Chuyen de luong giac mon toan lop 11

1 CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 3 Tiết A.. Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác 1.. Dấu của

1

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

(3 Tiết)

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

sintan

coscot

• sin(+k2 ) sin =  • tan(+k) tan= 

cos(+k2 ) cos =  cot(+k) cot= 

2 Dấu của các giá trị lượng giác

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV

32

1

12

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau

cos(−) cos=  sin( − ) sin=  sin cos

3

II Công thức lượng giác

1 Công thức cộng

2 Công thức nhân đôi

sin2=2sin cos 

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

=

−

= +

3 3

3 2

sin3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan3

sin(a b+ ) sin cos= a b +sin cosb a

sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a

cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b

cos(a b− ) cos cos= a b+sin sina b

tan tantan( )

4

4 Công thức biến đổi tích thành tổng

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:

+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung  và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục nằm (Ox) là trục cosin; khi  thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; - /+= -

2 Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:

+ Nếu biết trước sin thì dùng công thức: 2 2

sin +cos  =1 để tìm cos, lưu ý:xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại tan sin

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

5

+ Nếu biết trước cos thì tương tự như trên

+ Nếu biết trước tan thì dùng công thức: 2

biến đổi một vế thành vế kia)

4 Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ”

Các bài tập còn lại làm tương tự

Bài tập 2.2: Biết sin 1

sin cossin cos

10

tan a−sin a=tan a sin a

n) t ana sin cos

e) os2 cos sin

1 sin 2 cos sin

11

Hướng dẫn: cos s inx os2 sin2

s inx cos sin x cos

2 sin

2 cos

x VT

l) cos sin cos sin 2 tan 2

cos sin cos sin

s) sin sin 3 sin 5 tan 3

cos os3 os5

2 4

sin 2sin cos os 1 2sin cos sin

1 sin cos

sinsin

16

A cos( + )=cos +cos    C tan( + )=tan+tan

B cos( - )=cos cos -sin sin      D tan (-  ) =

tantan

cos

4sin = C 

A A= 2sinx B A = −2sin x C A = 0 D A= −2cotx

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx B (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx

C sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x D sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức   2

sintantan −

=

)2

3(

)1()24tan( +  = −

C

2

2)1()24sin( +k = − k

k ) ( 1)2

Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài

quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe

gắn máy bằng 6,5cm (lấy  =3,1416 )

Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10, 57cm và kim phút dài 13, 34cm Trong

30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

Câu 17: Cho cot

18

Câu 18: Đơn giản biểu thức x x

x n

x x

si

tancos

Câu 19: Đơn giản biểu thức G=(1−sin2x)cot2x+1−cot2x

Câu 20: Tính M =tan1 tan 2 tan 3 tan 890 0 0 0

3 Hµm sè y = tan x

π/4 -π/4

4/ Hàm số y = cos x2 − 4 xác định khi và chỉ khi 2 4 0 2

2

x x

−

= xác định khi và chỉ khi sin x    0 x k  , k  Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = \  k  , k  

2/ Hàm số y = 2 cos3 − x xác định khi và chỉ khi 2 cos3 − x  Mà 0

2 cos3 − x    Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D = 0 x

Chỳ ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

Phương phỏp: Bước 1 : Tỡm TXĐ: D ; Kiểm tra x D  −xD, x

23

Bước 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh với f(x) Cú 3 khả năng

+) Nếu f(-x) = f(x) thỡ f(x) là hàm số chẵn

+) Nếu f(-x) = - f(x) thỡ f(x) là hàm số lẻ

+) Nếu f(-x)  - f(x)  f(x) thỡ f(x) là hàm số khụng chẵn khụng lẻ

Lưu ý: Một số nhận xét nhanh để xét tớnh chẵn lẻ của hàm số lượng giỏc

+ Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn

+ Tớch của hai hàm chẳn là hàm chẵn, tớch của hai hàm lẻ là hàm chẵn

+ Tớch của một hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ

+ Bỡnh phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẻ là hàm chẵn (Áp dụng điều này chỳng ta

cú thể xét tớnh chẵn lẻ của hàm số lượng giỏc một cỏch nhanh chúng để làm trắc nghiệm nhanh chúng hơn nhiều)

2.2 Bài tập luyện tập

Bài tập: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ

Dạng 3: Tỡm tập giỏ trị, giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất

• Hàm số y = f(x) luụn nghịch biến trờn đoạn  a b; thỡ

  a ;ax ( )= ( ) ; min ( )  a ; = ( )

b b

Dạng 4.Tìm chu kỳ của hàm sốlượng giác

Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:

1) Hàm số y = sinx , y = cosx có chu kỳ T = 2

2) Hàm số y = tanx , y = cotx có chu kỳ T = 

3) Hàm số y = sin(ax+b) , y = cos(ax+b), với a0 có chu kỳ =2

Câu 2 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A y=cosx B y=sinx C y=tanx D y=cotx

Câu 3 Khẳng định nào sau đây là SAI?

A Hàm số y=cotx có tập giá trị là  0;

Câu 9 Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D Khẳng định nào sai?

A f[sin(– x)] = – f(sinx) B f[cos(– x)] = f(cosx)

C sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ] D cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ]

Câu 10 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?

x y

x y

Câu 18 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?

A y = x.cos2x B y = (x2 + 1).sinx C y = cos 2

x y

x Câu 19 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=4 sinx+ −3 1 lần lượt là:

A 2 à 2v B 2 à 4v C 4 2 à 8v D 4 2 1 à 7− v Câu 20 Hàm số y=sin 2x+cos 3x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

A  B 2 C 3 A 4

Câu 21 Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= −3 1 cos− x bằng:

A 6− 2 B 4+ 2 C 4− 2 D 2+ 2

3. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c tan x = m ( ) c

B-íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cos 0 ,

NhËn xÐt: Nh- vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph-¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm

4. Gi¶i vµ biÖn luËn ph-¬ng tr×nh l-îng gi¸c cot x = m ( ) d

B-íc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x    0 x k  k 

33

2arcsin 2

) sin

23

arcsin 23

34

3) cot 3 cot

II. Một số ph-ơng trình l-ợng giác th-ờng gặp

2.1- Ph-ơng trình bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác

Dạng 1: 2

a x+b x+ =c a a b c (1)

Cách giải: Đặt t = sin x , điều kiện | | t  1

Đ-a ph-ơng trình (1) về ph-ơng trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi

giải tìm x

Dạng 2: acos2x+bcosx+ =c 0 (a0; , ,a b c ) (2)

Cách giải: Đặt t = cos x điều kiện | | t  1 ta cũng đ-a ph-ơng trình (2) về ph-ơng trình bậc hai

theo t, giải tìm t rồi tìm x

Cách giải: Điều kiện sin x    0 x k  k 

Đặt t = cot x ( t  ) Ta cũng đ-a ph-ơng trình (4) về ph-ơng trình bậc hai theo ẩn t

35

Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Giải ph-ơng trình 2cos2 x − 3cos x + = 1 0 (1)

Giải: Ph-ơng trình (1) cos 1 2 ,

1

2cos

32

x k x

2.2- Ph-ơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

a) Định nghĩa: Ph-ơng trình asinx b+ cosx=c(1) trong đó a, b, c và a2+b2 đ-ợc gọi 0

là ph-ơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

− +  +  + từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của

các hàm số có dạng y = a sin x b + cos x, sin cos

37

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình: sin 2x−3cos2x= (1) 3

Giải :Cách 1: Chia cả hai vế ph-ơng trình (1) cho 2 2

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

sin 3cos 0 cos 0

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện tr-ớc khi bắt tay vào giải ph-ơng

trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những ph-ơng trình không thoả mãn điều kiện Ta xét

ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos 2x ( )2

Giải:

Suy ra a2 + b2<c2 Vậy ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần l-u ý rằng việc biến đổi l-ợng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình: cos 7x−sin 5x= 3(cos5x−sin 7 ) (4)x

Giải:

(4)

cos 7x+ 3 sin 7x= 3 cos5x+sin 5x 1 3 3 1

cos 7 sin 7 cos5 sin 5

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

2.3- Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

a) Định nghĩa: Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là ph-ơng trình

asin2x b+ sin cosx x+ccos2x=d (1) trong đó a, b, c, d 

b) Cách giải :

Chia từng vế của ph-ơng trình (1) cho một trong ba hạng tử 2 2

sin x,cos x hoặc sin cos x x

Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các b-ớc sau:

39

B-ớc 2: Với cosx  0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó ph-ơng trình (1) trở thành

atan2x+btanx+ =c d(1 tan+ 2x)(a−d) tan2x+btanx+ − =c d 0

Đây là ph-ơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos 2 2 1 cos 2 sin 2

đ-a ph-ơng trình đã cho về ph-ơng trình bsin 2x+ −(c a)cos2x= − −d c a

Đây là ph-ơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với ph-ơng trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sinn ,cosn ,sink cosh ) 0

A x x x x = trong đó k + = h n k h n ; , , 

Khi đó ta cũng làm theo 2 b-ớc :

B-ớc 1: Kiểm tra xem cos x = 0 có phải là nghiệm của ph-ơng trình hay không?

B-ớc 2: Nếu cos x  0.Chia cả hai vế của ph-ơng trình trên cho cosn x ta sẽ đ-ợc ph-ơng trình bậc n theo tan Giải ph-ơng trình này ta đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình ban đầu

Ví Dụ Minh Hoạ:

VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

* Chó ý: Kh«ng ph¶i ph-¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

+) Víi cosx  Chia c¶ hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh (2) cho 0 cos x3 ta ®-îc :

41

*Chú ý: Ngoài ph-ơng pháp giải ph-ơng trình thuần nhất đã nêu ở trên có những ph-ơng trình có

thể giải bằng ph-ơng pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

sin

44

42

a) Định nghĩa: Ph-ơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là ph-ơng trình dạng

(sina x+cos )x +bsin cosx x+ = trong đó , ,c 0 a b c  (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx+cosx)2= +1 sin cosx x nên ta đặt

b x+ x− + =c Đây là ph-ơng trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho ph-ơng trình a (sin x − cos ) x + b sin cos x x c + = 0bằng cách đặt t=sinx−cosx 1 2

sin cos

2

t

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình sin x + cos x − 2sin cos x x + = 1 0 (1)

Giải:

Cách 1: Đặt sin x + cos x = t điều kiện | | t  2 Lúc đó

2

1 sin cos

43

(*) = − t 1  sin x + cos x = − 1

21

cos

32

24

VËy ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

VÝ Dô 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh tan x − 3 cot x − sin x + 3 cos x + − 1 3 = 0 (3)

Gi¶i:§iÒu kiÖn sin 2 0

2

k

x  x  k

(3) tan x − sin x − 3(cot x − cos ) 1 x + − 3 = 0

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

1

1 sin 22

(8−6sin 2 )sin 2x x= −4 2sin 2x 3 2

3sin 2 x − sin 2 x − 4sin 2 x + = 2 0

(sin 2x−1)(3sin 2x+2sin 2x−2)=0

2

sin 2 1 03sin 2 2sin 2 2 0

 −



 



46

Câu 9 Nghiệm của phương trình sin 3x−cosx= là: 0

A

,8

,4

B

,

8 2,4

C

,

8 2,4

Câu 10 Nghiệm của phương trình sin(cosx)= là: 1

6

x=  + k  kZ B

,4

x=  + k kZ C.

2 ,3

x=  + k  kZ D

,2

Câu 12 Các nghiệm của phương trình ( ) 1

2 sin cos cos 2

Câu 15: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A 3 sin 2x−cos 2x=2 B 3sinx−4 cosx= 5

biết

Thông hiểu

Vận dụng thấp

Vận dụng cao Cung và góc lượng giác

Giá trị lượng giác của

Câu 1: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các

cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 0

A 2 B 1 + tan C 12

1sin 

Câu 8: Nếu tan và tan là hai nghiệm của phương trình x2–px+q=0 và cot và cot

là hai nghiệm của phương trình x2–rx+s=0 thì rs bằng:

Câu 12 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?

A y = x.cos2x B y = (x2 + 1).sinx C y = cos 2

x y

x

Câu 16 Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm

A 3sinx – 5 = 0 B 2cos3x – 1 = 0 C 2cosx + 5 = 0 D sin3x + 2 = 0

Câu 17 Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2sin2x + 5sin x − = là : 3 0