 91.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến tính loại hai 91.4 Một số kiến thức về phương trình vi - tích phân 10

2.1 Một số kiến thức về phương pháp nhiễu đồng luân 112.1.1 Định nghĩa đồng luân 122.1.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình

toán tử 122.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân 132.3 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân 182.4 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích

phân tuyến tính 222.5 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi – tích

phân phi tuyến 28

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những phương pháp để giải xấp xỉ phương trình vi phân,phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân, phương trình đạohàm riêng, tuyến tính và phi tuyến là phương pháp nhiễu đồng luân(Homotopy Pertubation Method) viết tắt là HPM Phương pháp nàyđược phát triển trong những năm cuối thế kỉ 20 Đó là sự kết hợp củaphương pháp nhiễu truyền thống và kỹ thuật đồng luân trong tôpô Theophương pháp nhiễu đồng luân việc giải một phương trình phi tuyến banđầu được đưa về giải một dãy các phương trình tuyến tính

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Phương pháp nhiễu đồng luân

và các ứng dụng của phương pháp này, dưới sự hướng dẫn của PGS TSKhuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp nhiễu đồng luân

và ứng dụng vào giải một số lớp phương trình vi - tích phân”

để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vàogiải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân và phươngtrình vi - tích phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vàogiải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phươngtrình vi - tích phân tuyến tính và phi tuyến

4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu

Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải một số lớp phươngtrình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân

5 Phương pháp nghiên cứu

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số

- Thu thập các tài liệu liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân

- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phươngpháp nhiễu đồng luân và các ứng dụng của nó

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Hệ thống lại một số ứng dụng của Phương pháp nhiễu đồng luân vàogiải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân và phươngtrình vi - tích phân

Nội dung chính

Luận văn dự kiến gồm hai chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị1.1 Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không gian hàm1.2 Một số khái niệm về phương trình vi phân

1.3 Một số khái niệm về phương trình tích phân1.4 Một số khái niệm về phương trình vi - tích phân

• Chương 2: Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình

vi - tích phân2.1 Một số khái niệm về phương pháp nhiễu đồng luân2.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân2.3 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân2.4 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phântuyến tính

2.5 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phânphi tuyến

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kiến thức về các không gian hàm C[a,b],

C[a,b]m , phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1],[2], [3], [4], [5]

Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.1), khi đó với x ∈ A chuỗi

Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa có dạng (−R, R), trong đó R là bánkính hội tụ của chuỗi lũy thừa

n

=f (x0)+f

0

(x0)1! (x−x0)+ .+

f(n)(x0)n! (x − x0)

n

+

được gọi là chuỗi Taylor của hàm f

Nếu chuỗi Taylor của hàm f có tổng bằng f (x) trong khoảng hội tụ(−R, R) thì ta nói hàm f phân tích được thành chuỗi Taylor trên khoảng(−R, R) Khi đó ta có

f (x) = f (x0)+f

0

(x0)1! (x−x0)+ .+

f(n)(x0)n! (x − x0)

n+ , x ∈ (−R, R)Nếu x0 = 0 thì chuỗi

f (x) = f (0) + f

0

(0)1! x + +

f(n)(0)n! x

n

+

được gọi là chuỗi Mac – Laurin của hàm f (x).

Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản

1) ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! +

x44! + =

∞

X

n=0

xnn!;2) e−x = 1 − x + x

2

2! +

x44! + =

∞

X

n=0

(−1)n2n! x

2n;4) sin x =x − x

3

3! +

x55! + =

∞

X

n=0

(−1)n(2n + 1)!x

2n+1

1.1.4 Không gian Banach C[a,b]

Định nghĩa Không gian C[a,b] là tập tất cả các hàm số x(t) giá trịthực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞)

Chuẩn trong không gian C[a,b] được xác định bởi công thức

kxk = max |x(t)|

[a,b]

.Hơn nữa C[a,b] còn là một không gian Banach

1.1.5 Không gian định chuẩn C[a,b]m

Không gian C[a,b]m là tập tất cả các hàm số x(t) giá trị thực xác định,liên tục và có đạo hàm liên tục cấp m trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).Chuẩn trong không gian C[a,b]m được xác định bởi công thức

kxk = Xm

k=0max0≤t≤1

x(k)(t)

1.2 Một số khái niệm về phương trình vi phân

1.2.1 Phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình vi phân thường là phương trình códạng

F (x, y(x), y0(x), , y(n)(x)) = 0

Trong đó y(x) là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấpnào đó) của ẩn y Cấp cao nhất của đạo hàm gọi là cấp của phươngtrình

1.2.2 Phương trình vi phân thường cấp n

Định nghĩa 1.2.2 Phương trình vi phân thường cấp n có dạng

là các đạo hàm của ẩn y, f là hàm số trong miền G trong không gian

1.2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp nBài toán Cauchy đối với phương trình (1.4) là bài toán tìm nghiệmcủa phương trình đó thỏa mãn n điều kiện ban đầu:

(

y(n) = f (x, y, y0, , y(n−1))y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1) (1.5)trong đó x0, y0, y00, , y(n−1)0  là một điểm trong tùy ý cho trước thuộcG

1.2.4 Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, u1, , un) thỏa mãn điều kiệnLipchitz theo biến u1, , un nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với haiđiểm (x, u1, , un) ∈ G, (x, u1, , un) ∈ G bất kỳ ta có bất đẳng thức:

Xét bài toán (1.5) Nếu f (x, u1, u2, , un) là hàm liên tục trong miền

G ⊂ Rn+1 thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y (x, c1, c2, , cn) củaphương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện (1.5)

1.2.6 Định lý duy nhất nghiệm

Xét bài toán (1.5) Nếu f (x, u1, u2, , un) là hàm liên tục trong miền

G ⊂ Rn+1 và hàm f (x, u1, u2, , un) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo

u1, u2, , un, thì nghiệm của bài toán (1.5) xác định là duy nhất

1.2.7 Định lý tồn tại nghiệm duy nhất

Giả sử hàm f (x, u1, u2, , un) liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1, u2, , un Khi đó với điểm trong

x0, y0, y00, , y0(n−1)
∈ G bất kì tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) củaphương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1).Nghiệm đó xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0

1.3.1 Phương trình tích phân tuyến tính loại hai

Phương trình tích phân tuyến tính Fredhohm loại hai trong trườnghợp tổng quát là phương trình có dạng

u(x) = f (x) + λ

Z b a

k(x, t)u(t)dt, (1.6)

u = u(x) là hàm cần tìm, trong đó k(x, t) gọi là hạt nhân của phươngtrình tích phân, hàm f và hằng số λ cho trước Các hàm k(x, t), u(t)được giả thiết sao cho tích phân nói trên tồn tại

1.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến tính loại hai

Phương trình tích phân phi tuyến Fredhohm loại hai trong trườnghợp tổng quát là phương trình có dạng

u(x) = f (x) + λ

Z b a

k(x, t, u(t))dt, (1.7)

u = u(x) là hàm cần tìm, trong đó k(x, t, u) gọi là hạt nhân của phươngtrình tích phân, các hàm k(x, t, u), f và hằng số λ cho trước Các hàmk(x, t), u(t) được giả thiết sao cho tích phân nói trên tồn tại

1.4 Một số kiến thức về phương trình vi - tích phân

Trong luận văn nghiên cứu ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luângiải phương trình vi – tích phân Volterra bậc n có dạng sau

u(n)(x) = g(x) +

Z x 0

K[x, t, u(t), u0(t), , u(n)(t)]dtu(0) = u0, u0(0) = u1, , u(n−1)(0) = un−1

và phương trình vi – tích phân Fredholm bậc n như sau

u(n)(x) = g(x) +

Z 1 0

K[x, t, u(t), u0(t), , u(n)(t)]dt, ∀x ∈ [0, 1],u(0) = u0, u0(0) = u1, , u(n−1)(0) = un−1

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN

Chương này trình bày về phương pháp nhiễu đồng luân giải phươngtrình tích phân, phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra, phươngtrình vi - tích phân phi tuyến và một số ví dụ áp dụng Nội dung củachương này được tham khảo trong các tài liệu [6], [7], [8], [9], [10], [11],[12]

luân

Phương pháp nhiễu đồng luân là một trong những phương pháp quantrọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán phi tuyến của phương trình viphân, phương trình tích phân và phương trình vi – tích phân

2.1.1 Định nghĩa đồng luân

Giả sử X và Y là hai không gian tôpô, f và g là hai ánh xạ từ X vào

Y Một ánh xạ liên tục

H (x, p) : X × [0, 1] → Yđược gọi là phép đồng luân của f và g nếu

trong đó y là phần tử cho trước thuộc Y , u là phần tử cần tìm, L là toán

tử tuyến tính khả nghịch cho trước Để giải phương trình (2.1) người taxây dựng một phép đồng luân lồi có dạng

Ký hiệu nghiệm chính xác của phương trình (2.1) là u = u(x) Giả sửphương trình đồng luân có nghiệm ϕ = ϕ(x, p) giải tích theo biến p

L(y) = y0, N (y) = −2xy

Từ điều kiện ban đầu ta chọn y0 = 1

Xây dựng phương trình đồng luân sau

H(y, p) = (1 − p)(y0− 0) + p(y0 − 2xy) = 0 (2.7)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.

Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng

y(x, p) = y0 + y1p + y2p2 + (2.8)Thay (2.7) vào (2.8) ta được

(1 − p)(y00 + y01p + y02p2 + ) + py00 + y01p + y02p2 +

−2x y0 + y1p + y2p2 +
 = 0

⇔ y00 + y10p + y20p2 + − 2xpy0 − 2xp2y1 − 2xp3y2 − = 0Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu

Vậy nghiệm chính xác của phương trình là

y(x) = ex2

Ví dụ 2.2.2 Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toánCauchy sau

Xây dựng phương trình đồng luân sau

H(y, p) = (1 − p)(y0 − 0) + p(y0 − y2 − 1) = 0 (2.13)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng

Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng

y(x, p) = y0 + y1p + y2p2 + (2.14)Thay (2.14) vào (2.13) ta được

(1 − p)(y00 + y01p + y02p2 + ) + py00 + y01p + y02p2 +

− (y0 + y1p + y2p2 + )2 − 1] = 0

⇔ y00 + y10p + y20p2 + y03p3 + − p − py20 − 2p2y0y1 − p3y21

− 2p3y0y2 − = 0Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu

Xây dựng phương trình đồng luân sau

(1 − p) (L(u) − L(u0)) + p (L(u) + N (u) − g(x)) = 0

u(x, p) = u0 + u1p + u2p2 + (2.17)

Thay (2.17) vào (2.16) ta được

u000 + u001p + u002p2 + u003p3 + + 2

x(u

0

0 + u01p + u02p2 + u03p + )+ p(u0 + u1p + u2p2 + u3p3 + ) − (x5 + 30x3)p = 0

Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu

u(x) = x5

2.3 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình

tích phân

Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra

u(x) = x + λ

Z x 0

(x − t)u(t)dt, (2.18)Giải

Xét phương trình đồng luân

u(x) = x + pλ

Z x 0

p0 : u0(x) = x,

p1 : u1(x) = λ

Z x 0

(x − t)t

3

3!λdt =

x55!λ

2,

p3 : u3(x) = λ

Z x 0

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ với mọi λ

Nghiệm xấp xỉ của phương trình là vn(x) =

Ví dụ 2.3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm

u(x) =√

x + λ

Z 1 0

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng

Với p = 0 ta có nghiệm u0(x) = √

x,Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng

u(x, p) = u0 + u1p + u2p2 + (2.23)Thay nghiệm đó vào phương trình (2.22) rồi cân bằng các hệ số của cáclũy thừa cùng bậc ta có kết quả

p0 : u0(x) = √

x,

p1 : u1(x) = λ

Z 1 0

xt√tdt = 2λx

5 ,

p2 : u2(x) = λ

Z 1 0

Tiếp tục, ta có

sn(x) = √

x +

25.30λ +

25.31λ

2 + 25.32λ

n

X

i=1

λ3

i

x

#

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ với mọi |λ| < 3

Nghiệm xấp xỉ của phương trình là u (x) ≈ sn(x) = √

x + 65

n

P

i=1

λ3

i

x

Ví dụ 2.3.3 Giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm

u(x) = x + λ

Z 1 0

p0 : u0(x) = x,

p1 : u1(x) = λ

Z 1 0

(1 − 3xt)tdt = λ

2 − λx,

p2 : u2(x) = λ

Z 1 0

Tiếp tục làm như vậy, ta có nghiệm xấp xỉ của phương trình là u (x) ≈

i

λ

1

2 − x

+



λ24

i#+ (1 + (−1)n)λ

2n+2

22n+3x

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ nếu

... data-page="17">

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN

Chương trình bày phương pháp nhiễu đồng ln giải phươngtrình tích phân, phương. ..

luân< /h3>

Phương pháp nhiễu đồng luân phương pháp quantrọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn phi tuyến phương trình viphân, phương trình tích phân phương trình vi – tích phân

1.4 Một số kiến thức phương trình vi - tích phân< /h3>

Trong luận văn nghiên cứu ứng dụng phương pháp nhiễu đồng lngiải phương trình vi – tích phân Volterra bậc n có dạng sau