Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán,tạo sự thích thú cho các em học sinh học phân môn hình học không gian.Tôi đãxây dựng nghiên cứu hệ thống lại các

PHẦN I MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Để giúp học tốt các môn học khác thì toán học đóng một vai trò vô cùng quantrọng trong nhà trường Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tưduy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vựccủa đời sống sản xuất

Qua quá trình dạy hình học không gian 11 và luyện thi TNTHPT Tôi nhận thấyrằng, đa số các em học sinh còn yếu trong viêc giải các bài toán về tính thể tích,tính khoảng cách trong hình học không gian Nguyên nhân cơ bản là do học sinhchưa nắm vững những kiến thức cơ bản về phần quan hệ vuông góc trong khônggian ở sgk hình học lớp 11 nên không tìm được phương pháp giải cho phù hợp bàitoán Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán,tạo sự thích thú cho các em học sinh học phân môn hình học không gian.Tôi đãxây dựng nghiên cứu hệ thống lại các dạng bài tập về phần quan hệ vuông góctrong không gian từ đó phát triển thành đề tài để học sinh dễ tiếp cận hơn trongviệc giải toán và hình thành cho học sinh những kỹ năng vận dụng tri thức trong bộmôn toán để giải các bài tập toán

Vì vậy tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn môn hình không gian

II Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm vềlàm các dạng bài toán liên quan đến phần quan hệ vuông góc từ đó đạt được kếtquả cao khi giải bài toán về tính thể tích và các bài toán về khoảng cách, phát huy,khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tậpcho các em

III Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ :

-Hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh

- Biết làm những bài toán liên quan.

- Những khó khăn học sinh thường mắc khi giải bài tập toán

- Đánh giá được kết quả của việc thực hiện đề tài.

IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

Học sinh lớp trường TTGDTX THIỆU HÓA

V Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phươngpháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinhnghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quảkiểm tra,…) và đi đến kết luận Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phù hợp vớitừng đối tượng học sinh

PHẦN II NỘI DUNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Cách 5 : Dùng hệ quả:

Cách 6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc

Cách 7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam

giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác

Cách 8: ab khi 2 véctơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc

Chú ý:Định lí hàm số cosin

AC AB

BC AC AB A

2 cos

2 2 2





BC BA

AC BC BA B

2 cos

2 2 2

Cách 2: Để chứng minh AB vuông góc với CD

ta chứng minh AB vuông góc với một mặt phẳng chứa CD

Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh cho AB (MCD)

S

M

a Ta có ABC cân tại A  AM BC.

Ta có: SAB=SAC(cgc)  SB=SC SMBC

b Từ câu a ta có: AM BC

SMBCSuy ra BC(SAM)  BCSA

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

a Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC

b Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, có

AB= AC= AD = 2

3

a

a CMR AD vuông góc BC

b Gọi I là trung điểm CD Tính góc giữa AB và CD

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Tính góc giữa AB và CD

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB,

SAC, SAD đều vuông, SA= 2

2

a Tính góc giữa SC và AD

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A Phương pháp chứng minh

Cách 1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc

với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

Cách 2 : Dùng hệ quả:

Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng

Cách 3: Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường

thẳng a nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia.1

1 Tham khảo lí thuyết trong sgk hình 11 chương 3 bài 2;3;4

P

Cách 4: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng

thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

Lưu ý các kiến thức thường gặp:

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao

- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao

- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau2

B Bài tập:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy

BC Gọi I là trung điểm BC

Bài 2: Cho hình chóp SABC SA vuông góc với

đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B



( ) ( )

( ) ( ) ( ),( )P ( )P P

D

C B

A

K

H S

C A

với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi

tâm O với SA = SC, SB = SD Chứng minh:

a SO vuông góc với (ABCD)

b AC vuông góc SD, BD SA

c Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC Chứng minh: IJ(SBD)

d Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH Chứng minh: AD(SOH) 4

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy

Đáy ABCD là hình thang vuông tại A Có AD = 2AB = 2BC

a.Chứng minh: BC (SAM)

a Gọi I là trung điểm SD.Chứng minh AI (SCD)

b.Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD Tìm tập hợp các hình chiếucủa O trên CM

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam

giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD

a Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông

b Chứng minh SI(SCD); SJ(SAB)

c Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ Chứng minh: SHAC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA(ABCD)

a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD Gọi H là trực tâm BCD

) ( )



a b b a

H S

M C

B A

B Bài tập

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,

SA vuông góc (ABCD) Gọi ( ) là mặt phẳng qua A và

vuông góc với SC, ( ) cắt SC tại I

a Xác định giao điểm của SO và ( )

b Chứng minh: BD vuông góc SC

Xét vị trí tương đối của BD và ( )

c Xác định giao tuyến của (SBD) và ( )

Hướng dẫn:

a Ta có J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm

của SO và (  )

b Vì BDAC và BDSA nên BD(SAC) suy ra BDSC

c Vì BD nằm trong (SBD) và BD song song ( )

 Giao tuyến của (SBD) và ( ) là đường thẳng qua J và song song với BD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,

SA vuông góc(ABCD) và SA = AB Gọi H và M lần lượt

là trung điểm của SB và SD

Chứng minh OM vuông góc với (AHD)

Hướng dẫn:Ta có: OM //SB và SBAH; SBAD

 SB (AHD) suy ra OM(AHD)

Bài tập vận dụng.

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Gọi I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB,

BC, dựng SH (ABC) Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC

= 2MI, NA = 2NS Chứng minh MN (ABC)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA (ABC)

a Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB Chứng minh: BC (SAB) và AH 

(SBC)

b Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC Chứng minh SC (AHK)

c Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC Chứng minh BM //(AHK)

Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

S

O

B A

J

Cách 2: Dùng định lí: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

là phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

B Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác

SBD cân tại S Gọi O là tâm hình thoi Chứng minh:

a.SO (ABCD) b (SAC) (SBD)

Hướng dẫn:

a Ta có tam giác SAC cân tại S, mà OA= OC suy ra SOAC (1)

Tam giác SBD cân tại S và OB=OD Suy ra SOBD (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO (ABCD)

b Trong mp(SAC) chứa đường thẳng AC vuông góc với mp(SBD)

suy ra (SAC) (SBD)

Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B Có SA vuông

góc với đáy ABC

a Chứng minh: (SAB) (SBC)

b.Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh: (SAC) (SBM)

Hướng dẫn:

a Trong (SBC) có BCAB, BCSA suy ra BC(SAB)

mà BC thuộc mp(SBC) nên (SBC) (SAB)

b Trong (SBM) có BMAC, BMSA suy ra BM(SAC)

S

S

C

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Tam giác ABC

vuông tại B Chứng minh: (SAC) (ABC) Gọi H là

hình chiếu của A lên SC K là hình chiếu

của A lên SB Chứng minh (AHK)(SBC)

Hướng dẫn:

a Trong (SAC) có SA(ABC) suy ra (SAC) (ABC)

b Ta có: BCAB; BCSA suy ra BC(SAB) suy ra BCAK

Trong (AHK) có AKBC,AKSB suy ra AK(SBC) suy ra (AHK)(SBC)

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,

mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

a Chứng minh: (SBC)(SAC)

b Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh (ABI)(SBC)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC

a Chứng minh (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB)

Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SOmp(ABCD)

SO = a/2 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh:

a.(SBD)(SAC) b (SIJ) (SBC)

Dạng 5: Khoảng cách

Ta phân làm hai bài toán sau:

Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng( )  , tínhkhoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) 

Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )  ta có thể sử dụng các phương pháp:

H S

A

B

C K

a Phương pháp trưc tiếp: Xác định chân đường vuông góc H hạ từ M đến mặt

phẳng( )  hoặc chỉ ra một mặt phẳng ( )  đi qua M và ( )  ( )  Tìm giao tuyến

b Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)

c Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)

d Gọi D là trung điểm của BC Tính khoảng cách từ A đến SD

(

; (A SBC AH a



d(C;(SAB))=CB=a 2;

d(B;(SAC))=BO=a với O là trung điểm của AC

c Gọi I là trung điểm của AB IO//BC IO//(SBC)

6

6 ))

(

; ( 2

1 )) (

a Kẻ AIBD  BDSI, trong (SAI) kẻ AHSI AH(SBD).;  d(A;

15

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc mp(ABCD) ,

với SA= a 6 Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Hướng dẫn:

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường

tròn đường kính AD= 2a nên ta có: AD//BC,

Kẻ AH SC tại H ta có AH CD Nên AH mp(SCD) Vậy AH= d A;(SCD) 

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao

1 2a

D A

Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng xác định được ngay chân đường vuônggóc hạ từ điểm đó đến mặt phẳng như ở trên Do đó ta có thể làm gián tiếp theocách sau:

b Phương pháp gián tiếp:

Hướng 1: Tìm đường thẳng  qua M và  cắt mp ( ) 

tại I trên  chọn điểm A A I, A M   

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc

với mp(ABCD), SA= a 3 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ

G đến mp(SAC)

Hướng dẫn: Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F

Bài 5: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Bx ' và By lập với nhau một góc

450 Trên đường vuông góc với (P) tại B lấy BA= a, kẻ Ax //Bx ' và lấy C thuộc Ax

B A

D O G

sao cho AC= c Gọi D là hình chiếu của C lên By Tính khoảng cách từ B đếnmp(ACD).

Hướng dẫn: Kẻ CE// AB, dễ thấy ABEC là hình chữ nhật và CE(P)

Từ đó EDBD (định lí 3 đường vuông góc)

Kẻ DFBE từ đó ta có tam giác DBE vuông cân đỉnh D

Mà BE= AC= c nên BD= DE= c

2 2 ADC

c

Để giải bài toán này có 3 hướng sau:

Hướng 1: Áp dụng cho trường hợp ab.Ta chọn mp( )  chứa a và vuông góc với btại B Dựng BAa tại A Khi đó d(a;b)= AB

Bài tập:

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C 1 1 1 có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M làtrung điểm của đoạn AA1 Chứng minh BMB1C và tính khoảng cách giữa haiđường thẳng BM và B1C

Hướng dẫn: Lăng trụ đứng ABC.A B C 1 1 1có các cạnh bằng a nên các mặt bên là cáchình vuông bằng nhau Đáy là tam giác đều

Gọi I là trung điểm của A C 1 1,tam giácA B C 1 1 1 đều nên B I  1 A C1 1

I

M

C 1 B

O H

Khi đó d a;b   d b;( )   d B;( )   với B là một điểm bất kì thuộc b 6

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C 1 1 1đáy ABC là tam giác vuông, AB= BC=

a,AA1 a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng AM và B1C

Hướng dẫn:

Gọi N là trung điểm của BB1 khi đó MN// B1C

 B1C// mp(AMN) nên

d B C; AM  d B C;(AMN)  d C;(AMN)  d B;(AMN)

Mặt khác tứ diện BAMN vuông đỉnh B nên

d B;(AMN) =BH với H là trực tâm  AMN

a BH

Khi đó d a;b   d ( );( )    d A;( )  với A là một điểm bất kì thuộc( ) 

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A B C D 1 1 1 1 có cạnh a Lấy M, N, P lần lượt làtrung điểm của AD, AB, B1C1 Tính khoảng cách giữa MN và BP

Hướng dẫn: Gọi E, F, Q, R, S, T, O lần lượt là trung điểm của CC1, DD1, C1D1, PQ,

BD, MN, B1D1 Khi đó mp(MNB1D1) // mp(BDQP)

Ta có A1E (MNB1D1)

6 Trích tham khảo từ báo THTT trang 7 số 325 tác giả Nguyễn Anh Dũng, Đặng Thanh Hải

Thật vậy hình chiếu của A1E lên mặt phẳng

1 1 1 1

(A B C D )là A1C1 Mà A C 1 1  B D 1 1

nên A E B D 1  1 1 (định lí 3 đường vuông góc)

Hình chiếu của A1E lên (AA D D) 1 1 là A1F

B

D 1 D

T

I

F

Bài 1 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

(ABC) và SA = h Gọi I là trung điểm SC

a.Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)

b.Tính khoảng cách từ I đến AB

c Chứng minh rằng (SBC) (SAB); Tính khoảng cách từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SA= SB =SC

=SD = a 2 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

a Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

b Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

[3] Tham khảo tài liệu trên mạng internet nguồn giáo án điện tử

c Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD)

cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600 Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, MN a 2

2

 Tính thể tích khối chóp S.BMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM và SN theo a.7

PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

1 KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩnăng học và giải bài tập toán cho học sinh

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đềthực hiện Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết cácvấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

3 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi và hiệu quả củanhững biện pháp sư phạm được đề xuất

Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, việc áp dụng các hình thức rènluyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt.Cũng quathực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, tôi thấy học sinh trung bình và khá,rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này

1Trích đề thi HSG môn toán lớp 12 BT THPT Năm học 2014-2015

2 KIẾN NGHỊ

Nhà trường cần đầu tư cho phòng thư viện thêm các loại sách tham khảo để họcsinh tự học, tự làm bài tập ở nhà Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, vở vàviệc soạn bài của học sinh trước khi đến trường

Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài: “Một số phương pháp giải các bài

toán về quan hệ vuông góc trong không gian”,vào giảng dạy tôi nhận thấy vấn đề