SKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

SKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trìnhSKKN Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và Tên: Nguyễn Thị Hồng Vân

2 Ngày tháng năm sinh: 18/09/1978

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: 71/32, tổ 9, KP1, Phường Long Bình Tân, TP Biên Hoà, Tỉnh Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613834289 (CQ)/ 0613832425 (NR); ĐTDĐ: 0974 669 039

6 Fax: E-mail: hongvan@nhc.edu.vn

7 Chức vụ: tổ trưởng chuyên môn

8 Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán các lớp 11A2, 12A4,12A10

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị cao nhất: thạc sỹ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học

Số năm có kinh nghiệm: 17 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng

2 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về công thức lượng giác

3 Dạy học theo chủ đề và sự vận dụng nó vào giải phương trình lượng giác

4 Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình (phần 1)

TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN

- Đặt ẩn phụ là một trong những kỹ thuật phổ biến trong giải hệ phương trình, nhưngtrong trường hợp nào và đặt như thế nào thì không phải ai cũng hiểu rõ Với mục tiêu giáodục đặt ra cũng như định hướng đổi mới phương pháp giảng dạy, cùng với mong muốnnâng cao chất lượng giảng dạy và có những hiểu biết sâu sắc, truyền thụ cho học sinh vềmảng kiến thức liên quan đến “hệ phương trình” có hiệu quả nhất, giúp các em định hướngđược phương pháp giải, chinh phục được câu giải hệ phương trình trong các đề thi học

sinh giỏi khối 10,12 chúng tôi chọn chuyên đề nghiên cứu là “Tìm tòi phương pháp giải

các bài toán về hệ phương trình”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của cách tiếp cận dạy học theo chủ đề Mục tiêu giáodục theo định hướng phát triển năng lực học sinh thì việc dạy học sẽ chú ý nhiều đến việctạo cơ hội cho học sinh tham gia vào trong các hoạt động học tập, quá trình học tập sẽđược tiến hành bằng các hoạt động và thông qua các hoạt động, các vấn đề, các bài tập,các tình huống cụ thể đưa ra yêu cầu học sinh giải quyết Qua đó các em có cơ hội tìm tòinhững vấn đề mình yêu thích, khi đó kiến thức được phát huy tối đa, khắc sâu

- Các kiến thức về hệ phương trình được tổng hợp từ sách giáo khoa hiện hành và

các sách tham khảo Kĩ năng giải các bài toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo Mục tiêu là giúp

cho các em học sinh thấy được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm vững được nhữngdạng toán cơ bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy Ngoài ra, các em còn đượctiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho các kì thi sau này

- Chuyên đề được trình bày gồm hai phần:

+ Phần một: gồm 4 bài toán minh hoạ và 2 bài tập đề nghị Mỗi bài toán đưa ra,chúng tôi trình bày tìm tòi lời giải theo hai hướng Hướng thứ nhất là biến đổi một tronghai phương trình đã cho của hệ về phương trình tích, sau đó dùng các phép biến đổi tươngđương để giải quyết tiếp bài toán Hướng thứ hai là sử dụng phương pháp hàm số Với đốitượng là học sinh lớp 10, chúng tôi hướng dẫn cho các em tiếp cận theo hướng thứ nhất vìcác em chưa học phần “ứng dụng của đạo hàm” Với đối tượng là học sinh lớp 12, chúngtôi sẽ định hướng tìm tòi lời giải bằng cả hai hướng để các em có cái nhìn mới hơn, tự tinhơn về lĩnh vực này Phần này chúng tôi đã trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm nămhọc trước

+ Phần hai: gồm 7 bài toán minh hoạ và 4 bài tập đề nghị Mỗi bài toán đưa ra,chúng tôi trình bày các kỹ thuật đặt ẩn phụ và các dạng toán thường hay dùng phươngpháp này

- Các kết quả trong chuyên đề chủ yếu là đã có sẵn trong sách giáo khoa, trong cáctài liệu tham khảo, bản thân đã tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục mới

3

- Các giải pháp mà chúng tôi đưa ra đã có tác động khắc phục được một số hạn chế

ở đơn vị mình, là các giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có mà chúng tôi đã thựchiện và có hiệu quả

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Bài toán 1: Giải hệ phương trình

2 2



• Định hướng tìm tòi lời giải

Điều kiện: x y+ ≥ 0.

Từ phương trình đầu của hệ, suy ra x2 + = 1 y x y+ +y (1)

Ta biến đổi phương trình thứ hai của hệ

x + =y x y+ +y vào phương trình trên ta được y( x y+ + 1 () x y+ − = 2) 6 (2)y

Xét y= 0 xem coi hệ có thoả mãn không ?

Với y≠ 0, chia cả hai vế của phương trình (2) cho y ta được phương trình

( x y+ + 1 () x y+ − = 2) 6

Sau đó đặt t= x y+ (t≥ 0) , ta được phương trình bậc ba theo t là t3 + − − =t2 2t 8 0

Giải phương trình tìm t, suy ra giá trị của x y+ Sau đó thay vào giải hệ phương trình

Với y= 0, ta có (1) ⇔ x2 + = 1 0 ( vô nghiệm) Do đó

hệ đã cho vô nghiệm Với y≠ 0, ta có (2) ⇔( x y+ + 1 () x y+ − = 2) 6

2 1 3 4

Với x= 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được y.

Với y x= + 1 , thay vào phương trình thứ hai của hệ ta nhận được phương trình một ẩn theo x là

t t

• Định hướng tìm tòi lời giải:

Chia cả 2 vế của phương trình đầu của hệ cho x, ta được

x y x

t t

t y t y

y x x y

2 1

y x x y

x y

=



 =



Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x y; ) là: ( ) ( )0;0 , 1;1

Bài toán 4: Giải hệ phương trình:

• Định hướng tìm tòi lời giải

Biến đổi đồng thời hai phương trình của hệ ta được

Phương trình (3) trở thành: t2 – 4 5 – 2 = (t ) Giải phương trình tìm t, suy ra x, y.

2 0

x y

x y

=



 =



Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) là ( ) ( )0;2 , 1;2

Bài toán 5: Giải hệ phương trình

2 2

• Định hướng tìm tòi lời giải:

u v

Biến đổi đồng thời hai phương trình của hệ, hệ đã cho trở thành

uv

u v uv

x y x y

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm ( ; )x y là ( ) ( ) ( ) ( )1;5 , 5;1 , 2;3 , 3;2

Bài toán 7: Giải hệ phương trình

(Trích đề thi thử đại học lần thứ nhất trường THPT chuyên Nguyễn Huệ)

• Định hướng tìm tòi lời giải

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có

9

u v v v

u v

(Trích đề thi thử ĐH lần 2 trường THPT Nguyễn Tất Thành)

• Đình hướng tìm tòi lời giải

+ Nhận thấy, nếu thay y= 0 vào phương trình thứ hai của hệ thì phương trình vô nghiệm

+ Vớiy≠ 0, chia cả 2 vế của phương trình thứ nhất của hệ cho y và phương trình thứ hai của hệ cho y2 , ta nhận được hệ phương trình

2 2

1

5 1

5

x x

y y x y

u v

x

x y

x y

y x

x y

x

x y

x y

(Trích đề thi thử ĐH lần thứ 1 năm 2010 trường THPT Nguyễn Tất Thành)

• Định hướng tìm tòi lời giải

Điều kiện: x≥ 0,y≥ 0

Đặt t= y t, ≥ 0

Suy ra t2 = y

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được x = − 3 t

Với điều kiện 0 ≤ ≤t 3 thì ( )2

Bình phương 2 vế phương trình ta được

t − + =t − t + + +t ⇔ 5 t2 + = + 3 3t 7

Vì 0 ≤ ≤t 3 nên hai vế phương trình không âm

Bình phương 2 vế phương trình ta được

(Trích đề thi thử ĐH đợt 2 - Trung tâm BDVH Thăng Long Chùa Bộc - Hà Nội)

• Định hướng tìm tòi lời giải

Biến đổi đồng thời hai phương trình đã cho của hệ, hệ trở thành

Giải bất phương trình trên ta nhận được giá trị m cần tìm là: − ≤ < 3 m 1.

Bài toán 11: Giải hệ phương trình

2 2

3 3

(Trích đề thi thử ĐH lần thứ 1 trường THPT chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội)

• Định hướng tìm tòi lời giải

Khi đó thay y= 2x vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình 2x2 − − =x 3 0

Giải phương trình tìm được x, sau đó suy ra y.

Với t= 2 , lập luận tương tự ta được phương trình x2 + − =x 6 0

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Nội dung của đề tài chúng tôi đã sử dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 vàkhối 12

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

- Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ khi tiếp cận dạy học theo chủ đề về mảng kiếnthức liên quan đến hệ phương trình Tuy chưa đem lại hiệu quả cao cho toàn thể học sinhsong đối với bản thân là cả một quá trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều năm đứng lớp Thiếtnghĩ, mỗi giáo viên chúng ta thường xuyên gom nhặt, tích lũy, sắp xếp khoa học và cùngnhau thảo luận, chia sẻ, mở rộng kiến thức thì hiệu quả dạy học bộ môn cũng từ đó đượcnâng lên

- Cuối cùng xin cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong tổ Toán – trường THPTNguyễn Hữu Cảnh đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình nghiêncứu

- Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời giannên sai sót là điều khó tránh khỏi, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô

để đề tài được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Ts Lê Xuân Sơn (chủ biên) (2013), Giới thiệu và giải chi tiết Bộ đề thi thử trọng tâm, nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.

2 Nguyễn Thanh Tuyên (chủ biên) (2016), Thần tốc luyện đề THPT quốc gia 2016,

nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội

13

Người thực hiện

Nguyễn Thị Hồng Vân

Biên Hoà, ngày 23 tháng 05 năm 2017

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2017

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình( phần hai )

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Họ và tên giám khảo 1: Trần Thị Lan Anh Chức vụ: giáo viên tổ Toán

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Số điện thoại của giám khảo: 0974 074054

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:

Biên Hoà, ngày 24 tháng 05 năm 2017

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Họ và tên giám khảo 2: Nguyễn Thị Tú Dương Chức vụ: giáo viên tổ Toán

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Số điện thoại của giám khảo: 0915 750255

* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hòa, ngày 25 tháng 05 năm 2017

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2016-2017 –––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

( phần hai )

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành



- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm

vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành 

17

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Tôi xin cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

Nguyễn Thị Hồng Vân Nguyễn Thị Tú Dương

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

19

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và Tên: Nguyễn Thị Hồng Vân

2 Ngày tháng năm sinh: 18/09/1978

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: 71/32, tổ 9, KP1, Phường Long Bình Tân, TP Biên Hoà, Tỉnh Đồng Nai

5 Điện thoại: 0613834289 (CQ)/ 0613832425 (NR); ĐTDĐ: 0974 669 039

6 Fax: E-mail: hongvan@nhc.edu.vn

7 Chức vụ: tổ trưởng chuyên môn

8 Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán các lớp 11A2, 12A4,12A10

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị cao nhất: thạc sỹ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học

Số năm có kinh nghiệm: 17 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng

2 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về công thức lượng giác

3 Dạy học theo chủ đề và sự vận dụng nó vào giải phương trình lượng giác

4 Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình (phần 1)

21

TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN

- Đặt ẩn phụ là một trong những kỹ thuật phổ biến trong giải hệ phương trình, nhưngtrong trường hợp nào và đặt như thế nào thì không phải ai cũng hiểu rõ Với mục tiêu giáodục đặt ra cũng như định hướng đổi mới phương pháp giảng dạy, cùng với mong muốnnâng cao chất lượng giảng dạy và có những hiểu biết sâu sắc, truyền thụ cho học sinh vềmảng kiến thức liên quan đến “hệ phương trình” có hiệu quả nhất, giúp các em định hướngđược phương pháp giải, chinh phục được câu giải hệ phương trình trong các đề thi họcsinh giỏi khối 10,12 chúng tôi chọn chuyên đề nghiên cứu là “Tìm tòi phương pháp giảicác bài toán về hệ phương trình”

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của cách tiếp cận dạy học theo chủ đề Mục tiêu giáodục theo định hướng phát triển năng lực học sinh thì việc dạy học sẽ chú ý nhiều đến việctạo cơ hội cho học sinh tham gia vào trong các hoạt động học tập, quá trình học tập sẽđược tiến hành bằng các hoạt động và thông qua các hoạt động, các vấn đề, các bài tập,các tình huống cụ thể đưa ra yêu cầu học sinh giải quyết Qua đó các em có cơ hội tìm tòinhững vấn đề mình yêu thích, khi đó kiến thức được phát huy tối đa, khắc sâu

- Các kiến thức về hệ phương trình được tổng hợp từ sách giáo khoa hiện hành và

các sách tham khảo Kĩ năng giải các bài toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo Mục tiêu là giúp

cho các em học sinh thấy được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm vững được nhữngdạng toán cơ bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy Ngoài ra, các em còn đượctiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho các kì thi sau này

- Chuyên đề được trình bày gồm hai phần:

+ Phần một: gồm 4 bài toán minh hoạ và 2 bài tập đề nghị Mỗi bài toán đưa ra,chúng tôi trình bày tìm tòi lời giải theo hai hướng Hướng thứ nhất là biến đổi một tronghai phương trình đã cho của hệ về phương trình tích, sau đó dùng các phép biến đổi tươngđương để giải quyết tiếp bài toán Hướng thứ hai là sử dụng phương pháp hàm số Với đốitượng là học sinh lớp 10, chúng tôi hướng dẫn cho các em tiếp cận theo hướng thứ nhất vìcác em chưa học phần “ứng dụng của đạo hàm” Với đối tượng là học sinh lớp 12, chúngtôi sẽ định hướng tìm tòi lời giải bằng cả hai hướng để các em có cái nhìn mới hơn, tự tinhơn về lĩnh vực này Phần này chúng tôi đã trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm nămhọc trước

+ Phần hai: gồm 7 bài toán minh hoạ và 4 bài tập đề nghị Mỗi bài toán đưa ra,chúng tôi trình bày các kỹ thuật đặt ẩn phụ và các dạng toán thường hay dùng phươngpháp này

- Các kết quả trong chuyên đề chủ yếu là đã có sẵn trong sách giáo khoa, trong cáctài liệu tham khảo, bản thân đã tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục mới