Bài giảng phân tích định lượng

(Microsoft PowerPoint SLIDE B\300I GI?NG PT\320L) 28/01/2020 1 1 PHAÂN TÍCH ÑÒNH LÖÔÏNG 2 � Trong thöïc teá hoaït ñoäng cuûa caùc ngaønh luoân phaûi ñoái maët vôùi vieäc ñöa ra caùc quyeát ñònh khaùc[.]

1PHÂN TÍCH ĐỊNH LƯỢNG

Trong thực tế hoạt động của các ngành luôn

phải đối mặt với việc đưa ra các quyết định

khác nhau Sự thành công hay thất bại của chủ

thể tuỳ thuộc rất lớn vào các quyết định này

Lý thuyết ra quyết định là một phương pháp

phân tích vấn đề một cách hệ thống, hổ trợ

cho việc đưa ra quyết định tốt nhất.

LÝ THUYẾT RA QUYẾT ĐỊNH

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN KHI RA MỘT QUYẾT ĐỊNH

1- Xác định vấn đề cần ra quyết định.

2- Xác định các phương án (Alternatives) có thể có.

3- Xác định các tình huống / trạng thái (Events) có thể có.

4- Xác định các lợi ích (profit) hay sự trả giá (Pay-off)

tương ứng với từng tổ hợp.

5- Xác định môi trường ra quyết định.

6- Lựa chọn mô hình ra quyết định.

Ví dụ : Xem xét một công ty muốn mở rộng sản xuất

Bước 1 : Vấn đề có nên sản xuất và tiếp thị một loại sản phẩm

mới B hay không?

Bước 2 : Các phương án có thể có :

- Phương án 1 : Xây dựng nhà máy lớn

- Phương án 2 : Xây dựng nhà máy nhỏ

- Phương án 3 : Không sản xuất

Bước 3 : Các tình huống có thể xảy ra :

- Sản phẩm được thị trường chấp nhận và ưa chuộng

Bước 4 : Xác định lợi ích và sự trả giá cho từng kết hợp của những

phương án và các tình huống

Giả sử công ty chọn lợi nhuận làm cơ sở quyết định, các tham số

thể hiện ở bảng sau (bảng ra quyết định) :

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn không hứa hẹnThị trường 1-Xây dựng nhà máy lớn.

2-Xây dựng nhà máy nhỏ.

3-Không sản xuất.

200,000 100,000 0

-180,000 -20,000 0Bước 5 & 6 : Xác định môi trường ra quyết định và lựa chọn

mô hình ra quyết định

MÔI TRƯỜNG RA QUYẾT ĐỊNH VÀ CÁC MÔ HÌNH

RA QUYẾT ĐỊNH TRONG MÔI TRƯỜNG RỦI RO

( Decision Under Risk)

Môi trường rủi ro là môi trường mà người ra quyết

định không biết chắc chắn tình huống nào sẽ xảy ra

Tuy nhiên, có thể biết được xác suất xảy ra của các

tình huống khác nhau.

Trong môi trường rủi ro, người ra quyết định thường

sử dụng tiêu chuẩn giá trị kỳ vọng để ra quyết định.

1-Tiêu chuẩn ra quyết định dựa trên giá trị lợi ích kỳ

vọng (Expected Monetary Value) :

P(k)

* k) Pr(i, Max{EMV(i)

• EMV(i) : Giá trị lợi ích kỳ vọng của phương án i.

• Pr(i,k) : Lợi nhuận tương ứng với phương án i và tình

huống k

• P(k) : Xác suất xảy ra của tình huống thứ k.

Ví dụ : Xem xét một công ty muốn mở rộng sản

xuất Xét bảng lợi nhuận sau :

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn không hứa hẹnThị trường 1-Xây dựng nhà máy lớn

2-Xây dựng nhà máy nhỏ

3-Không sản xuất

200,000100,0000

-180,000-20,0000Giả sử xác suất xảy ra của các tình huống là như nhau (= 50%)

ta được :

2-Tiêu chuẩn quyết định dựa trên giá trị mất mát cơ hội

kỳ vọng (Expected Opportunity Loss) :

} P(k)

* k) OL(i, Min{EOL(i)

n

1 i

∑

=

=

• EOL(i) : Giá trị mất mát kỳ vọng của phương án thứ i

• OL(i,k) : Giá trị mất mát cơ hội tương ứng với phương án i

và tình huống k

• P(k) : Xác suất xuất hiện của tình huống k

Khái Niệm : Mô hình này dựa trên cơ sở chi phí cơ

hội, tức là tổn thất gây ra do chọn phương án nào đó

và từ chối một phương án khác

Công thức tính :

Ví dụ : Xem xét một công ty muốn mở rộng sản xuất Giả sử kết

quả tốt nhất (lợi nhuận tối đa) cho từng tình huống như sau :

@ Thị trường hứa hẹn : 200,000 $

@ Thị trường không hứa hẹn : 0 $

Ta được bảng mất mát cơ hội sau :

(OL = lợi nhuận tối đa – lợi nhuận thực)

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn không hứa hẹnThị trường 1-Xây dựng nhà máy lớn

2-Xây dựng nhà máy nhỏ

3-Không sản xuất

0100,000200,000

180,00020,0000Giả sử xác suất xảy ra của các tình huống là như nhau và = 50%

ta được :

EOL(1) = 0.5*0 + 0.5*180,000 = 90,000EOL(2) = 0.5*100,000 + 0.5*20,000 = 60,000EOL(3) = 0.5*200,000 + 0.5*0 = 100,000

RA QUYẾT ĐỊNH TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG

XÁC ĐỊNH (DECISION UNDER UNCERTAINTY)

Môi trường không xác định là môi trường mà người

ra quyết định không có bất cứ một thông tin nào.

Sự lựa chọn mô hình thích hợp phụ thuộc vào cá

tính của người ra quyết định.

1-Tiêu chuẩn Maximax (Quyết định lạc quan) :

Phương án tối ưu là phương án có giá trị kết quả tốt nhất

tương ứng với tình huống tốt nhất

Giá trị kết quả tốt nhất là lợi nhuận lớn nhất hay chi phí

bé nhất.

Xét một công ty muốn mở rộng sản xuất với bảng lợi nhuận

sau :

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn Thị trường không hứa hẹn 1-Xây dựng nhà máy lớn.

2-Xây dựng nhà máy nhỏ.

200,000 100,000

-180,000 -20,000

2-Tiêu chuẩn Maximin (Quyết định bi quan) :

Phương án tối ưu là phương án có giá trị kết quả tốt

nhất tương ứng với tình huống xấu nhất

Giá trị kết quả tốt nhất là lợi nhuận lớn nhất hay chi

phí bé nhất.

Xét một công ty muốn mở rộng sản xuất với bảng lợi

nhuận sau :

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn Thị trường không hứa hẹn 1-Xây dựng nhà máy lớn.

2-Xây dựng nhà máy nhỏ.

3-Không sản xuất.

200,000 100,000 0

-180,000 -20,000 0

⇒ Chọn phương án không sản xuất

3-Tiêu chuẩn Laplace :

Tiêu chuẩn này còn gọi là tiêu chuẩn cơ hội xảy ra của các tình

huống là ngang nhau PA tối ưu được chọn là phương án có lợi

nhuận trung bình lớn nhất hoặc chi phí trung bình thấp nhất

Xét một công ty muốn mở rộng sản xuất với bảng lợi nhuận sau

: Các phương án

(Alternatives)

Các tình huống (States of Nature) Tiêu chuẩn

Laplace Thị trường hứa

hẹn

Thị trường không hứa hẹn Xây dựng nhà máy lớn

Xây dựng nhà máy nhỏ

Không sản xuất

200.000 100.000 0

-180.000 -20.000 0

10.000 40.000 0

⇒Chọn phương án xây dựng nhà máy nhỏ do có lợi nhuận

trung bình là lớn nhất

4-Tiêu chuẩn Hurwicz :

Phương án tối ưu là phương án có sự kết hợp giữa tiêu

chuẩn Maximax (lạc quan) và tiêu chuẩn Maximin (bi quan).

Phương pháp thực hiện :

- Chọn hệ số αααα ( 0 ≤ αααα ≤ 1 ).

- Chọn phương án thứ i có giá trị Max theo phương trình :

CH(i) = αααα *Max{Profit(k)} + (1- αααα )*Min{Profit(k)}

αααα → → 1 : người quyết định lạc quan

αααα → → 0 : người quyết định bi quan

Ví dụ : Xem xét một công ty muốn mở rộng sản xuất

Xét bảng lợi nhuận sau :

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn

Thị trường không hứa hẹn1-Xây dựng nhà máy lớn

2-Xây dựng nhà máy nhỏ

3-Không sản xuất

200,000100,0000

-180,000-20,0000Chọn hệ số αααα= 0.8 ta được :

5-Tiêu chuẩn Minimax :

Các phương án Các tình huống

Thị trường hứa hẹn

Thị trường không hứa hẹn1-Xây dựng nhà máy lớn

2-Xây dựng nhà máy nhỏ

3-Không sản xuất

0100,000200,000

180,00020,0000

⇒ Phương án tối ưu được chọn là xây dựng nhà

máy nhỏ do có mất mát cơ hội cực đại bé nhất.

Là tiêu chuẩn dựa trên việc cực tiểu hoá sự hối tiếc

(mất mát cơ hội) cực đại trong từng phương án Với ví

dụ trên ta có bảng mất mát cơ hội sau :

CÂY QUYẾT ĐỊNH

KHÁI NIỆM

Giải quyết bài toán quyết định bằng sơ đồ cây

Dùng để giải quyết bài toán ra quyết định có nhiều

tổ hợp mà không thể trình bày bằng dạng bảng CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG SƠ ĐỒ CÂY

Ký hiệu hình vuông ( ) : Biểu diễn nút quyết định

tại đó xuất phát các phương án.

Ký hiệu hình tròn ( Ο ) : Biểu hiện nút trạng thái tại

đó xuất phát các tình huống.

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

Xác định vấn đề cần ra quyết định.

Vẽ cây quyết định.

Xác định xác suất xảy ra của từng trạng thái (tình

huống).

Xác định giá trị kết quả của từng tổ hợp giữa các

phương án và các trạng thái.

Tìm quyết định tối ưu bằng phương pháp Max(EMV)i.

Vd 1 : Xét bài toán mở rộng sản xuất :

(0.5)

Max(EMV)i=40,000$

EMV2=40,000$

Ví dụ 2 : Cũng là bài toán mở rộng SX trên, trước khi

quyết định xây dựng nhà máy lớn hay nhỏ hoặc không xây,

một công ty có thể quyết định có nên tiến hành thăm dò

thị trường với phí tổn thăm dò là 10,000 $ hay không?

(Thông tin thăm dò này có thể giúp công ty có một quyết

định cuối cùng đúng đắn hơn.)

CÁC THÔNG TIN THĂM DÒ

Kết quả thăm dò thị trường có thể là hứa hẹn với xác suất là 45%

và không hứa hẹn với xác suất là 55%

Trong trường hợp thăm dò hứa hẹn, xác suất thực sự gặp thị

trường thuận lợi là 78%

Trong trường hợp thăm dò không hứa hẹn, xác suất thực sự gặp

thị trường thuận lợi là 27%

4

5

Lớn Nhỏ Không

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Bài tốn quy ho ạ ch tuy ế n tính là bài tốn

t ố i ư u hố hàm m ụ c tiêu v ớ i các ràng bu ộ c

là nh ữ ng bi ể u th ứ c tuy ế n tính theo các bi ế n

s ố và các tham s ố .

1-BÀI TOÁN VỀ LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT

Một nhà máy sx giấy có hai loại nguyên liệu là gổ và acid

với số lượng tương ứng là 5580 m3 và 450 tấn Để sx ra

ba loại giấy A, B, C thì cần tiêu hao nguyên liệu theo bảng

định mức sau :

Biết rằng lợi nhuận tương ứng cho từng loại giấy A, B, C là

4 ; 5 ; 4.3 triệu đồng Hãy lập kế hoạch sx sau cho lợi

nhuận đạt được tối đa.

MÔ HÌNH BÀI TOÁN

xj ≥≥≥≥0 (j = 1, 2, 3)

• Xác đị nh xj sao cho l ợ i nhu ậ n đạ t c ự c đạ i.

Ta có mô hình bài toán c ự c đạ i t ổ ng quát sau :

n 1,2,3, , j

0 xj

m) 1,2,3, , (i

bi xj

* aij

xj)

* cj Maximize(Z

n

1 j

n

1 j

2-BÀI TOÁN VỀ KHẨU PHẦN :

Để có thể tái tạo lại sức lao động, người ta cần ít nhất 70g

protit, 30g lipit và 420g gluxit Hàm lượng các chất trên có

trong 1 g thức ăn A và B như sau :

MÔ HÌNH BÀI TOÁN

Gọi x1, x2 là số thức ăn A, B cần mua Ta có : xj ≥≥≥≥0 (j =1,2)

Hàm lượng các dưỡng chất tối thiểu theo yêu cầu là :

xj ≥≥≥≥0 (j = 1, 2)

29

MÔ HÌNH TỔNG QUÁT BÀI TOÁN CỰC TIỂU

• Gi ả s ử c ơ th ể c ầ n b ổ sung m lo ạ i d ưỡ ng ch ấ t v ớ i nhu c ầ u

t ố i thi ể u là bi (i=1,2,3,…m)

• C ầ n mua n lo ạ i th ứ c ă n trong đ ó l ượ ng d ưỡ ng ch ấ t có

trong m ộ t đơ n v ị th ứ c ă n th ứ j là aij (j = 1,2,3 … n).

• Chi phí c ủ a m ộ t đơ n v ị th ứ c ă n lo ạ i j là cj.

• Xác đị nh xj sao cho t ổ ng chi phí đạ t c ự c ti ể u.

• Ta có mô hình bài toán c ự c ti ể u t ổ ng quát sau :

n1,2,3, ,j

0xj

m)1,2,3, ,(i

bixj

*aij

xj)

*cjMinimize(Z

n 1 j

n 1 j

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM : PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Xét mô hình : Max (Z = 5 * x1 + 3 * x2)

6 * x1 + 2 * x2 ≤ 36

5 * x1 + 5 * x2 ≤ 40

2 * x1 + 4 * x2 ≤ 28x1, x2 ≥≥≥≥ 0

Trên hệ trục tọa độ (x1,x2), dựa vào các ràng buộc, vẽ các

Tìm miền xác định của ràng buộc 2 : 5.x1 + 5.x2 ≤ 40

6.x1+2.x2 ≤≤≤≤36

2.x1+4.x2 ≤≤≤≤28 5.x1+5.x2 ≤≤≤≤40

2- Bài toán cực tiểu : Xét mô hình

Min (Z = 2 * x1 + 4 * x2)

2 *x1 + x2 ≥≥≥≥ 14 x1 + x2 ≥≥≥≥ 12 x1 + 3 * x2 ≥≥≥≥ 18 x1 , x2 ≥≥≥≥ 0 Trên hệ trục tọa độ (x1,x2), dựa vào các ràng buộc, vẽ

các đường thẳng :

2 * x1 + x2 = 14

x1 + x2 = 12 x1 + 3 * x2 = 18

x1+3.x2 = 18

2.x1+ x2 = 14 x1+ x2 =12

2.x1+ x2 ≥≥≥≥14 x1+ x2 ≥≥≥≥12

Tìm miền xác định của ràng buộc 1 và 2 :

x1+3.x2 ≥≥≥≥18

Tìm miền xác định của ràng buộc 3 : x1 + 3.x2 ≥ 18

x1+3.x2 ≥≥≥≥18

2.x1+ x2 ≥≥≥≥14 x1+ x2 ≥≥≥≥12

Tìm miền xác định của ràng buộc 1, 2 và 3 :

Vẽ đường thẳng thể hiện hàm mục tiêu : Z = 2.x1 + 4.x2

và tịnh tiến đến các điểm cực :

Z = 2.x1+ 4.x2

Z = 2.x1+ 4.x2

Xác định nghiệm tối ưu của mô hình :

x1 = 9 ; x2 = 3

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM : THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH

1-Bài toán cực đại :

Xét mô hình : Max (Z = 5 * x1 + 3 * x2)

6 * x1 + 2 * x2 ≤ 36

5 * x1 + 5 * x2 ≤ 40

2 * x1 + 4 * x2 ≤ 28x1, x2 ≥≥≥≥ 0

Để thuận lợi cho việc tìm nghiệm, ta thêm các biến bù si

• Với bảng đơn hình đầu tiên, ta xác định được lời giải cơ bản

(phương án ban đầu) như sau : x1 = x2 = 0; s1= 36 s2 = 40 s3 = 28

và giá trị hàm mục tiêu bằng Z= 0

• Phương án này có tối ưu?

Ẩn CB Hệ số (Cb) 5 3 0 0 0 Hằng số bi

x1 x2 s1 s2 s3 s1

s2

s3

0 0 0

6 2 1 0 0

5 5 0 1 0

2 4 0 0 1

36 40 28

• Nếu các giátrị của hàng tham khảo đều ≤ 0 ⇒Phương án

hiện tại tối ưu.

• Nếu tồn tại ít nhất một giátrị tham khảo > 0 ⇒Phương án

hiện tại chưa tối ưu.

Ẩn CB Hệ số (Cb) 5 3 0 0 0 Hằng số bi

x1 x2 s1 s2 s3 s1

s2

0 0

6 2 1 0 0

5 5 0 1 0

36 40

2-Tìm ph ươ ng án thay th ế :

• Để đạt đến giá trị tối ưu của hàm mục tiêu, cần xem xét

một phương án khác bằng cách đưa một biến mới vào trong

phương án ban đầu và đồng thời loại bỏ một trong những

biến trong lời giải củ.

• Một phương pháp thay thế biến là dựa vào phần tử xoay

Cách xác định phần tử xoay như sau :

- Dựa vào cột có giá trị tham khảo (Cj - Zj) lớn nhất (Cột

s2

s3

0 0 0

Zj = ∑Cb.aij 0 0 0 0 0

0

Cj – Zj 5 3 0 0 0

• Với cách xác định trên, a11 chính là phần tử xoay, s1 là

biến đưa ra và x1 là biến đưa vào thay thế cho s1.

• Chia hàng xoay cho giá trị xoay Biến đổi các số hạng

của trục xoay thành 0 bằng phương pháp khử :

Ẩn CB Hệ số

(Cb)

5 3 0 0 0 Hằng số bi x1 x2 s1 s2 s3

x1

s2

s3

5 0 0

• V ớ i b ả ng bi ế n đổ i trên, ta xác đị nh đượ c m ộ t ph ươ ng án m ớ i t ố t h ơ n (giá

tr ị hàm m ụ c tiêu b ằ ng 30) t ươ ng ứ ng các nghi ệ m x2 = s1 = 0, x1 =6 s2 =

10 s3 = 16

• Hàng tham kh ả o (Cj – Zj) v ẫ n còn ch ứ a giá tr ị tham kh ả o d ươ ng Do đ ó

ph ươ ng án v ừ a tìm đượ c ch ư a t ố i ư u Ta ti ế p t ụ c xác đị nh ph ầ n t ử xoay để

thay th ế bi ế n

• D ự a vào cách xác đị nh ph ầ n t ử xoay ở trên, ta tìm đượ c giá tr ị a22 là ph ầ n

t ử xoay V ậ y bi ế n lo ạ i kh ỏ i ph ươ ng án là s2 và thay th ế b ằ ng bi ế n x2.

• Chia hàng xoay cho giá tr ị xoay Bi ế n đổ i các s ố h ạ ng c ủ a tr ụ c xoay thành

0 b ằ ng ph ươ ng pháp kh ử ta đượ c b ả ng :

Ẩn CB Hệ số

(Cb)

5 3 0 0 0 Hằng số bi x1 x2 s1 s2 s3

x1

x2

s3

5 3 0

• Ta nhận thấy các giá trịở hàng tham khảo đều nhỏ

hơn hay bằng không Do đó, đây là phương án tối ưu

2- Bài toán cực tiểu : Xét mô hình

Min (Z = 2 * x1 + 4 * x2)

2 *x1 + x2 ≥≥≥≥ 14 x1 + x2 ≥≥≥≥ 12 x1 + 3 * x2 ≥≥≥≥ 18 x1 , x2 ≥≥≥≥ 0

Để lập bảng đơn hình, ta thêm các biến bù si và các

biến nhân tạo Ai để các bất phương trình thành các

phương trình

2 * x1 + x2 - s1 + A1 = 14 x1 + x2 - s2 + A2 = 12 x1 + 3 * x2 - s3 + A3 = 18 Trong đó : si có Cj = 0 và Ai có Cj = M (M : là số đủ lớn

để loại bỏ Ai ra khỏi hệ) Sau đó lập bảng đơn hình :

Ẩn CB Hệ số

Cb

2 4 0 0 0 M M M Hằngsố

bi x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3

Với bảng đơn hình đầu tiên, ta xác định được lời giải cơ bản :

Hàng tham khảo còn chứa một số giá trị tham khảo dương nên

phương án này chưa tối ưu Để tìm phương án tối ưu, ta sử dụng

các bước giống nhưở bài toán cực đại

Xác định phần tử xoay :

* Dựa vào cột có giá trị tham khảo (Zj-Cj) lớn nhất

* Dựa vào hàng có tỷ (bi / aij ) bé nhất

Zj =∑Cb.aij 4M 5M -M -M -M M M M 44M

Zj - Cj 4M-2 5M-4 - M - M - M 0 0 0

• Ta thấy a32 là phần tử xoay x 2 là biến đưa vào và A 3 là

biến đưa ra.

• Chia hàng xoay cho giá trị xoay Biến đổi các số hạng

của trục xoay thành 0 bằng phương pháp khử

Ẩn CB Hệ số

Cb

2 4 0 0 0 M M M Hằng số

bi x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3

8

6 6

Zj =∑Cb.aij (7M+4)/3 4 - M - M ( 2M-4)/3 M M (-2M+4)/3 14M+24

Zj - Cj (7M-2)/3 0 - M - M (2M-4)/3 0 0 (-5M+4)/3

• V ớ i b ả ng bi ế n đổ i trên, ta xác đị nh đượ c m ộ t ph ươ ng án m ớ i t ố t h ơ n

(giá tr ị hàm m ụ c tiêu b ằ ng 14M +24 < 44M) t ươ ng ứ ng các nghi ệ m x1

= s1 = s2 = s3 = 0 , x2 = 6 A1 = 8 A2 = 6

• Hàng tham kh ả o (Zj – Cj) v ẫ n còn ch ứ a giá tr ị tham kh ả o d ươ ng Do

đ ó ph ươ ng án v ừ a tìm đượ c ch ư a t ố i ư u Xác đị nh ph ầ n t ử xoay để

• Hàng tham kh ả o (Zj – Cj) v ẫ n còn ch ứ a giá tr ị tham kh ả o d ươ ng Do

đ ó ph ươ ng án v ừ a tìm đượ c ch ư a t ố i ư u Xác đị nh ph ầ n t ử xoay để

ẨnCB Hệ số

Cb

2 4 0 0 0 M M M Hằng số

bi x1 x2 s1 s2 s3 A1 A2 A3

Zj =∑Cb.aij 2 4 0 -1 -1 0 1 1 30

Zj - Cj 0 0 0 - 1 -1 - M - M+1 - M+1

• Ta nhận thấy các giá trịở hàng tham khảo đều nhỏ hơn

hay bằng không Do đó, đây là phương án tối ưu

• Giá trị hàm mục tiêu tối ưu bằng 30 đơn vị, và hệ nghiệm

của bài toán là : x1 = 9 và x2 = 3

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU : Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất

n 1,2,3, , j

0 xj

m) 1,2,3, , (i

bi aij.xj

cj.xj) Max(Z

n

1 j

n

1 j

nên bán với giá là bao nhiêu ?

• Gọi yi là giá bán một đơn vị yếu tố sản xuất loại i (i=1,2,…,m)

Giá bán không thể âm nên : yi ≥ 0

• Số tiền thu được khi bán các yếu tố sản xuất để sản xuất ra

một đơn vị sản phẩm loại j là :

m) 1,2,3, , (i

aij.yi

m

1 i

Ta đượ c mô hình : Xác đị nh yi (i=1,2,…,m) sao cho :

) , , 2 , 1 (

bi.yi

65

) , , 2 , 1 ( j n

0 xj

m) 1,2,3, , (i

bi aij.xj

cj.xj) Max(Z

0

)bi.yiMin(Z

m

1 i

∑

=

=

n)1,2,3, ,(j

cjaij.yi

m 1 i

Ví d ụ : Ta có bài toán g ố c nh ư sau :

Max (Z = 50.x1 + 80.x2)

2.x1 + 3.x2 ≤ 100 x1 + 4.x2 ≤ 60 x1,x2 ≥ 0

Ta đượ c bài toán đố i ng ẫ u nh ư sau :

Min (Z = 100.y1 + 60.y2)

2.y1 + y2 ≥ 50 3.y1 + 4.y2 ≥ 80

y1,y2 ≥ 0

67

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU : Xét bài toán xây dựng khẩu phần thức ăn

n) 1,2,3, , j

0 xj

m) 1,2,3, , (i

bi aij.xj

cj.xj) Min(Z

n

1 j

n

1 j

aij : Lượng dưỡng chất i trong một đơn vị thức ăn j

bi : Nhu cầu lượng dưỡng chất i

• Ở góc độ nhà sản xuất thức ăn : Cần định giá bán các

nguyên liệu dùng để sản xuất thức ăn với giá bao nhiêu để

tối đa hóa lợi nhuận ?

• Gọi yi là giá bán một đơn vị dưỡng chất loại i (i=1,2,…,m)

Giá bán không thể âm nên : yi ≥ 0

• Số tiền thu được khi bán các dưỡng chất hiện có với mong

muốn là :

n) 1,2,3, , (j

cj aij.yi

m

1 i

bi.yi)

Z Max(

bi.yi

Z Max

n) 1,2, , (j

cj aij.yi

Ta có đượ c m ộ t c ặ p bài toán nh ư sau :

71

n) 1,2,3, , (j

0 xj

m) 1,2,3, , (i

bi aij.xj

cj.xj) Min(Z

n

1

j

n 1 j

0

)bi.yiMax(Z m

1 i

∑

=

=

n)1,2,3, ,(j

cjaij.yi

m

1 i

x1,x2 ≥ 0

Ta đượ c bài toán đố i ng ẫ u nh ư sau :

Max (Z = 50.y1 + 80.y2)

2.y1 + 3.y2 ≤ 100

CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU

• Định lý đối ngẫu 1: Bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu khi bài

toán gốc có phương án tối ưu và các giá trị t i ưu của hai phương

0 bi) -

* x a (

* y

n

1 j

j ij

=

n) 1,2,3, , (j

0 ) c y a (

*

m

1 i

i ij

m) 1, , (i bi xj

*

aij

xj)

* cj Max(Z

y bi*yiMin(Z

n) 1, , (j cj yi

* aij

m

1 i

:

y m

i

Z yi

bi =

≤ ∑

= 1

Xét cặp bài toán sau :

n) 1, , j 0 xj

m) 1, , (i bi xj

*

aij

xj)

* cj Min(Z

y bi*yiMax(Z

n) 1, , (j cj yi

* aij

m

1 i

m 1 i

n 1 j

* j ij

* i

* j j n

1

j

m 1 i

* i i

* j j

* y

*

x

.x a y x

c y

b x

c 0

Z Z

:

có

Ta

0 ) y a - (cj x

.y a x x

c

n 1 j

m 1 i

* i ij

* j

n 1 j

n 1 j

m 1 i

* i ij

* j

* j j

* i ij

*

j.(cj- a y ) 0x

1

j

Chứng minh định lý đối ngẫu 2:

m 1 i

* i i m

1 i

* i ij

* j n

1

j

m 1 i

* i i

* j j

* y

*

x

.y b y

a x y

b x

c

0

Z Z

i

* j ij

* i

m 1 i

n 1 j

i

* j ij

* i

0 ) b x a (

y

0 ) b x a ( y

0 ) b x a ( y

.y b x

a y

m 1 i

n 1 j

i

* j ij

* i

m 1 i

m 1 i

* i i n

1 j

* j ij

* i

4.x3 ≥ 1x1 + x3 ≥ 2

xj ≥ 0 (j = 1,2,3)

Ta được bài toán đối ngẫu sau :

Max (Z = 2.y1 + 4.y2 + y3 + 2.y4)

y1 + 3.y2 + y4 ≤ 12.y1 + y2 ≤ 3

y2 + 4.y3 + y4 ≤ 3

yi ≥ 0 (i = 1,2,3,4)

Giả sửta có hệ nghiệm của bài toán gốc:x*(2, 0, ¼) Ta cần tìm hệ

nghiệm y* của bài toán đối ngẫu

Định lý đối ngẫu 2 cho ta hệ :

x1*.(y1* + 3.y2* + y4* - 1) = 0 ; x1* = 2 ≠ 0 → y1* + 3.y2* + y4* – 1 = 0

x2*.(2.y1* + y2* – 3) = 0 ; x2* = 0 → (hiển nhiên)

x3*.(y2* + 4.y3* + y4* – 3) = 0 ; x3*=1/4 ≠ 0 → y2* + 4.y3* + y4* – 3 = 0