Giải Tích Toán Học II Đặng Hữu Chung Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm KH&CN Việt Nam https //danghuuchung com Email chung danghuu@gmail com January 2022 Mục lục 1 Hàm nhiều biến 2 1 1 Các khái niệm cơ bản 2[.]
Các khái niệm cơ bản
Không gian R n
Xét V là tập hợp khác rỗng và trường K (K = C hay K =R), ở đây xét trường số thực
K = R là tập V, được gọi là không gian vector hoặc không gian tuyến tính trên trường Rⁿ, nếu thỏa mãn 10 tiên đề (axioms) liên quan đến hai phép toán cộng và nhân Không gian vector đảm bảo tính chất đóng, vô hướng, phân phối, và có phần tử không, góp phần xây dựng mô hình toán học chính xác và linh hoạt Viện dẫn các axioms này giúp hiểu rõ các đặc điểm của không gian vector trong các lĩnh vực như đại số tuyến tính, toán học và kỹ thuật.
Cơ sở của không gian vector n chiều
Trong không gian vector n chiều, tối đa có n vector độc lập tuyến tính Một tập hợp gồm n vector độc lập tuyến tính tạo thành một cơ sở của không gian vector V, giúp xác định cấu trúc và tính chất của không gian đó một cách rõ ràng.
Vector v∈V biểu diễn qua cơ sở S ={v 1 ,v 2 , ,v n } như sau: v=c 1 v 1 +c 2 v 2 +ã ã ã+c n v n (1.1) Trong đó (c 1 , c 2 , , c n ) được gọi là tọa độ của vectorv đối với cơ sởS.
Không gian vector V trong đó có định nghĩa một phép tích vô hướng < x,y > của hai vector x,y∈V được gọi là không gian Euclide.
Trường hợpV =R n được gọi làkhông gian EuclideR n và cũng chính là không gian Euclide được sử dụng trong phạm vi của chương trình Giải tích này.
Trong hình học Euclide, R² là mặt phẳng hai chiều và R³ là không gian ba chiều, trong khi đó không gian n chiều là trường hợp tổng quát Thuật ngữ "Euclide" nhằm phân biệt các không gian này với các loại không gian khác trong hình học hiện đại Nhà toán học Hy Lạp Euclide, khoảng 300 năm trước Công nguyên, đã nghiên cứu các quan hệ về khoảng cách và góc trong mặt phẳng và không gian, từ đó hình thành nền tảng của hình học Euclide hai và ba chiều.
Sau đây sẽ nêu ra một số định nghĩa đối với không gian Euclide R n
Gọi S ={e 1 ,e 2 , ,e n } là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Euclide R n :
Hai vector x, y∈R n được biểu diễn trong hệ tọa độ trực chuẩn là: x=x1e1+x2e2+ã ã ã+xnen (1.3) y=y 1 e 1 +y 2 e 2 +ã ã ã+y n e n (1.4) Trong đó x i , i= 1 : n là tọa độ của vector x vày i , i= 1 :n là tọa độ của vectory.
Hình 1.1: Hệ tọa độ Cartesian 2 và 3 chiều
• Tích vô hướng (dot product) của hai vector
• Chuẩn (norm) vector hay chiều dài vector
• Cosine chỉ phương của vector x u= 1
• Khoảng cách giữa hai điểm d(x,y) =∥x−y∥ v u u t n
• Góc giữa hai vector α = arccos xãy
• Tích vector (vector product) trong R 3 x×y= (x 2 y 3 −x 3 y 2 , x 3 y 1 −x 1 y 3 , x 1 y 2 −x 2 y 1 ) (1.11) x//y⇔x×y= 0 (1.12)
• Tích hỗn tạp (scalar triple product) trong R 3 zã(xìy) (1.13)
• Quả cầu mở và đóng
Gọi M 0 (x 0 ) ∈ R n và δ > 0 Tập hợp các điểm M(x) ∈ R n thỏa mãn bất đẳng thức
∥x−x 0 ∥< δ được gọi là quả cầu mở tâm M 0 bán kính δ và ký hiệu B(M 0 , δ).
Nếu thỏa mãn bất đẳng thức ∥x−x 0 ∥≤δ thì gọi là quả cầu đóng và ký hiệu B(M 0 , δ).
Hàm vector
Hàm vectơ (vector function) là hàm toán học của một hoặc nhiều biến, với miền giá trị là tập các vectơ đa chiều hoặc vectơ vô hạn chiều, giúp mô tả các mối quan hệ phức tạp trong không gian đa chiều Tập nguồn của hàm vectơ có thể là vô hướng hoặc có dạng vectơ nhiều chiều, cung cấp sự linh hoạt trong việc biểu diễn các hệ thống phức tạp Chúng ta có thể khái quát hàm vectơ như một ánh xạ f: Rⁿ → Rᵐ, thể hiện mối quan hệ giữa điểm nguồn và điểm đích trong không gian đa chiều Hàm vectơ đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đặc biệt trong việc mô hình hoá các quá trình liên quan đến không gian và vị trí.
Ví dụ 1.1.2.1 Các ánh xạ được cho sau đây là các hàm vector: f:R 3 →R 2 , f(x, y, z) x 2 +y 2 +z 2 2x+ 3y−z g:R 3 →R 2 , g(x, y, z) 2x+ 5y 3y−4z
trong đó f là hàm vector phi tuyến, còn g là hàm vector tuyến tính vì có thể biểu diễn dưới dạng tích của ma trận không phụ thuộc xvới vector x.
Phương trình chuyển động của một chất điểm M(x, y, z) mô tả vị trí của nó qua các hàm vector phụ thuộc vào thời gian t, cụ thể là r(t) = (f₁(t), f₂(t), f₃(t)) Vận tốc của chất điểm được biểu diễn bằng các hàm vector của đạo hàm các hàm vị trí, là v(t) = (f₁′(t), f₂′(t), f₃′(t)) Đây là một ví dụ minh họa cho phương trình chuyển động của chất điểm trong không gian ba chiều theo thời gian.
Hình 1.2: Vector bán kính của một chất điểm
Phương trình vector xác định vị trí của chất điểm M được biểu diễn bằng r(t) = (f₁(t), f₂(t), f₃(t)), trong đó mỗi hàm số mô tả các thành phần của chuyển động theo từng trục không gian Vận tốc của chất điểm M được xác định qua phương trình v(t) = r′(t) = (f₁′(t), f₂′(t), f₃′(t)), phản ánh tốc độ thay đổi của vị trí theo thời gian Phương trình vector còn có thể được biểu diễn qua dạng cơ sở với r(t) = f₁(t)e₁ + f₂(t)e₂ + f₃(t)e₃ và v(t) = f₁′(t)e₁ + f₂′(t)e₂ + f₃′(t)e₃, giúp dễ dàng hiểu rõ sự biến đổi thành phần Chuyển động của chất điểm M còn được mô tả bằng phương trình tham số: x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t), giúp theo dõi vị trí trong không gian theo thời gian Đạo hàm tổng tích các hàm vector là phương pháp tính đại số phức tạp của các hàm thành phần thành một phép tính đơn giản hơn, hỗ trợ phân tích chuyển động của chất điểm một cách chính xác.
Các hàm vector khả vi và hàm vô hướng khả vi đều tuân theo các quy tắc đạo hàm cơ bản, trong đó d/dt[u(t) + v(t)] bằng u ′ (t) + v ′ (t), và đạo hàm của một tích vô hướng cới hàm f(t) là cũ * u ′ (t), còn đạo hàm của tích vectơ u(t) và v(t) theo quy tắc Leibniz là u ′ (t) × v(t) + u(t) × v ′ (t) Ngoài ra, đạo hàm của hàm hợp f(t) với vectơ u(t) theo t được tính bằng f ′ (t) nhân với đạo hàm của u theo f(t) Những công thức này là nền tảng trong đạo hàm của các hàm vectơ khả vi, giúp quá trình phân tích và tính toán trong lĩnh vực toán học và vật lý trở nên dễ dàng hơn.
Giới hạn của hàm vector t→tlim0 r(t) = ( lim t→t 0 f 1 (t),lim t→t 0 f 2 (t),lim t→t 0 f 3 (t)) (1.23)
Ví dụ 1.1.2.3 Cho hàm vectorr(t) = (sint t , tlnt,(t+ 1)e 2t ) Tìmlim t→0r(t). limt→0r(t) = (lim t→0 sint t ,lim t→0(tlnt),lim t→0(t+ 1)e 2t )) = (1,0,1)
Hàm số nhiều biến
Định nghĩa 1.1.3.1 Xét không gian EuclidenchiềuR n GọiD⊂R n và ánh xạf :D→
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Hình 1.3: (a): miền đơn liên (b): đa liên
Tập mức (level set) của hàm f(x 1 , x 2 , , x n )được xác định bởi tập hợp:
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Ví dụ 1.1.3.1 Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm f(x, y) = x 2 +y 2 biểu diễn mặt elliptic paraboloid Vẽ mặt cong và các đường đồng mức.
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Ví dụ 1.1.3.2 Cho mặt hyperbolic paraboloid (mặt yên ngựa) có phương trìnhz =x 2 −y 2 Tìm miền xác định và miền giá trị của nó Vẽ mặt cong và các đường mức.
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Hình 1.6: Contours tô màu của f(x, y) =x 2 −y 2
Ví dụ 1.1.3.3 Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm f(x, y) =p
16, do đó miền giá trị là[0,4].
Ví dụ 1.1.3.4 Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm ba biến f(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 +z 2
Miền xác định là D=R 3 \ {0,0,0} Vì 1 x 2 +y 2 +z 2 >0nên miền giá trị là R ∗ +.
Giới hạn và liên tục
Giới hạn của hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.2.1.1 Xét hàm f : D⊂R 2 →R Gọi M 0 (x 0 , y 0 )∈R 2 có thể M 0 ∈/ D và l là giới hạn nếu có của hàm f khi M(x, y)→M 0 (x 0 , y 0 ) được lý hiệu là
Định nghĩa này thể hiện rằng với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu khoảng cách giữa M và M₀ nhỏ hơn δ thì giá trị của hàm số f(M) nằm trong khoảng cách ε so với l Hình 1.8 minh họa rõ ràng cho định nghĩa này, cho thấy rằng bất kỳ điểm nào nằm trong lân cận B(M₀, δ) đều đảm bảo giá trị của hàm số không vượt quá giới hạn ε so với giá trị tại M₀ Điều này có nghĩa là chức năng f(M) liên tục tại điểm M₀, vì mỗi lân cận nhỏ xung quanh M₀ đều giữ cho các giá trị của f nằm trong phạm vi giới hạn đã định.
Hình 1.8: Các lân cận B(M 0 , δ) và (L−ε, L+ε) tương ứng
Giới hạn của hàm một biến khi x tiến tới x₀ chỉ xảy ra theo một hướng xác định trên trục x Trong khi đó, đối với hàm nhiều biến, khái niệm giới hạn M → M₀ được xác định theo tất cả các hướng trong vùng lân cận B(M₀, δ), là một quả cầu mở tâm M₀ bán kính δ trong không gian ba chiều hoặc miền tròn mở trong trường hợp hai chiều.
Ví dụ 1.2.1.1 Tìm giới hạn lim
Xét trường hợp (x, y)→(0,0) theo hướng đường cong y=kx 2 : x→0limf(x, kx 2 ) = lim x→0 kx 4 x 4 (1 +k 2 ) = k
Do đó hàm không có giới hạn.
Hay có thể sử dụng chứng minh khác bằng cách tìm giới hạn theo hai hướng khác nhau y=±x 2 , lúc này f(x,±x 2 ) = ± x 4
Do đó giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 1.2.1.2 Tìm giới hạn lim
(x,y)→(0,0) x 2 y 2 px 4 +y 4 Xét trường hợp y =kx: lim
Trong phân tích giới hạn của hàm số, chúng ta không thể kết luận đó là giới hạn chung vì chỉ xét trên đường cong y = kx khi (x, y) tiến đến (0,0) Do đó, để xác định chính xác sự tồn tại của giới hạn, ta áp dụng nguyên lý kẹp (Định lý Squeeze), dựa trên bất đẳng thức \(x^2 y^2 \leq \sqrt[4]{x^4 + y^4}\) Khi y tiến về 0, ta có \(y^2 \to 0\), từ đó suy ra giới hạn của hàm số tại điểm (0,0) tồn tại và bằng 0.
• Cách 2: Sử dụng tọa độ cực x=rcosθ, y =rsinθ:
(x,y)→(0,0)lim x 2 y 2 px 4 +y 4 = lim r→0 + r 4 cos 2 θsin 2 θ r 2 √ cos 4 θ+ sin 4 θ = lim r→0 + r 2 cos 2 θsin 2 θ
Ví dụ 1.2.1.3 Tìm giới hạn lim
Chúng ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn của hàm một biến vào hàm nhiều biến nhằm mở rộng phạm vi phân tích Theo Định lý 1.1.3.1, nếu các hàm \(f, g : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) đều có giới hạn tại điểm \(a\), cụ thể là \(\lim_{x \to a} f(x) = l_1\) và \(\lim_{x \to a} g(x) = l_2\), thì giới hạn của các tổ hợp tuyến tính của chúng cũng tồn tại và có các dạng sau: \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = l_1 + l_2\), \(\lim_{x \to a} [k f(x)] = k l_1\), và \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = l_1 \cdot l_2\).
Tính liên tục của hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.2.2.1 Xét hàmf :D⊂R 2 →R Gọi M 0 (x 0 , y 0 )∈D Hàm f được gọi là liên tục tại M 0 (x 0 , y 0 ) nếu tồn tại giới hạn:
Nếu hàm f liên tục tại ∀M(x, y)∈D thì ta nói rằng hàm f liên tục trênD.
Tính liên tục của hàm đối với mỗi biến không phải là điều kiện đủ cho tính liên tục đối với hàm nhiều biến.
Ví dụ 1.2.1.4 Khảo sát tính liên tục của hàmf(x, y) = 2x 3 y−3y 2 −2xy+ 3 x 2 +y 2 −4 Các hàm đa thức P(x, y) = 2x 3 y−3y 2 −2xy+ 3 và Q(x, y) = x 2 +y 2 −4 liên tục với mọi (x, y)∈R 2 Hàm phân thức P(x, y)
Q(x, y) liên tục trong miền xác định của nó, do đó hàm f(x, y) liên tục trên miền xác định D={(x, y)∈R 2 :x 2 +y 2 −4̸= 0}.
Ví dụ 1.2.1.5 Xét sự liên tục của hàmf(x, y) = sin(x+y) cos(x−y)và tìm lim
Các hàm sin(x+y),cos(x−y)liên tục trên miền xác định R 2 Do đó hàmf(x, y)liên tục trên R 2 Vì vậy:
Ví dụ 1.2.1.6 Tìm các điểm (x, y)để hàm sau liên tục: f(x, y) = p x 2 +y 2 −4 + x 4 + 2x 2 y−3y 4 p16−x 2 −y 2
Hàmp x 2 +y 2 −4liên tục trên miền D1 ={(x, y) :x 2 +y 2 ≥4}và hàm x 4 + 2x 2 y−3y 4 p16−x 2 −y 2 liên tục trên miềnD 2 ={(x, y) :x 2 +y 2 0 đủ nhỏ sao cho:
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x₁ khi mọi ε > 0 đều có thể tìm δ > 0 sao cho |x - x₁| < δ thì |f(x) - f(x₁)| < ε, cho thấy sự liên tục của hàm tại điểm đó Vì x₁ là một điểm tùy ý trong lân cận của x₀, nên f(x) liên tục trong vùng lân cận của x₀, đảm bảo tính liên tục của hàm trong một khoảng giới hạn Để chứng minh hàm khả vi trên đoạn (x₀ - δ, x₀ + δ), ta xem xét các điểm x và x+h nằm trong đoạn này, dẫn đến việc xác định rằng F(x, f(x)) = 0 Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm số này giúp chứng minh khả vi của f(x) trong đoạn đã cho, góp phần vào phân tích các tính chất liên tục và khả vi của hàm trong toán học thực.
Vì F x ′ , F y ′ và f liên tục nên khi h→0 ta có: h→0lim
Nghĩa là hàm f(x) khả vi Đồng thời hàm f ′ (x) được xác định bởi thương của hai hàm liện tục và F y ′ ̸= 0 trong lân cận của (x 0 , y 0 ) nên liên tục (đpcm).
NếuF x ′ (x 0 , y 0 ) =F y ′ (x 0 , y 0 ) = 0thì ta không thể kết luận về sự tồn tại của hàm ẩny =f(x) và lúc đó (x 0 , y 0 ) được gọi là điểm kỳ dị (singularity).
Các định lý quan trọng đã mở rộng điều kiện về sự tồn tại của hàm ẩn nhiều chiều trong toán học Cụ thể, Định lý 1.3.7.2 cho biết rằng nếu hàm số F : U ⊂ R³ → R có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U và tại điểm (x₀, y₀, z₀) thuộc U mà F(x₀, y₀, z₀) = 0, thì nếu đạo hàm riêng theo biến z tại điểm này không bằng không (F_z′(x₀, y₀, z₀) ≠ 0), thì tồn tại một hàm số liên tục thể hiện sự tồn tại của hàm ẩn z = z(x, y) quanh điểm đó.
1) Phương trình F(x, y, z) = 0 xác định trong lân cận (x0, y0) một hàm ẩn duy nhất z =f(x, y)
3) f(x, y) và f x ′ (x, y), f y ′ (x, y) liên tục trong lân cận của(x 0 , y 0 ) Định lý 1.3.7.3 ChoF :U ⊂R 5 →RvàG:U ⊂R 5 →Rlà các hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U Giả sử tại(x 0 , y 0 , z 0 , u 0 , v 0 )∈U hàm F(x 0 , y 0 , z 0 , u 0 , v 0 ) = 0 và G(x 0 , y 0 , z 0 , u 0 , v 0 ) = 0 Nếu định thức Jacobi tại(x 0 , y 0 , z 0 , u 0 , v 0 )
1) Hệ phương trình F(x, y, z, u, v) = 0, G(x, y, z, u, v) = 0 xác định trong lân cận (x 0 , y 0 , z 0 ) một cặp hàm ẩn duy nhất u=f(x, y, z) và v =g(x, y, z)
3) Cặp hàm u, v và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trong lân cận của (x 0 , y 0 , z 0 )
1.3.7.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn
Từ định lý (1.3.7.1) ta có công thức tính đạo hàm (1.81) của hàm ẩn y từ phương trình
F(x, y) = 0 Hoặc bằng cách lấy đạo hàm toàn phần của hàm F:
Tương tự nếu hàm F(x, y, z) = 0 thỏa mãn định lý (1.3.7.2) ta lần lượt lấy đạo hàm 2 vế hàm F(x, y, z) = 0 theo xvà y ta có:
F z ′ (1.84) Đối với hệ hai phương trình
(F(x, y, u, v) = 0 G(x, y, u, v) = 0 nếu thỏa mãn định lý (1.3.7.3) thì tồn tại các đạo hàm riêng của u và v Chúng được xác định bằng cách lần lượt lấy đạo hàm 2 vế theo x và y:
Do định thức Jacobi (1.82) khác không nên hai hệ hai phương trình trên tồn tại nghiệm duy nhất u ′ x = G ′ x F v ′ −F x ′ G ′ v
Ví dụ 1.3.7.1 Cho hàm số ẩn y=y(x) được xác định bởi phương trình:
2 (6x 4 y 2 + 3x 2 y 4 + 2x 2 +y 2 +y) Cách 2: Từ phương trình đã cho lấy đạo hàm 2 vế theo x:
Ví dụ 1.3.7.2 Cho biết z =z(x, y) được xác định bởi phương trình: e x 2 +y 2 +z 2 +xyz+ 5xz 4 +y 2 z 3 + 5 = 0 Tính các đạo hàm z x ′ , z y ′
2ze x 2 +y 2 +z 2 +xy+ 20x z 3 + 3y 2 z 2 Chúng ta cũng có thể lấy đạo hàm 2 vế lần lượt theo x và theo y sẽ tìm được z x ′ và z y ′
Cực trị của hàm nhiều biến
Cực trị tương đối
Định nghĩa 1.4.1.1 Cho f :D ⊂R 2 →R Gọi M0(x0, y0)∈D và B(M0, δ)⊂D là lân cận củaM 0 Khi đó: f có cực đại tương đối tại M 0 ⇔f(x 0 , y 0 )≥f(x, y),∀(x, y)∈B(M 0 , δ) (1.89) f có cực tiểu tương đối tại M 0 ⇔f(x 0 , y 0 )≤f(x, y), ∀(x, y)∈B(M 0 , δ) (1.90)
Hàm số đạt cực trị tương đối tại điểm M0 khi nó đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu so với các điểm xung quanh, còn gọi là cực trị địa phương Định lý 1.4.1.1 cho biết rằng nếu hàm f(x, y) đạt cực trị địa phương tại M0 (x0, y0) và hàm f có đạo hàm riêng tại điểm đó, thì các đạo hàm riêng phải bằng 0.
Chứng minh rằng đặt g(x) = f(x, y0) cho thấy nếu hàm f(x, y) đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại điểm M0, thì hàm g(x) cũng đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm M0 Theo định lý Fermat, điều này đồng nghĩa với việc đạo hàm của g tại điểm đó bằng zero, tức là f_x'(x0, y0) = 0, qua đó xác định các điểm nghiệm của hàm số f(x, y).
Dấu hiệu của cực trị địa phương tại điểm M 0 (x 0 , y 0) là khi đạo hàm riêng của hàm số theo y tại điểm đó bằng 0, tức là f y ′ (x 0, y 0) = 0 Điều này dẫn đến việc suy ra gradient của hàm tại M 0 là (0,0), gọi là điểm dừng hoặc điểm tới hạn Ý nghĩa hình học của định lý (1.4.1.1) là mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt hàm tại điểm cực trị luôn nằm ngang, phản ánh rõ nét sự tồn tại của cực trị địa phương Điểm M 0 là điểm dừng khi gradient bằng không, và nó trở thành điểm yên ngựa (saddle point) khi trong một lân cận xung quanh luôn tồn tại những điểm có giá trị hàm nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tại M 0, cũng như những điểm có giá trị lớn hơn hoặc bằng giá trị tại điểm này.
Hình 1.22: Điểm yên ngựa tiêu biểu P(0,0,0)
Điểm dừng trên mặt có thể là điểm cực đại địa phương, cực tiểu địa phương hoặc điểm yên ngựa, thể hiện các trạng thái ổn định khác nhau của hàm số Mặt chứa điểm yên ngựa gọi là mặt yên ngựa, trong đó z = x² − y² là một ví dụ tiêu biểu của mặt yên ngựa chuẩn, như minh họa trong Hình 1.22.
Phương pháp tìm cực trị địa phương
Ma trận Hesse (Hessian matrix) của hàm f(x, y) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận M 0 (x 0 , y 0 )được định nghĩa như sau:
(1.92) Định thức của ma trận Hesse:
D(x, y) = det(H) f xx ′′ f xy ′′ f yx ′′ f yy ′′
Cực trị địa phương của hàm số được xác định bằng phép thử đạo hàm cấp hai dựa trên Định lý 1.4.1.2 Theo định lý này, nếu hàm f(x, y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong lân cận của điểm M₀ (x₀, y₀) và gradient ∇f(x₀, y₀) = (0,0), thì tại điểm này có thể xảy ra bốn trường hợp: cực đại, cực tiểu, điểm yên ngựa hoặc điểm yên ngựa không xác định Công thức định lý xác định trường hợp này bằng cách khảo sát dấu của định thức Hessian và các yếu tố liên quan.
1) Nếu det(H)>0 và f xx ′′ >0 thì hàm f(x, y) có cực tiểu tại M 0 (x 0 , y 0 )
2) Nếu det(H)>0 và f xx ′′ 0 \) Do đó, hàm số đạt cực tiểu cục bộ tại điểm (1,3) với giá trị cực tiểu là \( f_{min} = 4 \) (Hình 1.23).
Hình 1.23: Điểm cực tiểu trên mặt cong và dáng điệu đường mức
Các đường mức (contours) xung quanh điểm cực trị có dạng đường cong kín (oval), cho thấy chúng hình thành các vòng tròn khép kín Giá trị của các đường mức tăng theo hướng bất kỳ bắt đầu từ điểm cực trị, chứng tỏ rằng điểm đó là điểm cực tiểu Nhận diện các đường mức lân cận giúp xác định rõ ràng vị trí của các điểm cực trị trong đồ thị Phân tích hình dạng của các đường mức là phương pháp quan trọng để xác định tính chất của điểm cực trị trong đồ thị hàm số.
Ví dụ 1.4.1.2 Tìm cực trị của hàmf(x, y) =y 2 −x 2
Đầu tiên, xác định các điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình \(f_x' = -2x = 0\) và \(f_y' = 2y = 0\), cho ra điểm dừng duy nhất là (0,0) tại gốc tọa độ Để phân tích đặc tính của điểm dừng này, ta xét định thức Hessian với các đạo hàm riêng cấp hai: \(f_{xx} = -2\), \(f_{xy} = 0\), và \(f_{yy} = 2\) Tính định thức Hessian tại điểm (0,0) ta có \(D(0,0) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = -4 < 0\), cho thấy điểm (0,0) là điểm xạ nghiệm.
Vậy điểm dừng (0,0) là điểm yên ngựa (Hình 1.24).
Nếu không sử dụng phương pháp định thức Hesse, chúng ta vẫn có thể xác định điểm yên ngựa dựa trên nhận xét rằng hàm \(g(x) = f(x, 0) = -x^2\) đạt cực đại tại \(x=0\) và hàm \(h(y) = f(0, y) = y^2\) đạt cực tiểu tại \(y=0\) Do đó, điểm \((0,0)\) chính là điểm yên ngựa của hàm số.
Từ đồ thị các đường đồng mức ta nhận thấy rằng các đường mức tại lân cận điểm yên
Hình 1.24 minh họa điểm yên ngựa trên mặt cong, nơi đường mức có dạng các đường hyperbol Giá trị các đường mức giảm từ điểm cực trị theo một hướng và tăng theo hướng khác, thể hiện tính chất đặc trưng của hình dạng này Đây là hiện tượng quan trọng trong phân tích mặt cong, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm của đường mức trên bề mặt hình học.
Ví dụ 1.4.1.3 Khảo sát bản chất của điểm dừng đối với các hàm sau đây:
Cả 3 trường hợp hàm số đều có điểm dừng là (0,0)và định thức Hesse tại đó bằng 0 Tuy nhiên:
Ví dụ 1.4.1.4 Tìm và phân loại điểm dừng của hàm f(x, y) = x 2 y−x 2 − 1
3y 3 Điểm dừng được xác định bởi: f x ′ = 2xy−2x= 0 f y ′ =x 2 −y 2 = 0
Giải hệ phương trình ta tìm đươc3 điểm dừng:(0,0),(1,1)và (−1,1) Định thức Hesse là
D(1,1) = −4