Cơ kỹ thuật phần 2 sức bền vật liệu

Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn học Sức bền vật liệu là môn học nghiên cứu sự chịu lực của vật rắn biến dạng để đề ra phương pháp tính tóan độ bền, độ cứng và độ ổn định của các

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn học

Sức bền vật liệu là môn học nghiên cứu sự chịu lực của vật rắn biến dạng để đề ra phương pháp tính tóan độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của ngoại lực

Khi thiết kế các bộ phận công trình hoặc các chi tiết máy ta phải đảm bảo:

+ Chi tiết không bị phá hỏng, tức là đủ bền

+ Chi tiết không bị biến dạng quá lớn, tức là đủ cứng

+ Chi tiết luôn giữ được hình dạng ban đầu, tức là đảm bảo điều kiện ổn định

Nhiệm vụ của môn sức bền vật liệu là đưa ra các phương pháp tính toán về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình hay chi tiết máy

Từ nhiệm vụ trên, sức bền vật liệu cần giải ba dạng bài toán cơ bản:

+ Kiểm tra các điều kiện bền (hoặc độ cứng, hoặc ổn định) của các bộ phận công trình hay chi tiết máy trong những trường hợp chịu lực khác nhau hoặc nhiệt độ

+ Xác định kích thước và hình dáng hợp lý cho từng bộ phận của công trình hay chi tiết máy

+ Xác định tải trọng lớn nhất có thể đặt lên công trình hay chi tiết máy

Đối tượng nghiên cứu của môn sức bền vật liệu là các vật rắn biến dạng mà chủ yếu là các thanh

+ Vật rắn trong sức bền vật liệu là các vật rắn thực như: Thép, gang, bê tông …

Vật thể sẽ biến dạng, bị phá hủy dưới tác dụng của ngoại lực, nhiệt độ

+ Thanh là vật thể có kích thước theo hai phương nhỏ so với phương thứ ba Tấm và vỏ

là những là vật thể có kích thước theo hai phương rất lớn so với phương thứ ba Khối là vật thể có kích thước theo ba phương cùng tương đương nhau

Phương pháp nghiên cứu: Ngoài những kiến thức có tính chất lý luận như nêu trên, sức bền vật liệu có một công tác hết sức quan trọng – đó là công tác thực nghiệm

Sở dĩ như vậy là vì đối tượng nghiên cứu của sức bền vật liệu là vật thể thực, nhưng nếu xét đến mọi tính chất thực của chúng thì vô cùng phức tạp cho nên trong khi tính toán người ta thường phải lược đi những tính chất không cơ bản của vật liệu bằng các giả thuyết Như vậy tính toán của ta chỉ là gần đúng, cho nên việc dùng thực nghiệm để kiểm tra lại mức độ chính xác là hết sức cần thiết

Nếu lực tác dụng vượt quá một giới hạn nói trên, thì khi bỏ lực, vật thể không trở lại hình dạng và kích thước ban đầu nữa chúng chỉ khôi phục lại một phần biến dạng ban đầu, các vật thể này được gọi là vật thể đàn hồi không hoàn toàn (đàn hồi không tuyệt đối) phần biến dạng không khôi phục được gọi là biến dạng dư (hay biến dạng dẻo) Sức bền vật liệu nghiên cứu

sự làm việc của vật thể trong giới hạn đàn hồi

1.3 Các giả thuyết đối với vật liệu

Như phần trên ta đã nói, phải lược bỏ những tính chất không cơ bản của vật liệu và đề ra một số các tính chất chung cho vật liệu gọi là các giả thuyết:

- Giả thuyết 1: vật liệu có tính liên tục, đồng nhất và đẳng hướng

Giả thuyến này cho phép ta áp dụng phép tính vi phân và tích phân trong quá trình tính toán và có thể nghiên cứu với một phân tố bé để có thể suy rộng cho cả vật thể

- Giả thuyết 2: vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của vật liệu được xem là đàn hồi tuyệt đối

Theo giả thuyết này môn sức bền vật liệu chủ yếu giải quyết bài toán khi vật liệu làm việc trong miền đàn hồi trong miền này, theo định luật Húc ta có: biến dạng tại mọi điểm của vật thể tỉ lệ bậc nhất với ứng suất tại điểm đó

- Giả thuyết 3: Biến dạng của vật thể do các nguyên nhân bên ngoài gây ra rất bé so với kích thước của chúng

Theo giả thuyết này, khi vật thể chịu lực ta có thể xem đểm đặt của lực không thay đổi khi vật thể bị biến dạng và là cơ sở để áp dụng phương pháp cộng tác dụng

- Giả thuyết 4: (giả thuyết Xanh-Vơ-Năng)

Ở đủ xa nơi đặt lực, trạng thái ứng suất và biến dạng không phụ thuộc vào cách đặt lực

mà chỉ phụ thuộc hợp lực

1.4 Các loại biến dạng và chuyển vị

Chúng ta xét các loại biến dạng của thanh dưới tác dụng của ngoại lực

Trước hết ta quan sát biến dạng toàn thanh:

+ Khi thanh chịu tác dụng bởi nhũng lực đặt dọc theo chiều trục của thanh, thì thanh bị dãn ra hay co lại Ta gọi thanh bị kéo hoặc nén (hình 1.1)

Hình 1.1 + Khi thanh chịu tác dụng bởi những lực vuông góc với trục của thanh, trục thanh sẽ

bị cong đi Ta gọi thanh chịu uốn (hình 1.2)

Hình 1.2 + Khi ngoại lực nằm trong các mặt phẳng vuông góc với trục thanh và tạo nên các ngẫu lực trong những mặt phẳng đó Ta có thanh chịu xoắn (hình 1.3)

Hình 1.3 + Dưới tác dụng của ngoại lực, một phần này của thanh có xu hướng trượt đối với phần khác Ta gọi thanh chịu cắt (hình 1.4)

N N

Hình 1.4

Đó là các trường hợp biến dạng cơ bản của thanh Trong thực tế ta còn gặp nhiều biến dạng phức tạp gồm nhiều biến dạng cơ bản

Ta xét khái niện biến dạng tại một điểm

Tại một điểm nào đó trong vật thể biến dạng ta tách ra một phân tố hình hộp Sự biến dạng của phân tố là một trong những trường hợp sau:

+ Trong quá trình biến dạng các góc vuông của phân tố không thay đổi Gọi dx là chiều dài của một cạnh nào đó của phân tố, thì sau biến dạng dx sẽ có độ dãn dài (hay độ co)

là  dx (hình 1.5) gọi là biến dạng dài tuyệt đối

Tỉ số: x dx

dx

  gọi là biến dạng dài tương đối theo phương x

+ Trong quá trình biến dạng các cạnh của phân tố không thay đổi, nhưng các góc vuông không còn vuông nữa (hình 1.6)

dx

Gọi γ là độ thay đổi của góc vuông, được gọi là biến dạng góc hay là góc trượt Biên dạng của phân tố được gọi là biến dạng trượt

Ta xét khái niệm chuyển vị tại một điểm

+ Khi vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, nói chung các điểm trong lòng vật thể không còn đứng nguyên ở vị trí cũ

Độ chuyển dời từ vị trí cũ sang vị trí mới gọi là chuyển vị dài của điểm

+ Tại A ta xét đoạn thẳng bé AB nào đó Vì đoạn thẳng là bé, nên sau biến dạng có thể xem nó vẫn thẳng và có vị trí A’B’

Góc tạo nên bỏi AB và A’B’ gọi là chuyển vị góc tại A (hình 1.7)

AB

A' B'

Hình 1.7 1.5 Ngoại lực - Nội lực

1.5.1 Ngoại lực

Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của vật thể khác lên vật thể đang xét

Tùy theo tính chất và cách thức tác dụng người ta phân loại ngoại lực như sau:

+ Ngoại lực là tải trọng hay phản lực

Tải trọng là lực tác dụng lên vật thể mà trị số và vị trí, tính chất đã biết trước

Phản lực là lực phát sinh ở những chỗ tiếp xúc của vật thể với vật thể bên ngoài Khi chúng chịu tác dụng của tải trọng Gía trị của phản lực phụ thuộc vào tải trọng và cách xác định được trình bày trong môn cơ học lý thuyết

+ Ngoại lực là lực tập trung hay lực phân bố

Ngoại lực tác dụng liên tục trên bề mặt của vật thể hay liên tục trong thể tích của vật thể được gọi là lực phân bố (phân bố bề mặt hay phân bố thể tích) Trong một số trường hợp

ta có thể thay lực phân bố diện tích bằng lực phân bố theo chiều dài của thanh Cường độ của lực phân bố theo chiều dài, diện tích, thể tích lần lượt có thứ nguyên là :

[lực/chiều dài]; [lực/(chiều dài)2]; [lực/(chiều dài)3];

Ngoại lực phân bố trên một diện tích tương đối nhỏ thì ta thay chúng bằng hợp lực của nó và gọi là lực tập trung

+ Tải trọng là tải trọng tĩnh hay là tải trọng động

Tải trọng tĩnh là tải trọng có trị số tăng dần dần từ 0 đến một giá trị nhất định và sau

đó không đổi Tải trọng tĩnh không gây ra lực quán tính trong hệ khảo sát

A



Tải trọng tác động lên hệ khảo sát và gây ra lực quán tính trong hệ được gọi là tải trọng động

1.5.2 Nội lực

a) Nội lực - Phương pháp mặt cắt

Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật có một hình dạng nhất định Khi có ngoại lực tác dụng, lực liên kết đó sẽ tăng lên để chống lại với biến dạng do ngoại lực gây ra

Độ tăng đó của lực liên kết được gọi là nội lực

Muốn xác định nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt:

+ Xét vật thể chịu lực ở trạng thái cân bằng (hình 1.8) Để tìm nội lực tại một điểm C nào đó, ta tưởng tượng dùng một mặt phẳng  qua C cắt vật thể ra làm hai phần A và B

+ Ta xét một phần nào đó, ví dụ: phần A (hình 1.9) Phần A cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực tác động lên nó P P 1, 2 và hệ lực tương hỗ phân bố trên mặt cắt  tác động

từ phần B lên phần A; hệ lực đó chính là nội lực trên mặt cắt 

F 4

F 3

+ Xét cân bằng phần A ta sẽ xác định được nội lực

Cường độ của nội lực tại một điểm nào đó trên mặt cắt được gọi là ứng suất - Ký hiệu

C

Hình 1.10 Khi đó: Ptb P

P 

: gọi là ứng suất tại C

0

lim F PP

+ Từ nay về sau ta quy ước dấu và cách viết các ứng suất như sau:

+ Ứng suất pháp được coi là dương khi véctơ biễu diễn nó có chiều cùng với chiều dương của pháp tuyến ngoài mặt cắt Ứng suất pháp kèm theo một chỉ số chỉ chiều của pháp tuyến, ví dụ: σx

+ Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay một góc 900

thuận chiều kim đồng hồ, sẽ trùng với chiều của ứng suất tiếp (hình 1.11) Ứng suất tiếp kèm theo hai chỉ số Chỉ số thứ nhất chỉ chiều pháp tuyến ngoài mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ chiều ứng suất tiếp song song

x y

xy > 0



Hình 1.11 + Ứng suất pháp, ứng suất tiếp là âm trong trường hợp ngược lại

Trong lý thuyết đàn hồi người ta đã chứng minh:

Nếu biến dạng của vật thể đàn hồi là bé, vật liệu có tính đồng chất đẳng hướng thì ứng suất pháp chỉ gây nên biến dạng dài và ứng suất tiếp chỉ gây nên biến dạng góc (hình 1.12)



Hình 1.12 b) Các thành phần nội lực

Gía trị ứng suất tại một điểm, quy luật phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ta chưa tính được, nhưng ta có thể xác định được hợp lực của hệ nội lực vì nó phải cân bằng với hợp lực của ngoại lực tác dụng lên phần đang xét Giả sử xét sự cân bằng của phần A, hợp lực của

hệ nội lực đặc trưng cho tác dụng của phần B lên phần A được biễu diễn bằng véctơ R 

đặt tại điểm K nào đó (hình 1.13)

Thu gọn hợp lực R 

về trọng tâm 0 của mặt cắt ngang, ta sẽ được lực R 

có véctơ lực bằng R 

+ Thành phần nằm trên các trục x và y trong mặt cắt ngang gọi là lực cắt, Ký hiệu:

Trong đó :  m Px( ) i

;  m Py( ) i

;  m Pz( ) i

là tổng mômen của tất cả các ngoại lực thuộc phần đang xét đối với các trục x , y , z tương ướng

Để xác định nội lực tại một mặt cắt ngang bất kỳ, chúng ta có thể xét phần trái hoặc phần phải tùy theo phần nào đơn giản hơn

Lực dọc Nz là đại lượng đại số được quy ước dấu như sau:

+ Lực dọc dương khi nó hướng theo pháp tuyến của mặt cắt, khi đó ta nói thanh chịu kéo (hình 2.1)

+ Lực dọc âm khi nó hướng vào mặt cắt, ta nói thanh chịu nén (hình 2.2)

Nz < 0

Nz > 0Hình 2.1

+ Kẻ đoạn thẳng song song và bằng chiều dài của trục thanh, làm đường chuẩn

+ Trên đường chuẩn đó ta kẻ những đoạn vuông góc (theo một tỉ lệ nào đó) biểu diễn cho giá trị của lực dọc tại các mặt cắt khác nhau Nếu lực dọc là kéo thì ta vẽ về cùng một phía của đường chuẩn và đánh dấu (+) Nếu là nén thì ta vẽ về phía bên kia của đường chuẩn, đánh dấu (-)

Thí dụ 2.1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực như hình vẽ (hình 2.3)

Biểu đồ lực dọc của thanh được biểu diễn trên hình vẽ (Hình 2.4)

Hình vẽ 2.4 2.3 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

2.3.1 Thí nghiệm

Mẫu là một thanh lăng trụ, trước khi làm thí nghiệm ta kẻ các đường vạch song song

và vuông góc với trục thanh trên bề mặt thanh (Hình 2.5) Những vạch vuông góc với trục thanh mô tả các mặt cắt ngang, những vạch song song mô tả các thớ dọc

Khi thanh chịu kéo hay nén ta nhận thấy:

- Những vạch song song với trục thanh vẫn thẳng và song song với trục thanh

- Những vạch vuông góc với trục thanh vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh (Hình 2.5) Các ô vuông trở thành các ô chữ nhật

Hình 2.5 2.3.2 Các giả thuyết

Từ kết quả thí nghiệm trên người ta tổng quát hóa thành hai giả thuyết sau:

- Giả thuyết mặt cắt phẳng (giả thuyết Becnuli):

Trong quá trình biến dạng, mặt cắt ngang của thanh luôn luôn là phẳng và vuông góc với trục thanh

- Giả thuyết và các thớ dọc:

Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không chèn ép nhau

2.3.3 Ứng suất pháp trên mặt cắt

Theo giả thuyết về các thớ dọc thì trên các mặt cắt song song với trục của thanh không

có ứng suất pháp:  =  = 0

Dựa vào hai giả thuyết trên và kết luận của lý thuyết đàn hồi về quan hệ giữa ứng suất

và biến dạng ta thấy: Trên các mặt song song với các mặt tọa độ không có ứng suất tiếp; Như vậy trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có thành phần ứng suất pháp

Tách ra một phân tố bởi hai mặt cắt ngang cách nhau một đoạn dz và các mặt song song với trục thanh (Hình 2.6), phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Theo định luật Húc ta có: z = Ez

Hình 2.6 Trong đó E – là môđuyn đàn hồi của vật liệu, chúng là hằng số đối với từng vật liệu và được xác địng bằng thí nghiệm

Theo giả thuyết về mặt cắt ngang ta thấy mọi thớ dọc của thanh đều có biến dạng tương đối theo phương z là như nhau, cho nên:

z = Ez = const trên mặt cắt

Ta có công thức tính ứng suất pháp qua giá trị của nội lực Nz

Z

N F

Trong đó F là diên tích của mặt cắt ngang

Một số giá trị môđuyn đàn hồi E:

Gọi l là chiều dài ban đầu của thanh, khi chịu kéo (nén) thanh dài ra (co lại) một đoạn

Δl

Δl – gọi là biến dạng dọc của thanh

Ký hiệu Δdz là biến dạng dọc của đoạn dzvô cùng bé

i i

N l l

E F



2.4.2 Biến dạng ngang – Hệ số Poát xông

Ta nhận thấy rằng, khi một thanh chịu kéo thì chiều dài của nó bị dãn dài ra, còn bề ngang bị co lại Trái lại khi thanh bị nén thì chiều dài bị co lại còn bề ngang thì phình to ra Như vậy khi thanh chịu kéo, nén phương ngang cũng bị biến dạng Giữa biến dạng ngang tương đối và biến dạng dọc tương đối có liên hệ sau:

2.5 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Ở trên ta đã xác định được ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Vấn đề đặt ra là cần khảo sát trên các mặt cắt nghiêng một góc  so với mặt cắt ngang gồm các thành phần ứng suất nào và giá trị của chúng là bao nhiêu

Xét một thanh chịu kéo nén đúng tâm (Hình 2.7)

Tách một đoạn thanh bằng hai mặt cắt: 1 – 1 vuông góc với trục thanh; 2 – 2 hợp với

1-1 một góc 

Hình 2.7 Xét cân bằng của phân tố nằm giữa hai mặt cắt

Cos Sin

Như vậy trong tất cả các mặt cắt thì :

Mặt cắt có ứng suất pháp cực đại là mặt cắt ngang: max  z

- Mặt có ứng suất tiếp cực đại là mặt cắt nghiêng với trục thanh một góc 450 hoặc 1350

và

2.6 Đặc trưng cơ học của vật liệu

Để đưa ra lý thuyết tính toán độ bền, độ cứng của thanh trước hết ta cần nghiên cứu đặc trưng cơ học của vật liệu Muốn hiểu rõ tính chất cơ học của vật liệu ta thường làm các thí nghiệm để quan sát các tính chất và quá trình biến dạng của các loại vật liệu khác nhau kể từ lúc bắt đầu chịu lực cho đến khi bị phá hỏng

Vật liệu trong tự nhiên là đa dạng, nhưng căn cứ vào biến dạng của mẫu thí nghiệm cho tới khi mẫu bị phá hỏng ta có thể chia vật liệu ra làm hai loại:

- Vật liệu dẻo là những vật liệu bị phá hoại sau khi đã biến dạng lớn, thí dụ như: Thép, đồng, nhôm,…

- Vật liệu dòn là những vật liệu bị phá hoại ngay khi biến dạng còn rất ít, thí dụ: gang,

đá bêtông,……

Trước hết ta làm thí nghiệm về kéo nén Thí nghiệm được tiến hành trên các máy thử kéo nén Các mẫu thí nghiệm, quy trình thí nghiệm và các phương pháp xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu đều được tiêu chuẩn hóa theo TCVN

2.6.1 Thí nghiệm kéo

Trên hình 2.8 biểu diễn đồ thị mẫu kéo bằng thép CT-3, còn trên hình 2.9 biểu diễn đồ thị của mẫu kéo bằng gang Ký hiệu P là trị số lực kéo, là độ dãn dài của mẫu thí nghiệm Đối với thép CT-3 đồ thị liên hệ giữa lực kéo và độ biến dạng có ba giai đoạn cơ bản sau:

- Giai đoạn đàn hồi: được biểu diễn bằng đoạn thẳng 0A và đoạn đường cong AB Đoạn thẳng 0A – goi là tương ứng với giai đoạn đàn hồi tuyến tính (tỷ lệ) Trong giai đoạn này sự liên hệ giữa lực kéo P và độ dãn dài tuyệt đối có quan hệ bậc nhất Vật liệu làm việc tuân theo định luật Húc Đoạn AB rất bé được gọi là giai đoạn đàn hồi phi tuyến Vật liệu làm việc không còn tuân theo định luật Húc

Pch

Pth

P

? l O

- Giai đoạn cũng cố (tái bền): sau khi qua giai đoạn chảy lực có tăng thì biến dạng mới tăng, nhưng đồ thị biểu diễn sự liên hệ giữa lực kéo P và độ dãn dài tuyệt đối là một đường cong Ta tiếp tục tăng cho đến khi lực đạt giá trị lớn nhất thì tại một nơi nào đó của mẫu thử, mặt cắt ngang bị thắt lại, sau đó lực giảm dần nhưng mẫu vẫn tiếp tục dài ra cho đến khi đứt ngay tai chỗ thắt

Ký hiệu: Ptl – lực tỉ lệ ứng với lực kéo lớn nhất trong giai đoạn tỉ lệ

Pch – lực ứng với lực kéo ở giai đoạn chảy

PB - lực ứng với lực kéo lớn nhất ở giai đoạn cũng cố

Fo – Diện tích mặt cắt ngang của mẫu trước khi thí nghiệm

LO – chiều dài của phần mẫu thí nghiệm trước khi làm thí nghiệm

F1 – Diện tích mặt cắt ngang của mẫu tại chỗ thắt lúc mẫu bị đứt

L1- Chiều dài của phần mẫu thí nghiệm sau khi thí nghiệm

- Các đặc trưng cơ học đặc trưng cho độ bền của vật liệu:

+ Giới hạn tỉ lệ:

0

thtl

P F

 

+ Giới hạn chảy:

0

chch

P F

 

+ Giới hạn bền:

0

BB

P F

Mẫu thí nghiệm thường là hình trụ hay hình lập phương

Trên hình 2-10, biểu diễn đồ thị nén mẫu thép; hình 2-11 biểu diễn đồ thị nén mẫu gang

2.7 Ứng suất cho phép – Hệ số an toàn – Ba dạng bai toán

2.7.1 Ứng suất cho phép – Hệ số an toàn

- Ứng suất nguy hiểm: ký hiệu là 0 – là giá trị ứng suất - ứng với nó vật liệu coi như

bị phá hủy

 Đối với vật liệu dẻo: 0  ch

 Đối với vật liệu dòn: 0  b

- Ứng suất cho phép: Để đảm bảo an toàn trong thực tế người ta thừơng sử dụng một giá trị ứng suất bé hơn ứng suất nguy hiểm gọi là ứng suất cho phép

n – là hệ số an toàn, nó có giá trị lớn hơn 1

+ Đối với vật liệu dẻo:

    ch



   + Đối với vật liệu dòn:

Việc chọn các hệ số an toàn thích hợp là một việc rất khó và rất quan trọng Nếu chọn

hệ số an toàn bé thì tiết kiệm được vật liệu, nhưng có thể chi tiết không được bền lâu Nếu chọn hệ số an toàn lớn, chi tiết có thể bên lâu, nhưng lại tốn nhiều vật liệu,…

l



Trong thực tế hệ số an toàn thường được chọn dựa vào kinh nghiệm và theo qui phạm (tầm quan trọng, tính chất làm việc của công trình, phương pháp và công cụ tính toán v.v….)

2.7.2 Điều kiện bền – điều kiện cứng

N F

N EF

 

- Xác định lực dọc:

 Xét đoạn AB: Ta dung mặt cắt bất kỳ 1-1 Và xét cân bằng phần trái:

40 kN tác dụng

2.8 Bài toán siêu tĩnh

- Bài toán tĩnh định là các bài toán chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học hoặc phương pháp mặt cắt là ta có thể xác định được nội lực hay ứng suất trong hệ

- Bài toán trong đó nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học hoặc phương pháp mặt cắt không thể xác định được nội lựchay ứng suất trong hệ gọi là bài toán siêu tĩnh

Cách giải: Lập thêm phương trình biến dạng, cùng với các phương trình cân bằng tĩnh học ta có số phương trình đúng bằng số ẩn cần tìm

Thí dụ 2-5: Vẽ biểu đồ lực dọc của thanh chịu lực như hình vẽ 2.14

3 Trạng thái ứng suất và lý thuyết bền

3.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

Ta xét một điểm P trong vật thể dưới tác dụngcủa ngoại lực ở trạng thái cân bằng (Hình 3-1) Nếu xét những phần tử mặt cắt vô cùng nhỏ qua P thì trên những mặt cắt ấy nói chung có

cả ứng suất pháp cả ứng suất tiếp Những giá trị ấy có độ lớn khác nhau tùy theo phương của mặt cắt Từ hình dung đó ta đưa ra định nghĩa sau:

Ta gọi tập hợp tất cả những ứng suất trên mặt cắt qua điểm P là trạng thái ứng suất tại điểm đó

Hình 3-1

Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm, ta tưởng tượng tách tại điểm ấy một phân tố thể tích hình lập phương (hình 3-2) Phân ứng suất trên các mặt thành ứng suất pháp

và ứng suất tiếp với qui ước chỉ số đã trình bày ở chương 1

Kết quả nghiên cứu cho biết các ứng suất tiếp tuân theo định luật đối xứng:

Những mặt đó gọi là mặt chính Những phương vuông góc với mặt chính là phương chính, những ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính gọi là ứng suất chính Những ứng suất chính còn là những ứng suất pháp cực trị của một trạng thái ứng suất, các ứng suất chính kí hiệu là:   1; ;2 3 theo quy ước 1  2  3

Dựa vào khái niệm ứng suất chính, ta phân trạng thái ứng suất ra ba dạng sau:

- Nếu hai ứng suất chính bẳng 0 ta gọi là trạng thái ứng suất đơn (đường) (hình 3-4a)

- Nếu một ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng suất phẳng (hình 3- 4b)

- Nếu cả ba ứng suất chính đều khác 0 ta gọi trạng thái ứng suất ấy là trạng thái ứng suất khối (hình 3- 4c)

Hình 3-4 3.2 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng giải tích

Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, xuất phát từ những ứng suất pháp và ứng xuất tiếp đã cho:   x; y; xy

Hãy xác định  u; uv trên mặt song song với trục có phần tuyến xuyên góc với trục x Xác định ứng suất chính, phương chính, ứng suất tiếp cực trị vv (Hình 3-5)

u

v

Hình 3-5 Góc α được xác định từ hướng dương của trục x tới hướng dương của pháp tuyến ngoài của mặt cắt là dương khi chúng quay ngược chiều kim đồng hồ, và là âm trong trường hợp ngược lại

Sau khi xét cân bằng của phân số, chúng ta có được những kết quả sau:

Khi giải (3.2) ta tìm được     45 ;450 0

Nếu: 1là maxthì  là 1(tương ứng với max)

x y

   là maxthì  là 2(tương ứng với min)

2 max,min

Bây giờ ta xét phân tố ở trạng thái ứng suất khối với các thành phần:

E

            1





3.4 Lý thuyết bền

3.4.1 Khái niệm về lý thuyết bền

- Đối với các nhân tố vật liệu ở trạng thái ứng suất đơn giản như: trạng thái ứng suất đơn (trong trạng thái bị kéo nén), trạng thái trượt thuần túy (trong trạng thái bị cắt hoặc xoắn), ta có thể lập được điều kiện bền từ thí nghiệm:

phép ta đánh giá được độ bền của vật liệu ở mọi trạng thái ứng suất khi ta chỉ biết độ bền của vật liệu ở trạng thái ứng suất đơn

Thuyết này ít phù hợp với thực tế

2 Lý thuyết biến dạng dài tương đối cực đại ( thuyết bền 2 ), vào những năm 1682, Mariod đã đề ra lý thuyết này và mãi đến thế kỉ XIX Xanh-Vơ –Năng mới hoàn chỉnh lý thuyết này:

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương đối cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân

tố ở trạng thái ứng suất đơn

Theo lý thuyết này ta có:

3 Lý thuyết ứng suất tiếp cực đại (thuyết bền 3) do Culông đưa ra vào năm 1773

Theo lý thuyết này nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Thuyết này phù hợp với nhiều vật liệu dẻo

4 Lý thuyết thế năng biến đổi hình dáng cực đại (thuyết bền thứ tư)

Được Huybe phát triển năm 1904

Theo lý thuyết này nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dáng ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Trạng thái ứng suất đơn

Từ đây ta có điều kiện bền:

2 1 4

Thuyết bền 4 phù hợp tốt đối với vật liệu dẻo

5 Thuyết bền Mo (lý thuyết bền thứ năm)

Nghiên cứu về các trạng thái giới hạn Theo thuyết bền này ta có điều kiện bền

4 Đặc trưng hình học của mặt cắt

4.1 Mô men tĩnh và mô men quán tính

Giả sử có mặt cắt ngang với diện tích F như hình 4.1 Xác định trong mặt phẳng chứa mặt cắt một hệ trục tọa độ oxy và gọi x, y là tọa độ của một điểm A nào đó trên mặt cắt Lấy cung quanh A một phân tố diện tích dF Ta lần lượt xét các khái niệm sau đây

Vì x, y có thể âm hoặc dương nên mô men tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương

- Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào đó bằng không, thì trục đó gọi là trục trung tâm

- Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt

Xuất phát từ định nghĩa đó ta dễ dàng thiết lập công thức xác định tọa độ trọng tâm của diện tích F:

- Ngoài ra ta còn chứng minh một cách dễ dàng các tính chất sau:

+ Một đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm C đều là trục trung tâm của mặt cắt

+ Một hình phẳng có trục đối xứng, thì trục đối xứng đó là trục trung tâm

4.1.2 Mô men quán tính đối với một trục

- Mô men quán tính của diện tích F đối với trục x hay trục y là các biểu thức sau:

dF y J

4.1.3 Mô men quán tính độc cực

Mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O là biểu thức sau:

dF J

p x y dF J J

J   ( 2  2)  4.1.4 Mô men quán tính ly tâm

- Mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trụ tọa độ oxy là:

Có kích thước h, b và ox, oy _ là các trục trung tâm (Hình 4.2) Áp dụng định nghĩa ta

có công thức tính các mô men quán tính như sau:

4

1 , 0

D J

Jx  y   

(4.9)

Hình 4.4 Hình vành khăn (tròn rỗng)

Có đường kính trong và đường kính ngoài là d, D thì:

) 1

( 1 , 0 ) 1

( 32

4 4

( 05 , 0 ) 1 ( 64

4 4

4

4

D D

D J

4.2 Công thức chuyển đổi trục của mô men quán tính

4.2.1 Công thức chuyển đổi trục song song của mô men quán tính

Giả sử ta đã biết mô men tĩnh và mô men quán tính của diện tích F đối với hệ trục oxy

Ta cần phải tính mô men quán tính của diện tích F đối với hệ trục OXY song song với

hệ trục oxy (Hình 4.5)

Hình 4.5

Áp dụng định nghĩa, sau khi tính toán ta có:

F b bS J

JX  x  2 x  2

F a aS J

JY  y  2 y  2

abF F

b bS aS

J

JXY  xy  x  y  2 

Đặc biệt khi oxy là hệ trục trung tâm thì:

F b J

F a J

abF J

JXY  xy 4.2.2 Công thức xoay trục của mô men quán tính

Giả sử biết mô men quán tính của diện tích F đối với hệ trục oxy

Ta cần tính mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục ouv Hệ trục này là vị trí của oxy sau khi đã xoay đi một góc  ngựợc chiều kim đồng hồ (qui ước chiều dương) Xem hình 4-6

o

F v

u Y

X



Hình 4-6 Sau khi tính toán ta có kết quả:

xy

J J

J tg





2 

2 2

min max

2

y x y

x

JJ

JJ

JJ

Jtg

JJ

Jtg

F

F x F x

20 40

20 7 40 1

2 1

2 2 1

F

F y F y

40 20

20 1 40 10

2 1

2 2 1

12

10 2 40 3 12

20 2

cm F

b J J

i

i i x



2 1

12

2 10 40 2 12

20 2

cm F

a J J

i

i i y



2 1

720 20

).

6 (

4 40 3 ).

2

F b a J

J

i

i i i y yo



Hình 4.7

5 Uốn ngang phẳng của thanh phẳng

5.1 Khái niệm chung

- Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực

Những thanh chịu uốn đuợc gọi là dầm Dầm là bộ phận thường gặp trong các công trình hoặc máy móc

- Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay phân bố có đường tác dụng vuông góc với trục dầm; hoặc là những mô men tập trung hay phân bố nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm

Ngoài ra ta còn đưa ra một số định nghĩa sau:

+ Nếu ngoại lực cùng đặt trong một mặt phẳng, mặt phẳng này chứa trục dầm, thì ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tải trọng

+ Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường tải trọng

+ Nếu trục của dầm sau khi bị uốn là một đường cong nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó gọi là uốn phẳng hay uốn đơn

Trong chương này chúng ta chỉ xét các dầm có ít nhất một mặt đối xứng đi qua trục của dầm và ngoại lực cũng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó

5.2 Nội lực khi uốn phẳng

5.2.1 Các thành phần nội lực

Trong trường hợp tổng quát của dầm chịu uốn ngang phẳng, trên mặt cắt ngang của dầm

có hai thành phần nội lực: lực cắt Qy và mô men uốn Mx

- Lực cắt (lực ngang) Qy: là đại luợng đại số Qy được xem là dương khi quay pháp tuyến ngoài của mặt cắt một gốc 90o thuận chiều kim đồng hồ thì chiều của lực cắt Qy trùng với chiều của pháp tuyến ngoài Qy được xem là âm trong trường hợp ngược lại (xem hình 5.1)

Hình 5.1

- Mô men uốn Mx: là đại lượng đại số Mx được xêm là dương khi nó làm cho các thớ phía dương của trục y (phía dưới) chịu kéo Mx được xem là âm khi nó làm cho các thớ phía dương của trục y chịu nén (xem hình 5.2)

Hình 5.2 5.2.2 Liên hệ vi phân giữa các thành phần nội lực và tải trọng

Khi tải trọng tác dụng lên dầm thay đổi thì nội lực trong dầm cũng thay đổi theo Ta dễ dàng tìm được sự liên hệ giữa chúng

- Đạo hàm của lực cắt là bằng cường độ của lực phân bố theo chiều dài

q dz

dQy



Khi xét liên hệ vi phân dấu của tải trọng được qui ước như sau:

q > 0 khi q 

hướng lên trên

p > 0 khi p hướng lên trên

M > 0 khi M quay cùng chiều kim đồng hồ

- Đạo hàm của mô men uốn bằng lực cắt

y

x Q dz

- Đạo hàm bậc 2 của mô men uốn bằng cường độ cường độ của lực phân phân bố theo chiều dài

q dz

- Biểu đồ nội lực là đường biểu diễn sự thay đổi của nội lực dọc theo chiều dài của dầm

- Hướng dương của biểu đồ lực cắt Qy – hướng lên trên (ngựợc chiều với trục y)

- Hướng dương của biểu đồ mô men uốn – hướng xuống dưới (cùng chiều với trục y) Thí dụ 5.1: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ (Hình 5.4)

RA  B 

- Xác định Qy, Mx:

+ Phân doạn: AC, CB

+ Xét đoạn AC: dùng mặt cắt bất kỳ 1-1 Xét cân bằng phần trái:

; 2

0

1

p Q

p

2l

; 2

Xét đoạn CB: dùng mặt cắt bất kỳ 2-2 Xét cân bằng phần phải ta có:

- Biểu đồ: xem hình 5-4

Hình 5-4

Thí dụ 5.2 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ (hình 5-5) Bài giải

- Xác định ngoại lực:

2

ql R

RA  B 

- Xác định Qy, Mx

+ Phân đọan : 1 đoạn

+ Dùng mặt cắt bất kỳ 1-1 và xét cân bằng phần trái ta có:

1 1

2 qz

ql

2 2

2 1 1 1

qz z

+ Bậc của biểu đồ lực cắt lớn hơn bậc của tải trọng phân bố một bậc; bậc của biểu đồ

mô men uốn lớn hơn bậc của biểu đồ lực cắt một bậc

+ Tại vị trí có lực tập trung P tác dụng, biểu đồ lực cắt Qy có bước nhảy và:

+ Tại vị trí có lực tập trung tác dụng, biểu đồ mômen uốn Mx bị gãy khúc

+ Tại vị trí có Qy = 0, biểu đồ mômen uốn Mx đạt cực trị

+ Tại gối đỡ hoặc đầu công xôn không có mômen tập trung tác dụng thì Mx = 0

+ Chiều lồi của biểu đồ mômen uốn Mx cùng chiều với tải trọng phân bố q

5.4 Uốn thuần túy phẳng

5.4.1 Định nghĩa: Một thanh được gọi là uốn thuần túy khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ

có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính trung tâm

Hình 5-7 5.4.2 Biến dạng của thanh khi chịu uốn thuần túy

Thí nghiệm: Ta lấy một thanh có mặt cắt ngang là hình chữ nhật cho chịu lực như hình

Hình 5-8 Các giả thuyết:

+ Giả thuyết mặt cắt phẳng ( Béc-Nu-Li )

Mặt cắt ngang của dầm ban đầu phẳng và vuông góc với trục thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục

+ Giả thuyết về các thớ dọc

Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau cũng không đẩy xa nhau

Hình 5-9 Biến dạng của dầm

+ Quan sát biến dạng của dầm sau khi bị uốn ta nhận thấy: các thớ phía trên bị co lại, các thớ phía dưới bị dãn ra Như vậy từ thớ co sang thớ dãn sẽ có thớ không bị co cũng không

bị dãn – thớ đó gọi là thớ trung hoà Các thớ trung hoà lập thành một lớp gọi là lớp trung hoà Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa

+ Như vậy biến dạng của dầm khi chịu uốn phẳng thuần túy là sự quay tương đối của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa

Biến dạng của đoạn thanh: ta xét một đoạn dầm dz

Sau biến dạng hai mặt cắt tạo với nhau một góc d  , lớp trung hòa có bán kính cong

 (Hình 5-9)

Các thớ nằm trên lớp trung hòa không bị biến dạng vẫn có chiều dài dz:

.

dz    dBiến dạng tương đối của thớ AB cách thớ trung hòa một khoảng cách y là:

5.4.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét mặt cắt ngang nào đó (hình 5-10) Lập hệ trục tọa độ oxyz:

ox – là đường trung hòa

oy – là trục đối xứng

oz – song song với trục thanh

Hình 5-10 Tại B ta tách phân tố hình hộp bởi các mặt song song với các mặt tọa độ

+ Theo hai giả thuyết ở trên ta suy ra sau biến dạng các góc vuông của phân tố không thay đổi, nghĩa là trên các mặt của phân tố không có ứng suất tiếp Phân tố chỉ có một thành phần ứng suất pháp z

+ Áp dụng định luật Húc đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn ta có:

.

z E z

Trong đó E là mô đuyn đàn hồi của vật liệu

Công thức của ứng suất pháp

+ Sx  0 tức là 0 Trọng tâm của mặt cắt ngang

M

E J

Tích EJx- gọi là độ cứng của dầm khi uốn

E – đặc trưng cho độ cứng của vật liệu khi uốn