S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ QU NG NAMẢ K THI OLYMPIC QU NG NAM NĂM 2019Ỳ Ả Môn thi TOÁN – L p 11ớ Th i gian ờ 150 phút (không k th i gian giao để ờ ề) Ngày thi 21/3/2019 Câu 1 (3,0 đi m) ể Gi i các ph[.]
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
QU NG NAMẢ
K THI OLYMPIC QU NG NAM NĂM 2019Ỳ Ả
Môn thi: TOÁN – L p 11ớ
Th i gian:ờ 150 phút (không k th i gian giao đ ể ờ ề)
Ngày thi : 21/3/2019 Câu 1 (3,0 đi m). ể Gi i các phả ương trình sau:
a) b)
Câu 2 (4,0 đi m). ể
a) Ch ng minh m nh đ sau b ng phứ ệ ề ằ ương pháp quy n p: ạ “ T ng các góc trong c a đaổ ủ giác l i có ồ n c nh b ng ạ ằ ”
b) Cho dãy s bi t: v i Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ố ế ớ ố ạ ổ ủ ố
Câu 3 (6,0 đi m). ể
a) Cho s nguyên dố ương th a mãn: và theo th t l p thành c p s c ng. Tìm sỏ ứ ự ậ ấ ố ộ ố
h ng không ch a trong khai tri n ạ ứ ể c aủ v i ớ
b) G i là t p h p t t c các s t nhiên có 5 ch s khác nhau đọ ậ ợ ấ ả ố ự ữ ố ượ ậ ừc l p t các ch sữ ố
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ch n ng u nhiên t ra m t s Tính xác su t đ ch n đọ ẫ ừ ộ ố ấ ể ọ ược số không có hai ch s ch n đ ng li n k ữ ố ẵ ứ ề ề
c) Cho hàm s . ố
Tìm giá tr c a tham s ị ủ ố m đ hàm s liên t c t i . ể ố ụ ạ
Câu 4 (3,0 đi m). ể
a) Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho hai đường th ng . Bi t phép v t tâmẳ ế ị ự
qua phép v t tâm ị ự A, t s ỉ ố k.
b) Trong m t ph ng, cho hai đi m ặ ẳ ể A, B c đ nh, đi m ố ị ể M di đ ng trên n a m t ph ngộ ử ặ ẳ
b ờ AB sao cho tam giác ABM vuông t i ạ M. Trên n a m t ph ng ử ặ ẳ b ờ AB không ch a đi m ứ ể M
v tia ẽ Bx vuông góc v i ớ BM. Trên tia Bx l y đi m ấ ể C sao cho BM = BC. Qua đi m ể C d ngự
đường th ng ẳ d vuông góc v i ớ AB c t tia ắ BM ở N. Hãy xác đ nh phép quay bi n ị ế AM thành BN. Khi M di đ ng thì đi m ộ ể N di đ ng trên độ ường nào?
Câu 5 (4,0 đi m). ể
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh ch nhât, ̀ ữ ̣ SA vuông góc v i m t đáy, ớ ặ a) Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng ẳ AC và SB theo .
b) Goi ̣G là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ SCD, M là trung đi m c a ể ủ SC, là góc gi a haiữ
đương thăng ̀ ̉ AG va ̀BM. Tinh .́
–––––––––––– H t ––––––––––––ế
Trang 2(Đáp án – Thang đi m g m ể ồ 07 trang)
Câu 1 (3,0 đi m)ể
a
1,5
0.25
0.25
Trang 3(0.25) (0.5)
0.75
b
1,5
0.25
0.25
Trang 4Câu 2 (4,0 đi m)ể
a
Ch ng minh m nh đ sau b ng phứ ệ ề ằ ương pháp quy n p : ạ “ T ng các góc trongổ
c a đa giác l i có ủ ồ n c nh b ng ạ ằ ”
2,0
Xét : M nh đ tr thành “ t ng các góc trong c a m t tam giác b ng 180ệ ề ở ổ ủ ộ ằ 0 ” là m nhệ
đ đúng.ề
0.25
Gi s m nh đ trên đúng v i m t s t nhiên tùy ý () t c là:ả ử ệ ề ớ ộ ố ự ứ
“ T ng các góc trong c a đa giác l i có ổ ủ ồ k c nh b ng ạ ằ ”
0.25
Ta đi ch ng minh m nh đ trên đúng v i , t c là đi ch ng minhứ ệ ề ớ ứ ứ
“ T ng các góc trong c a đa giác l i có ổ ủ ồ k +1 c nh b ng ạ ằ ”
0.25
+ Xét đa giác l i có ồ k + 1 c nh Aạ 1A2….Ak+1
N i Aố 1 và Ak ; khi đó t ng các góc trong c a đa giác l i có ổ ủ ồ k + 1 c nh Aạ 1A2….Ak+1
b ng t ng các góc trong c a tam giác Aằ ổ ủ 1AkAk+1 c ng v i t ng các góc trong c a đaộ ớ ổ ủ giác l i ồ k c nh Aạ 1A2….Ak
0.5
Do đó t ng các góc là: 180ổ 0 + (k – 2).1800 = (k – 1).1800
0.5
Suy ra m nh đ đúng v i .ệ ề ớ
V y m nh đ đã cho đúng v i m i s th nhiên th a .ậ ệ ề ớ ọ ố ự ỏ
0.25
b
Cho dãy s bi t: v i Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ố ế ớ ố ạ ổ ủ ố
2,0
Trang 5(*)
0.5
Đ t , khi đó (*) tr thành: .ặ ở
Suy ra là c p s nhân có công b i q=3. Do đó .ấ ố ộ 0.25
0.25
Mà . Suy ra
0.25 0.25
Trang 6a ố
h ng không ch a trong khai tri n ạ ứ ể c aủ v i ớ 2,0 Theo tính ch t c a c p s c ng ta có: ấ ủ ấ ố ộ
0.25 0.25
. V y .ậ
0.25
Ta có .
S h ng t ng quát trong khai tri n nh th c trên là: (v i ).ố ạ ổ ể ị ứ ớ
0.25 0.25
V y s h ng không ch a ậ ố ạ ứ x trong khai trên trên là: 0.25
b G i ọ X là t p h p t t c các s t nhiên có 5 ch s khác nhau đậ ợ ấ ả ố ự ữ ố ượ ậ ừc l p t các
ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ch n ng u nhiên t ữ ố ọ ẫ ừ X ra m t s Tính xác su tộ ố ấ
đ ch n để ọ ượ ốc s không có hai ch s ch n đ ng li n k ữ ố ẵ ứ ề ề
2,0
S ph n t c a không gian m u là ố ầ ử ủ ẫ
G i A là bi n c : “ ọ ế ố ch n đọ ượ ốc s không có hai ch s ch n đ ng li n kữ ố ẵ ứ ề ề ” 0.25
Xét s ch n t ố ọ ừ X có d ng ạ , v trí các ch s tị ữ ố ương ng các ô ngang dứ ưới đây:
Khi đó A x y ra các trả ường h p sau:ợ
0.25
+ Kh năng 1 ả : a là ch s ch n. Kh năng này có ữ ố ẵ ả s ố
+ Kh năng 2 ả : a là ch s l Kh năng này có ữ ố ẻ ả s ố 0.25
+ Kh năng 1 ả : a là ch s ch n, khi đó ữ ố ẵ b là s l ố ẻ
Kh năng này có ả s ố
+ Kh năng 2 ả : a là ch s l , khi đó có 3 cách ch n ra 2 ô cho hai s ch n ữ ố ẻ ọ ố ẵ
không k nhau (ô2ô4, ô2ô5, ô3ô5). Kh năng này có ề ả s ố
0.25 0.25
Trang 7* Tr ườ ng h p 4 ợ : S có đúng 3 ch s ch n. ố ữ ố ẵ
Trường h p này có: 4.4.3.5.4 = 960 sợ ố
0.25
0.25
V y xác su t c a bi n c A là ậ ấ ủ ế ố
0.25
c
Cho hàm s ố
Tìm giá tr c a tham s ị ủ ố m đ hàm s liên t c t i . ể ố ụ ạ 2,0
0,25 + Tính được:
0,5 + Tính được:
0,25 Suy ra