Luận văn sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân cấp 2 với điều kiện đầu không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LẦU VĂN HIẾU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN CẤP 2 VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LẦU VĂN HIẾU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN CẤP 2 VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LẦU VĂN HIẾU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN CẤP 2 VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Văn Lợi

Hà Nội, 2018

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Nguyễn Văn Lợi - Đại học FPT đãtận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củaTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại Trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

Lầu Văn Hiếu

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tíchvới đề tài "Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân cấp

2 với điều kiện đầu không địa phương" được hoàn thành dưới sựhướng dẫn của PGS.TSKH Nguyễn Văn Lợi và nhận thức của bảnthân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

Lầu Văn Hiếu

Mục lục

Phần mở đầu 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian Hilbert 4

1.2 Không gian Sobolev 6

1.2.1 Không gian Ck(Ω) 6

1.2.2 Không gian Lp(Ω) 7

1.2.3 Đạo hàm yếu 7

1.2.4 Không gian Sobolev Ws,p(Ω) 8

1.3 Một số kết quả bổ trợ khác 8

Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM 12 2.1 Đặt bài toán 12

2.2 Bài toán tổng quát 14

2.3 Kết quả tổng quát 16

2.3.1 Điều kiện tuần hoàn 16

2.3.2 Điều kiện biên không địa phương 27

2.4 Chứng minh Định lý 2.1.1, 2.1.2 và 2.1.3 33

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Các kí hiệu

d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

{xn}∞n=1 Dãy số xn

C1 Tập tất cả các hàm khả vi liên tục

B (a, r) hoặc Br(a) Hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, r) hoặc Br(a) Hình cầu đóng tâm a bán kính r

supp(φ) Giá của hàm φ, tức là tập {x ∈ X : φ(x) 6= 0}

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đề tài đặt mục tiêu nghiên cứu “Sự tồn tại nghiệm của phương trình

vi tích phân bậc 2 với điều kiện đầu không địa phương” dạng:

Các nghiên cứu trước đây thường nghiên cứu các quá trình khuếchtán với điều kiện ban đầu hoặc điều kiện tuần hoàn Trong luận vănnày, chúng ta đặt mục tiêu nghiên cứu tính giải được của phương trình

ở trên với điều kiện không địa phương Điều kiện này mở rộng và tổngquát hơn so với các điều kiện đã được nghiên cứu trước đó

Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: trình bày một số khái niệm và kếtquả liên quan tới không gian Hilbert và không gian Sobolev Bên cạnh

đó, một số kết quả về hội tụ yếu cũng được nhắc lại trong chương này.Chương 2 Một số định lý tồn tại nghiệm: trình bày các kết quả chínhcủa luận văn, đó là các định nghĩa tồn tại nghiệm cho phương trình (*)với điều kiện ban đầu không địa phương.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tíchphân bậc 2 với điều kiện đầu không địa phương trong giải tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân bậc 2với điều kiện đầu không địa phương của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán tuần hoàn, bài toán cô-si và bàitoán giá trị trung bình có ít nhất một nghiệm

• Phạm vi nghiên cứu: Các điều kiện để có sự tồn tại nghiệm củaphương trình vi tích phân bậc 2 với điều kiện đầu không địa phương

5 Phương pháp nghiên cứu

• Vận dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm

• Phân tích, tổng hợp và trình bày lại các kiến thức liên quan đến sự

tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân bậc 2 với điều kiệnđầu không địa phương.

6 Đóng góp của luận văn

Dựa trên tài liệu tham khảo chính là bài báo [3], luận văn đã làm rõhơn các định lý tồn tại nghiệm cho phương trình vi tích phân cấp 2 dạng(*) với điều kiện đầu không địa phương có nghiệm

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tácgiả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy

cô và bạn đọc

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta trình bày các kiến thức chuẩn bị cần chochương 2 như: không gian Hilbert và không gian Sobolev Các kiến thứctrình bày trong mục 1.1 và 1.2 của chương này được biên soạn dựa trêncác tài liệu [2, 8]

1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian vec tơ E trên trường K ( K = Rhoặc K = C) Một ánh xạ từ E × E vào K, (x, y) 7→ hx, yi, được gọi làmột tích vô hướng trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

hx, αyi = α hx, yiNếu h., i là một tích vô hướng trên E thì ánh xạ x 7→ phx, xi là mộtchuẩn trên E và gọi là một chuẩn sinh bởi tích vô hướng.

Nếu h., i là một tích vô hướng trên E thì cặp (E, h., i) gọi là khônggian tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vô hướng).Định nghĩa 1.1.2 Nếu không gian tiền Hilbert E đầy đủ với metricsinh bởi tích vô hướng trên E được gọi là không gian Hilbert

Ví dụ 1.1.1 Trong không gian C [a, b] các hàm liên tục trên [a, b] thìánh xạ

là một tích vô hướng Tuy nhiên, không gian C[a, b];

là không gian Hilbert

Ví dụ 1.1.2 Trong l2 , với x = {λn} , y = {αn} ta định nghĩa

(i) f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ E;

(ii) f (αx) = αf (x) , ∀x ∈ E, ∀α ∈ R(C)

Và f được gọi là bị chặn nếu có một hằng số C > 0 sao cho

kukk hơn nữa vế phải của đẳng thức là hữu hạn

Bổ đề 1.1.2 Giả sử H là không gian Hilbert khả ly Khi đó, từ một dãycon bị chặn trong H có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu trong H

1.2 Không gian Sobolev

1.2.1 Không gian Ck(Ω)

Cho Ω ⊂ Rn là tập con mở, bị chặn Kí hiệu:

- C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục được xác định trên Ω

- Ck(Ω) là tập hợp các hàm trên Ω sao cho đạo hàm cấp k tồn tại vàliên tục

- C∞(Ω) là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên Ω

- Cc(Ω) là tập hợp các hàm liên tục và có giá compact trong Ω, trong

đó {x ∈ Ω|u (x) 6= 0} là giá của hàm u và kí hiệu là supp u

1.2.2 Không gian Lp(Ω)

Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω là một tập đo được Lebesgue trong Rn và µ

là độ đo Lebesgue trên σ- đại số F các tập đo được Lebesgue trên Rn Vớimỗi p ≥ 1 , kí hiệu Lp(Ω) là tập tất cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc

Không gian Lp(Ω) với 1 ≤ p < +∞ là một không gian tuyến tínhđịnh chuẩn đủ (không gian Banach) với chuẩn xác định bởi

kf kp =



Z

Ngoài ra, tập Cc(Ω) trù mật trong không gian LP (Ω) , p > 1

Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Holder) Giả sử p, q > 1 sao cho 1p+1q = 1.Khi đó với mọi f ∈ Lp(Ω) , g ∈ Lq(Ω) ta có



Z

hay ta còn viết

kf.gk1 ≤ kf kpkgkq1.2.3 Đạo hàm yếu

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử u, v ∈ L1loc(Ω) (u, v là các hàm khả tích trênmọi tập con compact của Ω) Ta nói rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u

1.2.4 Không gian Sobolev Ws,p(Ω)

Định nghĩa 1.2.3 Không gian Ws,p(Ω) là không gian bao gồm tất cảcác hàm u (x) ∈ Lp(Ω) sao cho tồn tại các đạo hàm yếu mọi cấp α,

|α| ≤ s, thuộc Lp(Ω) và đươc trang bị bởi chuẩn sau:

kukWs,p (Ω) =



X

Ta thấy không gian Ws,p(Ω) là không gian Banach với 1 ≤ p < ∞ và

là không gian Hilbert với p = 2 Không gian với chuẩn (1.1) được gọi làkhông gian Sobolev

1.3 Một số kết quả bổ trợ khác

Cho H là không gian Hilbert khả li, nhúng compact trong không gianBanach E và

kwkE ≤ qkwk với mọi w ∈ H, (1.2)

kxkC1 = max{kxk0, kx0k0}

và không gian Banach của các hàm khả tích với chuẩn

kxk1 =

Z T 0

kx(t)k dt

Dễ dàng thấy rằng từ {xj} → x0 trong C1(I, H) khi j → ∞ suy rarằng {xj(t)} hội tụ tới x0(t) và {x0j(t)} hội tụ đến x00(t) với mọi t ∈ I.Định lý 1.3.1 (xem [8]) Dãy các hàm liên tục {xn} * x ∈ C(I; H)(hội tụ yếu tới hàm x) nếu và chỉ nếu:

(i) Tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ∈ N và t ∈ I, kxn(t)k ≤ N ;

(ii) Với mỗi t ∈ I, xn(t) * x(t)

Từ đó suy rằng, nếu {xn} * x ∈ C(I, H) thì {xn} * x ∈ L1(I, H).Cho S ⊆ R là một tập hợp con đo được Một tập con A ⊂ L1(S, H) đượcgọi là khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho từ Ω ⊂ S và

µ(Ω) < δ ta có

Z

Ω

f dµ < ε với mọi f ∈ A,trong đó µ là độ đo Lebesgue trên R

Xét không gian tất cả các hàm x : I → H khả vi với đạo hàmbâc nhất x0 liên tục tuyệt đối và đạo hàm bậc hai x00 thuộc không gian

L1(I, H) Chúng ta biết rằng (xem [2]) không gian này có thể được đồngnhất với không gian Sobolev W2,1(I, H) và phép nhúng W2,1(I, H) ,→

Định lý 1.3.3 (xem [1]) Cho Q là một tập hợp đóng, lồi của khônggian Banach F với phần trong intQ 6= ∅ và T : Q × [0, 1] → F là ánh

xạ compact với đồ thị đóng sao cho T (Q, 0) ⊂ int Q và T (·, λ) không cóđiểm cố định trên biên của Q với mọi λ ∈ [0, 1) Khi đó tồn tại y ∈ Fsao cho y = T (y, 1)

Định lý 1.3.4 (xem [9]) Cho ψ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm liêntục và không giảm, với

và ||x(t)|| ≤ R với mọi t ∈ I, thì ||x0(t)|| ≤ B với mọi t ∈ I

Định lý 1.3.5 (xem [5]) Cho g : I × Rp → Rn thỏa mãn:

(i) g(·, w) là đo được với mọi w ∈ Rp;

(ii) g(t, ·) là liên tục với hầu khắp t ∈ I

Khi đó, tồn tại một chuỗi giảm các tập con mở {θm} của I sao chovới mỗi m ∈ N, µ(θm) < m1 và g liên tục trên (I\θm) × Rp

Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ TỒN TẠI

b và c là hằng số, h : [0, T ]×R → R là hàm liên tục và k ∈ W2,1(Ω×Ω; R).Nếu thành phần chứa tích phân được thay thế bởi toán tử Laplacethông thường ∆u, thì khi đó tùy theo các giá trị của c và b, (2.1) trởthành phương trình sóng dao động tắt dần hoặc phương trình điện báo(telegraph equation) hoặc phương trình Klein-Gordon thương gặp trongnhiều hiện tượng thực tế Ví dụ: quá trình truyền sóng điện từ trong môitrường dẫn điện, sự tiến triển của chất lỏng nhớt đàn hồi theo lý thuyếtMaxwell và truyền nhiệt trong môi trường dẫn nhiệt (xem [6, 7] và cáctài liệu tham khảo trong đó)

Khác với các quá trình khuếch tán cổ điển, toán tử khuếch tán vớithành phần tích phân chứa trong (2.1) mang đến một hiệu ứng có nhớtrong phương trình Sự hiện diện của u như một hệ số khuếch tán biến

thiên theo thời gian và vị trí.

Chúng ta giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

(1) Đạo hàm riêng ∂h∂z: [0, T ] × R → R là liên tục và tồn tại hằng sốdương N sao cho

∂h(t, z)

∂z

≤ N với mọi (t, z) ∈ [0, T ] × R

(2) max{sup(ξ,η)∈Ω×Ω|k(ξ, η)|, sup(ξ,η)∈Ω×ΩkDk(ξ, η)kRn} = K < ∞,trong đó D kí hiệu đạo hàm (hay gradient) theo với vector ξ ∈ Ω.(3) b ≥ N +p6δK|Ω|, trong đó |Ω| là độ đo Lebesgue của tập Ω và

k

X

i=1

αiu(ti, ξ)u(T, ξ) =

Cuối cùng là bài toán giá trị trung bình

p1(t)u(t, ξ) dt

u(T, ξ) = 1

T

Z T 0

Lưu ý rằng trong tất cả các bài toán (2.2), (2.3) và (2.4), chúng ta

có thể giả định rằng u đáp ứng điều kiện Dirichlet theo biến x, tức làu/∂Ω = 0

Dưới đây là các kết quả chính của luận văn:

Định lý 2.1.1 Với các giả thiết (1) - (3) bài toán (2.2) có ít nhất mộtnghiệm

Định lý 2.1.2 Với các giả thiết (1) - (4) bài toán (2.3) có ít nhất mộtnghiệm

Định lý 2.1.3 Với các giả thiết (1) - (3) và (5) bài toán (2.4) có ítnhất một nghiệm

2.2 Bài toán tổng quát

Đặt H = W1,2(Ω, R) và E = L2(Ω, R) Ta biết rằng H là một khônggian Hilbert khả li và nhúng compact vào không gian E Kí hiệu k · k2

là chuẩn trong E, với mọi w ∈ H chúng ta đặt

kwkH =

sZ

x00(t) = F (t, x(t), x0(t)), với hầu khắp t ∈ [0, T ], (2.5)trong đó F : [0, T ] × H × H → H, F (t, w, v) = cv + bw + g(w) + h(t, w)với

kg(w)k22 =

Z

Ω

... toán (2. 2), (2. 3) (2. 4),

có thể giả định u đáp ứng điều kiện Dirichlet theo biến x, tức làu/∂Ω =

Dưới kết luận văn:

Định lý 2. 1.1 Với giả thiết (1) - (3) tốn (2. 2) có mộtnghiệm... mộtnghiệm

Định lý 2. 1 .2 Với giả thiết (1) - (4) tốn (2. 3) có mộtnghiệm

Định lý 2. 1.3 Với giả thiết (1) - (3) (5) tốn (2. 4) có ítnhất nghiệm

2. 2 Bài toán tổng quát... với điều kiện (1) ta thu h(t, w) ∈ H với t ∈ [0, T ]

w ∈ H

2. 3 Kết tổng quát

Trước hết xét toán tổng quát với điều kiện tuần hồn

và điều kiện biên khơng địa