Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR

Không gian vector tổng quát• Khi đó V với phép cộng và nhân như trên đgl không gian vector trên ℝ nếu thỏa các tính chất sau:... Ví dụ: Không gian vector con của Mn ℝi Tập tất cả các ma

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR

KHÔNG GIAN VECTOR ℝn

Tính chất của các phép toán trên ℝn

Không gian vector tổng quát

• Khi đó V với phép cộng và nhân như trên đgl không gian vector trên ℝ nếu thỏa các tính chất sau:

Các ví dụ về không gian vector

Các ví dụ về không gian vector

Không gian vector con

10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 8

Phương pháp xác định không gian vector con

Ví dụ: Tập con của ℝn nhưng không là KGVT con.

Ví dụ: Không gian vector con của Mn (ℝ)

i) Tập tất cả các ma trận đối xứng cấp n

ii) Tập tất cả các ma trận chéo cấp n

iii) Tập tất cả các ma trận tam giác trên cấp n

Ví dụ: Tập con của Mn (ℝ) nhưng không là KGVT con.

Tập các ma trận vuông cấp n khả nghịch

Phương pháp xác định tổ hợp tuyến tính

Để kiểm tra vector u có là tổ hợp tuyến tính của các vector

u1 , u2 …, um hay không, ta giải phương trình

Viết lại phương trình trên dưới dạng ma trận là

Dùng phép khử Gauss đưa ma trận về dạng bậc thang hoặcdạng chính tắc

 Nếu rank( ) < rank( ) thì phương trình vô nghiệm Kết luận u không là tổ hợp

tuyến tính của u1 , u2 …, um

 Ngược lại, phương trình có nghiệm KL: u là tổ hợp tuyếntính của u1 , u2 …, um

Ví dụ

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ họ các vector độc lập tuyến tính

{ (1,2,3) } , { (1,0) , (0,1) }{ (1,0,0), (0,1,0) } ,

{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) }

u1, u2 ,…,um ĐLTT ↔ AX= 0 chỉ có nghiệm (0,…,0)

u1, u2 ,…,um ĐLTT ↔ AX= 0 chỉ có nghiệm (0,…,0)

↔ rank(A) = m

Tính chất

Lưu ý: Một tập hợp các vector là phụ thuộc tuyến tính nếu

và chỉ nếu có 1 vector trong đó là tổ hợp tuyến tính của cácvector còn lại

Nếu u là tổ hợp tuyến tính của các vector u1 , u2 …, um, tanói u phụ thuộc tuyến tính vào các vector u1 , u2 …, um

PP xác định tính ĐLTT và PTTT

Để xác định tập hợp S={u1 , u2 ,…, um} ĐLTT hay PTTT, xét phương trình:

 S độc lập tuyến tính ↔ PT có chỉ có nghiệm tầm thường

↔ rank(A) = m

1 2

10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 20

Không gian con sinh bởi tập hợp

Định lý: Cho V là không gian vector và S = {u1 , u2 …, um }

là tập con khác rỗng của V Khi đó:

•

(Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong

S là một không gian vector con của V)

• W là không gian vector con nhỏ nhất của V chứa S,

W   u  u     u        V

• W là không gian vector con nhỏ nhất của V chứa S,

nghĩa là,

nếu U ≤ V và S ⸦ U thì W ⸦ V

W = span (S) đgl không gian vector con của V sinh bởi S

Ví dụ: Không gian vector con của ℝ3

Tập sinh, cơ sở và số chiều của KGVT

Cho V là không gian vector và tập hợp S gồm n vector thuộc V

 Nếu V = span (S), nghĩa là mọi vector của V là tổ hợp tuyến

tính của các vector trong S, thì S đgl tập sinh của V

 Nếu V = span(S) và S độc lập tuyến tính thì

 Nếu V = span(S) và S độc lập tuyến tính thì

• S đgl cơ sở của V

• n = |S| đgl số chiều của V, kí hiệu là n = dim(V)

Cơ sở = Tập sinh + độc lập tuyến tính

 Nếu S là cơ sở của V thì mọi vector của V đều có biểu diễn

duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector của S

10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 25

Nhận xét

ℝn có cơ sở chính tắc gồm n phần tử, do đó dim(ℝn) = n và

mọi cơ sở của ℝn phải có đúng n phần tử



Kiểm tra một tập hợp có là cơ sở của ℝn

Cho S = {u1 , u2 …, um } ⸦ ℝn Kiểm tra S có là cơ sở của

ℝn hay không

1 Nếu m ≠ n thì S không là cơ sở của ℝn

2 Nếu m = n, đặt

1 2

uuA

Cơ sở và chiều của không gian sinh bởi tập hợp

10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 29

Không gian nghiệm của HPTTT thuần nhất

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m

phương trình và n ẩn

AX = 0

Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ là một không gian

vector con của ℝn

Bài toán: Tìm cơ sở và chiều của không gian nghiệm W của

Bài toán: Tìm cơ sở và chiều của không gian nghiệm W của

hệ AX = 0

 Giải hệ AX=0 (dùng phép BĐSC trên dòng)

 TH: hệ chỉ có nghiệm tầm thường, W={0}

cơ sở là tập rỗng, dim(W) = 0

 TH hệ có vô số nghiệm: Biểu diễn nghiệm tổng quát

theo các ẩn tự do và suy ra cơ sở và chiều

10/3/2018 Nguyễn Ngọc Ái Vân 31

Không gian nghiệm:

{u,v} là tập sinh độc lập tuyến tính của W suy ra {u,v} là cơ sở của

W và dim(W)=2.

cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các

[ ]B

n

xxx

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để tìm nghiệm

được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang C

Khi biết tọa độ của một vector theo cơ sở B, ta có thể

tính tọa độ của vector theo cơ sở C bởi công thức sau

1

[ ] x C  PCB  [ ] x B  ( PB C )  [ ] x B

Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc

Cho E là cơ sở chính tắc và B là một cơ sở khác của ℝn

PP tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C

PP tìm tọa độ bằng ma trận chuyển cơ sở

Tìm tọa độ của vector u theo cơ sở

Khi đó C là cơ sở của V nếu và chỉ nếu P khả nghịch Hơnnữa, trong trường hợp này

Kiểm tra một họ n vector là cơ sở của ℝn

Kiểm tra họ vector C ⸦ ℝn là cơ sở của ℝn