Giải Tích Toán Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https //danghuuchung com Email chung danghuu@gmail com February 2022 Mục lục 3 Tích phân đường và tích phân mặt 2 3 1 Trườ[.]
Trang 1Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam
https://danghuuchung.com
Email: chung.danghuu@gmail.com
February 2022
Trang 2Mục lục
3.1 Trường vector 2
3.1.1 Định nghĩa trường vector 2
3.1.2 Các toán tử trên trường vector 4
3.2 Tích phân đường loại 1 5
3.2.1 Các định nghĩa 5
3.2.2 Cách tính tích phân 8
3.2.3 Ý nghĩa của tích phân đường loại 1 11
3.3 Tích phân đường loại 2 13
3.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 13
3.3.2 Cách tính tích phân 15
3.3.3 Ý nghĩa vật lý 17
3.3.4 Công thức Green 17
3.3.5 Các định lý cơ bản của tích phân đường trong R2 21
3.3.6 Định lý cơ bản của tích phân đường trong R3 24
3.4 Tích phân mặt loại 1 26
3.4.1 Định nghĩa 26
3.4.2 Cách tính và điều kiện khả tích 27
3.4.3 Ý nghĩa vật lý 29
3.5 Tích phân mặt loại 2 30
3.5.1 Định nghĩa 30
3.5.2 Cách tính và điều kiện khả tích 32
3.5.3 Ý nghĩa vật lý 36
3.6 Các định lý liên hệ các loại tích phân 37
3.6.1 Định lý Stokes 37
3.6.2 Định lý phân kỳ 40
Trang 3Tích phân đường và tích phân mặt
3.1 Trường vector
3.1.1 Định nghĩa trường vector
Trong khí tượng học, trường vận tốc gió là một trường vector, trong đó tại mỗi điểm(x, y, z) một vector vận tốc chuyển động của không khí với 3 thành phần (u, v, w) đượcxác định Thông thường trường vector vận tốc gió được xác lập ở một độ cao nhất định,chẳng hạn cách bề mặt của khu vực khoảng 10 mét và lúc này trường vận tốc tốc gió làvector với hai thành phần (u, v) Bản đồ trường gió trên Hình 3.1 thể hiện hướng gió vàcường độ của tốc độ gió bởi các dải màu khác nhau
Hình 3.1: Trường gió bề mặt Biển Đông tại một thời điểm
Trong Cơ học chất lỏng, trường vận tốc dòng chảy là một ví dụ về trường vector Tạimỗi điểm trong miền dòng chảy tại mỗi thời điểm nhất định xác định một vector vận tốc
v = (u, v) đối vơi miền hai chiều và v = (u, v, w) đối với không gian ba chiều
Trang 4Ví dụ trường vận tốc dòng chảy thủy triều vùng cửa sông Severn (Anh) từ kết quả môhình toán học trên Hình3.2 [8]:
Hình 3.2: Trường vận tốc dòng chảy vùng cửa sông Severn lúc triều lên
Hình 3.3 biểu diễn trường vận tốc dòng thủy triều của bãi triều Sylt-Romo (Đức) cũng từ
mô hình toán học [9]:
Hình 3.3: Trường vận tốc dòng chảy bãi triều Sylt-RomoMột loại trường vectơ khác được quan tâm trong Cơ học hay Vật lý, đó là trường lực Tạimỗi điểm không gian thuộc miền đang xét một vectơ lực được xác định, chẳng hạn trườnglực hấp dẫn là một ví dụ
Định nghĩa 3.1.1 Cho tập E ⊂ Rn Trường vectơ trên E là một hàm vector F : E → Rn:
(x1, x2, , xn) ∈ E 7−→ (fF 1, f2, , fn) ∈ Rn (3.1)
• Khi n = 2: F(x, y) = P (x, y)e1+ Q(x, y)e2
• Khi n = 3: F(x, y, z) = P (x, y, z)e1+ Q(x, y, z)e2+ R(x, y, z)e3
Trang 53.1.2 Các toán tử trên trường vector
Rot và Div là hai toán tử được thực hiện đối với trường vector Các toán tử này đóng vaitrò cơ bản trong phép tính vector được áp dụng trong cơ học chất lỏng, điện tử và từ học.3.1.2.1 Toán tử Rot
Cho F = P e1+ Qe2+ Re3 là trường vector trong R3 và giả sử rằng các đạo hàm riêng của
P, Q, R tồn tại, thế thì Rot của trường vector F được định nghĩa bởi:
e1 e2 e3
∂x ∂y ∂z
Trong một số tài liệu người ta sử dụng ký hiệu curlF thay cho Rot
Nếu hàm f (x, y, z) có đạo hàm cấp hai liên tục ta có định lý sau:
Trang 63.1.2.2 Toán tử Div
Cho F = P e1+ Qe2+ Re3 là trường vector trong R3 và giả sử rằng các đạo hàm riêng của
P, Q, R tồn tại, thế thì div (divergence) của trường vector F được định nghĩa bởi:
Đường cong trơn
Xét đường cong AB được xác định bởi hàm vector:
r : t ∈ [a, b] 7→ r(t) ∈ Rm (3.12)Đường cong AB được gọi là trơn nếu hàm r là có đạo hàm liên tục trên (a, b) (Hình 3.4.a),nghĩa là đường cong có tiếp tuyến biến thiên liên tục
Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu khoảng [a, b] có thể phân thành một số hữuhạn các khoảng con mà trên đó mỗi phần đường cong là trơn (Hình 3.4.b)
Trang 7Hình 3.4: (a): Đường cong trơn AB (b): Đường cong trơn từng khúc
Tổng tích phân
Xét đường cong AB trong R2 được xác định bởi hàm vector r(t):
r(t) = x(t)e1+ y(t)e2, t ∈ [a, b] (3.13)Lúc này phương trình tham số của đường cong AB chính là:
x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] (3.14)
Và giả sử rằng AB là đường cong trơn
Hình 3.5: Chia điểm trên AB và trên [a, b]
Ta tiến hành chia [a, b] trên trục t thành n đoạn bằng nhau:
a = t0 < t1 < · · · < ti−1< ti < · · · < tn= b (3.15)Các thành phần tọa độ tương ứng với t = ti là xi = x(ti), yi = y(ti) Lúc này đường cong
AB cũng được chia thành n đoạn tương ứng với các điểm Pi(xi, yi), (i = 0, n) với chiều dàicung Pi−1Pi = ∆si Chọn điểm t∗i ∈ [ti−1, ti] tùy ý, tương ứng với nó là điểm Pi∗ ∈ Pi−1Pi.Gọi f (x, y) là hàm vô hướng (trường vô hướng) có miền xác định bao gồm đường cong
AB Tương tự như tích phân xác định, lập tổng:
n
X
i=1
f (x∗i, yi∗)∆si (3.16)
Trang 8Tổng này được xem như tổng tích phân Riemann Ta đi đến định nghĩa tích phân đườngloại 1 như sau:
Định nghĩa 3.2.1.1 Nếu hàm f (x, y) xác định trên đường cong AB được cho bởi phươngtrình (3.14) thế thì tích phân đường của f (x, y) dọc theo đường cong AB là:
Tuy nhiên cần chú ý lấy tích phân theo chiều tăng của biến t (a ≤ t ≤ b)
2) Dễ dàng mở rộng định nghĩa tích phân đường đối với đường cong trong không gian
Trang 9f (x, y(x))p1 + (y′
• Nếu đường cong AB có dạng tọa độ cực r = r(θ), α ≤ θ ≤ β:
Biểu diễn x = r cos θ = r(θ) cos θ, y = r sin θ = r(θ) sin θ và xem θ là tham số, do đó:
ds =pdx2+ dy2 =p[r(θ)]2+ [r′(θ)]2dθ (3.25)Z
AB
f (x, y)ds =
Z β α
f (x(θ), y(θ))p[r(θ)]2+ [r′(θ)]2dθ (3.26)
• Tổng quát, đường cong AB cho dưới dạng hàm vector n chiều, tích phân được tính:
ds =∥ dr(t) ∥=∥ r′(t) ∥ dt (3.27)Z
AB
f (r)ds =
Z b a
f (r(t)) ∥ r′(t) ∥ dt (3.28)
Tích phân đường loại 1 chính là tích phân đường đối với trường vô hướng
Như vậy việc tính tích phân loại 1 được chuyển về tính tích phân xác định trong [a, b]
Ví dụ 3.2.2.1 Tính
Z
C
(2 + x3y)ds với C là nửa trên của vòng tròn đơn vị
Phương trình tham số của C:
a) Nếu đặt x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, π] thì đường cong lấy tích phân di chuyển theo hướngmũi tên ở Hình 3.7.a và
ds =psin2t + cos2tdt = dtZ
C
(2 + x3y)ds =
Z π 0
(2 + cos3t sin t)dt =
2t − cos
4t4
π 0
= 2π
Trang 10Hình 3.7: Hai trường hợp của t
b) Nếu đặt x = − cos t, y = sin t, t ∈ [0, π] thì đường cong lấy tích phân di chuyển theohướng mũi tên ở Hình 3.7.b và
Z
C
(2 + x3y)ds =
Z π 0
(2 − cos3t sin t)dt =
2t + cos
4t4
π 0
dx =p1 + (2x)2dx (Hình 3.8.b)Z
C 1
2xds =
Z 1 0
Z
C 2
2xds =
Z 2 1
2.1dy = 2y
2 1
= 4 − 2 = 2
Trang 112xdx = x2