072 đề hsg toán 8 đống đa 22 23

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN Ngày thi 17/01/2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Cho là các số thực khác thỏa m[.]

111Equation Chapter 1 Section

1UBND QUẬN ĐỐNG ĐA

TRƯỜNG THCS NGUYỄN

TRƯỜNG TỘ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC: 2022-2023

MÔN: TOÁN Ngày thi: 17/01/2023 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I: (5,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số thực khác 0 thỏa mãn

1 1 1

3

a b c   và a b c abc   Tính giá trị

của biểu thức 2 2 2

P

a b c

2) Tìm các số thực a b, sao cho đa thức P x( )x3 2x2ax b chia hết cho đa thức

x  x

Bài II: (5,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x2 x 2(3 xy y )

2) Giải các phương trình sau:

a)

1

2015 2016 2017

b) x1 ( x28x 4)2 (5x2 4)2

Bài III: (3,0 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 13 11

1

P

x x



 

2) Cho a b c, , là các số thực khác a b c  1 Chứng minh rằng

b a c

ab bc ca

a  c  b    

Bài IV: (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn có các đường caoAD BE CF, , cắt nhau tại H Gọi P

là trung điểm củaBC, đường vuông góc với HPtại HcắtAB AC, tại R S,

HD HE HF

AD  BE CF

2) Chứng minh rằng HR HS

3) Trên các đoạn HB HC, lấy các điểm M N, tùy ý sao cho HM CN Chứng minh đường trung trực của MNluôn đi qua một điểm cố định

Bài V: (1,0 điểm) Cho tam giácABCđều có cạnh bằng 2cm Bên trong tam giác này cho 5 điểm

bất kỳ Chứng minh rằng trong 5 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1cm

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài I: (5,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số thực khác 0 thỏa mãn

1 1 1

3

a b c   và a b c abc   Tính giá trị

của biểu thức 2 2 2

P

a b c

Lời giải

Ta có:

2

1 1 1

9

a b c

a b c ab bc ca

9 2 c a b 7

 

7

P

a b c

2) Tìm các số thực a b, sao cho đa thức P x( )x3 2x2ax b chia hết cho đa thức

x  x

Lời giải

Theo bài cho:

P   a b 

P  a b 

Giải hệ tìm được:  1

2

a

b

Vậy: a = -1 , b = 2

Bài II: (5,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x2 x 2(3 xy y )

Lời giải

Theo bài cho ta có: x2  x 6 2xy 2y

2

x x

 

* Khi x 1 (loại)

* Khi x 1 để 2 y Z

6 1

x



Mà x Z  x 1 là U 6

Vậy các cặp số: ( , )x y    2, 2 ;( 3,0); 4,1 ; 0,3 ; 1,1 ; 2,0 ; 5, 2 ; 7,3              

2) Giải các phương trình sau:

a)

1

2015 2016 2017

b) x1 ( x28x 4)2 (5x2 4)2

Lời giải

a)

1

2015 2016 2017

2017 2017 2017

2015 2016 2017

2015 2016 2017

2017 x 0

2017

x

Vậy: S 2017

b) x1 ( x28x 4)2 (5x2 4)2

x 2 x4 24x2 8x3 32x 16 0

x 25 0

2

x

Vậy: S 2

Bài III: (3,0 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 13 11

1

P

x x



 

2) Cho a b c, , là các số thực khác a b c  1 Chứng minh rằng

b a c

ab bc ca

a  c  b    

Lời giải

1) * Có

2 13 11 3( 2)

P

1 0

P

    P1dấu = xảy ra khi và chỉ khi x 2

* Có

P

27 0

P

    P27

dấu = xảy ra khi và chỉ khi

4 5

x 

Vậy: MaxP 27khi

4 5

x 

1

MinP  khi x 2

2) Ta có:

 2 2 22

a b c

c a b a c b a c b a c b a c b

 

Ta chứng minh

 2 2 22

a b c

a b b a c b

a c b a c b

 

(a b c ) 3(a b b a c b)

(a b c a)( b c ) 3(a b b a c b) 0

a ba ac ba b bc ca cb c a c b a c b

a a c b b a c c b

Vậy

b a c

ab bc ca

a  c  b    

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2

1, , , 0

1 1 1

a b c a b c

c a b

a b b c a c







 







1 3

a b c

   

Bài IV: (6,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn có các đường caoAD BE CF, , cắt nhau tại H Gọi P

là trung điểm củaBC, đường vuông góc với HP tại Hcắt AB AC, tại R S,

HD HE HF

AD BE CF

2) Chứng minh rằng HRHS

3) Trên các đoạn HB HC, lấy các điểm M N, tùy ý sao cho HM CN Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

S' R'

M R

S

P

E F

H

D

A

N

1) Ta có:

1

HBC HAC HAB ABC ABC ABC ABC ABC

HD HE HF

AD  BE CF S  S S S 

2) Lấy điểm R S', 'lần lượt là trung điểm của FB EC, sao cho PR'PF, PS'EC

Vì FHB∽ EHC(g.g)

 FHR'∽ EHS' FR H ' ES H '  FR H ' SS H ' (1)

Xét tứ giác HSS P' cóSHP SS P  ' 900

Chứng minh được SS H ' SPH (2)

Gọi O là trung điểm của SPta có:

1 2 1 ' 2

SPH SOH

SS H SOH











Chứng minh tương tự ta có RPH FR H' (3)

Từ (1), (2) và (3): RPH SPH

Tam giácPRScóPH RS; RPH SPH

Suy ra: tam giác PRS cân tại P

HR HS

3)

* Khi M M' N H

Khi M H  N C

Gọi giao điểm của hai đường trung trực của đoạn HM'vàCHcắt nhau tại Q Qcố định Khi đó QM'QH QC và QHM'QCH

Khi hai điểm M N, thay đổi thỏa mãn đầu bài

ta chứng minh QHM'QCH (c.g.c)

MQ NQ

 Đường trung trực của đoạnMN luôn đi qua điểm Qcố định

Bài V: (1,0 điểm) Cho tam giác ABCđều có cạnh bằng 2cm Bên trong tam giác này cho 5 điểm

bất kỳ Chứng minh rằng trong 5 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1cm

Lời giải

E D

A

GọiD E F, , lần lượt là trung điểm của AB AC BC, ,

Khi đó tam giác ABCđược chia làm 4 tam giác bằng nhau không có điểm trong chung mỗi cạnh bằng 1cm

Trong tam giác ABCcó 5 điểm bất kỳ theo nguyên lý Di-rich-le luôn có 1 tam giác chứa

ít nhất hai điểm Khi đó 2 điểm ấy có khoảng cách nhỏ hơn 1

Vây: Trong tam giácABCđều có cạnh bằng 2cm Bên trong tam giác này cho 5 điểm bất

kỳ Trong 5 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1cm

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =