Giải Tích Toán Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https //danghuuchung com Email chung danghuu@gmail com January 2022 Mục lục 2 Tích phân bội 2 2 1 Tích phân hai lớp 2 2 1[.]
Tích phân hai lớp
Định nghĩa và tính chất
Giả sử một mặt cong được biểu diễn dưới dạng hàm hiểnz =f(x, y)≥0, xác định và liên tục trong miền đóng và bị chặn (biên hữu hạn) D Vấn đề đặt ra là cần tính thể tích V của hình trụ giới hạn bởi mặt Oxy, mặt f(x, y) và mặt trụ tạo bởi những đường sinh L song song với trục Oz tựa trên D.
Hình 2.1: Hình trụ và phần tử diện tích ∆A i
Tương tự như lập tổng tích phân Riemann đối với tích phân xác định, ta chia miền D thành n miền con có diện tích ∆A i , i = 1, n Tương ứng với mỗi phần tử diện tích ∆A i ta xây dựng được một hình trụ và thể tích của nó xấp xỉ bằng ∆V = f(x ∗ i , y ∗ i )∆A i với
(x ∗ i , y i ∗ ) điểm tùy ý chứa trong ∆A i gọi là điểm mẫu (sample point).
Lúc này thể tíchV được tính xấp xỉ bởi
Gọidlà khoảng cách lớn nhất của những điểmP, Q∈∆A i , nghĩa làd= max
P,Q∈∆A i ∥P−Q∥. Như thế, khi n càng lớn tương ứng với d càng bé thì công thức trên càng tính xấp xỉ tốt hơn thể tích của hình trụ.
2.1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền đóng và bị chặn D Chia miền D một cách tùy ý thành n phần tử diện tích ∆A i , i= 1, n và lấy điểm bất kỳ (x ∗ i , y i ∗ ) trong∆A i Lập tổng:
Tổng này cũng được gọi là tổng tích phân Riemann Khin → ∞sao chod→0, nếulim d→0Sn tồn tại không phụ thuộc vào cách phân chia các phần tử ∆A i và không phụ thuộc điểm mẫu (x ∗ i , y i ∗ ) thì được gọi đó là tích phân hai lớp của hàm f(x, y) trong miền D:
Lúc này D là miền lấy tích phân,f(x, y) là hàm dưới dấu tích phân và dA là yếu tố diện tích và hàm f(x, y) được gọi là khả tích trong D.
Vì tích phân tồn tại không phụ thuộc vào các phân chia phần tử diện tích bé ∆A i , do đó trong hệ tọa độ Cartesian vuông góc ta lấy dA=dxdy cho nên tích phân được viết:
Ví dụ 2.1.1.1 Tính gần đúng tích phân
∆x = ∆y = 0.5 và chọn điểm mẫu lần lượt là điểm trên phải và điểm giữa So sánh kết quả với trường hợp ∆x= ∆y = 0.1 Giá trị chính xác của tích phân là 68
Hình 2.2: Lưới miền tích phân ∆x= ∆y= 0.5
Số đoạn con trên các trục x, y là:n = 4, m= 4 Áp dụng tổng Riemann:
Số đoạn con trên các trục x, y là:n = 20, m= 20.
2.1.1.3 Ý nghĩa của tích phân hai lớp
Thể tích vật rắn V f hàm liên tục và f(x, y)≥0,∀(x, y)∈D ⇒
Khối lượng tấm phẳng m f là mật độ khối lượng của tấm phẳng ⇒
2.1.1.4 Tính chất của tích phân hai lớp
Giả sử f(x, y) và g(x, y)khả tích trong D, lúc đó các tính chất sau được thỏa mãn: 1)
6) Nếu hàm f(x, y)liên tục trong miền đóng và bị chặn D thì tồn tại (¯x,y)¯ sao cho: f(¯x,y) =¯ 1
D f(x, y)dA (2.13) f(¯x,y)¯ được gọi là giá trị trung bình của tích phân.
2.1.1.5 Điều kiện khả tích Điều kiện khả tích (Darboux) của tích phân bội nó cũng được phát biểu tương tự như đối với tích phân xác định Gọi σ là một cách phân chia miềnD thành các phần tử∆Ai, tổng tích phân Darboux dưới và trên được xác định bởi: s(σ) n
I∗ = sups(σ), I ∗ = infS(σ) ⇒s ≤I∗ ≤S n ≤I ∗ ≤S (2.16) Định lý 2.1.1.1 Điều kiện cần và đủ để hàm f(x, y) khả tích rênD là d→0lim(S−s) = 0 (2.17) Định lý 2.1.1.2 Nếu hàmf(x, y)liên tục trong miền đóng và bị chặn Dthì hàmf(x, y) khả tích trong D.
Việc chứng minh hai định lý này hoàn toàn tương tự như chứng minh điều kiện khả tích đối với tích phân xác định ở Chương 4 của Giải tích 1.
Phương pháp tính tích phân hai lớp
Sau đây sẽ nêu ra phương pháp tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Cartesian Còn đối với hệ tọa độ cực thì sẽ được trình bày trong phần đổi biến Ta lần lượt xét các trường hợp sau:
2.1.2.1 Miền lấy tích phân là hình chữ nhật Định lý 2.1.2.1 (Định lý Fubini) Nếuf(x, y)là hàm khả tích trên D= [a, b]×[c, d] thì có thể chuyển tích phân hai lớp về tích phân lặp:
Chia [a, b] thành n đoạn và [c, d] thành m đoạn: a=x 0 < x 1 < x 2