081 đề hsg toán 8 thuận thành 22 23

UBND HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (6,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P 2) Với x >0 thì P không nhận những giá trị nào ? 3) Tìm giá trị[.]

UBND HUYỆN THUẬN THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (6,0 điểm) Cho biểu thức :

2

:

P

1) Rút gọn biểu thức P

2) Với x >0 thì P không nhận những giá trị nào ?

3) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Bài 2 (6,0 điểm)

y z z x x y  Tính giá trị của biểu thức

M

y z z x x y

2) Giải phương trình sau :

13 22 31

2006 1997 1988

b x x  x x 

Bài 3 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, K là một điểm di động trên cạnh BC, gọi P và

Q lần lượt là hình chiếu của K trên AB và AC

1) Chứng minh tứ giác APKQcó bốn đỉnh cách đều một điểm, tìm điểm đó ? Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQlà hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí điểm K trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất

2) Vẽ các đường cao AA BB CC', ', 'của tam giác ABC, trực tâm H

a) Tính tổng ' ' '

b) Gọi AI là tia phân giác của tam giác ABC, IM, IN thứ tự là phân giác của các góc AIC, AIB (MAC N, AB).Chứng minh AI BI CM . BN IC AM .

Bài 4 (2,0 điểm) Chứng minh B n 414n371n2154n120chia hết cho 24

ĐÁP ÁN Bài 1 (6,0 điểm) Cho biểu thức :

2

4) Rút gọn biểu thức P

2

2

2

2

:

:

3 ( 3)( 9)

:

P

5) Với x >0 thì P không nhận những giá trị nào ?

3

P x





Với

1 0

3( 1)

1

1 0

P

P

P

P

  





   

 

 

 

 

 Vậy khi x0,x3thì P không nhận giá trị từ -1 đến 1

6) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

1

3 (6) 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6 3;0;1; 2; 4;6;9

P

x

        

  

Đối chiều điều kiện suy ra x 0;1;2;4;5;6;9

Bài 2 (6,0 điểm)

y z z x x y  Tính giá trị của biểu thức

M

y z z x x y

Nếu x y z   0 x(y z y ), (x z z ); (x y )

y z  z x  x y        (trái giả thiết) vậy x y z  0 Từ :

 

1

0 2019

x y z x y z

M

4) Giải phương trình sau :

2006 1997 1988 2006 1997 1988

2006 1997 1988

a

2

2

6 0( )

1

2 2 0 1 ( 2) 0

2

x

x

   



         





Vậy x1;x2

Bài 3 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, K là một điểm di động trên cạnh BC, gọi

P và Q lần lượt là hình chiếu của K trên AB và AC

H

C'

B'

A'

Q P

O A

B

C K

3) Chứng minh tứ giác APKQcó bốn đỉnh cách đều một điểm, tìm điểm đó ? Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQlà hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí điểm K trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất

Gọi O là trung điểm của đoạn AK, suy ra PO và QO là đường tung tuyến ứng với cạnh huyền AK của tam giác vuông APK và AQK

Suy ra

1

4 2

đỉnh của tứ giác APKQ cách đều điểm O

Tứ giác APQKlà hình chữ nhật khi và chỉ khi PAQ90  ABCvuông tại A

Khi đó hai đường chéo AK PQ

Vậy PQ đạt giá trị nhỏ nhất khi AK đạt giá trị nhỏ nhất Ta có AK AA'không đổi Vậy PQ nhỏ nhất khi AK AA' K A'

4) Vẽ các đường cao AA BB CC', ', 'của tam giác ABC, trực tâm H

c) Tính tổng ' ' '

Ta có :

ABC

AH



Tương tự :

;

2

d) Gọi AI là tia phân giác của tam giác ABC, IM, IN thứ tự là phân giác của các góc AIC, AIB (MAC N, AB).Chứng minh AI BI CM . BN IC AM .

N M

I

A

B

C

Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác ABC, ABI, ACI có :

; ;

IB AB AN AI CM IC

IC AC NB IB MA AI

IB AN CM AB AI CI AB CI AB CA

IC NB MA AC IB IA AC BI AC AB

BI AN CM IC NB AM

Bài 4 (2,0 điểm) Chứng minh B n 4 14n3 71n2 154n 120chia hết cho 24

14 71 154 120

2 2 8 8 24 72 144 120

1 1 2 8 ( 1)( 1) 24 72 144 120

Ta có n1 n1 n n2là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và có tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8

Mà 3;8 1, 3.8 24  n1 n1 n n2 24

n1 n1n3 8n1 n1n24; 24n372n2144n120 24 nên B24