D \Giang\baitap\A2 dvi BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A2 Phần 1 Tích phân hai lớp I Thay đổi thứ tự lấy tích phân 1 4 ∫ 0 dy 4 ∫ x f(x, y)dx, 2 2 ∫ 0 dx 2x ∫ x f(x, y)dy, 3 0 ∫ −1 dx √ 1−x2 ∫ x+1 f(x, y)dy, 4 1[.]
Trang 1BÀI TẬP: TOÁN CAO CẤP A2 Phần 1 Tích phân hai lớp
I Thay đổi thứ tự lấy tích phân
1 R4
0
dy
4
R
x
f(x, y)dx, 2 R2
0
dx
2x R x
f(x, y)dy, 3 R0
−1
dx
√ 1−x 2
R x+1
f(x, y)dy,
4 R1
0
dx
2−x
R
x
f(x, y)dy 5 R1
1/4
dx
√x R x
f(x, y)dy, 6 R1
0
dx
3−2x R
√x f(x, y)dy,
7 R1
0
dx
2x
R
x 2
f(x, y)dy, 8 R1
0
dx
3x R 2x
f(x, y)dy, 9 R2
1
dx
x R x/2
f(x, y)dy,
10 R2
1
dx
√
4x−x 2
R
0
f(x, y)dy, 11 R2
1
dx
√ 2x−x 2
R 2−x
f(x, y)dy, 12 R1
0
dx
2−x 2
R x
f(x, y)dy,
13 R2
1
dy
y
R
1/y
f(x, y)dx, 14 R3
0
dx
3x R x
f(x, y)dy, 15 R1
0
dx
x+1 R 0
f(x, y)dy.
II Tính tích phân hai lớp theo miền D giới hạn bởi các miền đã chỉ ra
1 R R
D
(x + y2)dxdy, trong đó D = [2, 3] × [1, 2] 2 R R
D
(x2 + y2)dxdx, trong đó
D= [0, 1] × [0, 1]
3 R R
D
xydxdy, y= x2, x= y2 4 R R
D
(x3+ xy)dxdy, y = x2, y =√x
5 R R
D
xdxdy, y= x3, x+y = 2, x = 0 6 R R
D
√x+ ydxdy, x= 0, y = 0, x+y = 1
7 R R
D
xdxdy, y= 3x, y = x2+ 2 8 R R
D
xdxdy, y= x2− x + 1, x = y − 1
9 R R
D
xdxdy, y≥ x2, y ≥ 8 − x2 10 R R
D
2xydxdy, y= x, y =√
x
Sử dụng tọa độ cực
11 R R
D
(x2+ y2)dxdy, D: x2+ y2 ≤ R2, y ≥ 0
12 R R
D
ex2+y2dxdy, D: x2+ y2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
13 R R
D
ex2+y2dxdy, D: x2+ y2≤ R2
14 R R
D
e−(x2+y2)dxdy, D: x2+ y2 ≤ R2
15 R R
D
ydxdy, D: x2+ y2≤ 2y
16 R R
D
xdxdy, D: x2+ y2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
17 R R
D
dxdy, D: x2+ y2≤ 2x
18 R R
D
(x2+ y2)dxdy, D: x2+ y2 ≤ 1, x ≤ 0, y ≥ 0
Trang 219 R R
D
x2+ y2dxdy, D: x2+ y2 ≤ a2
20 R R
D
sinpx2+ y2dxdy, D: π2≤ x2+ y2≤ 4π2,
21 R R
D
(x + y)dxdy, D: x2+ y2 ≤ x + y
22 R R
D
p
(x − 1)2+ (y − 1)2dxdy, D: x2+ y2≤ 2x + 2y
23 R R
D
r
1 − x
2
a2 − y
2
b2dxdy, D: x
2
a2 +y
2
b2 ≤ 1
24 R R
D
dxdy, D: x
2
4 +
y2
9 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
Phương pháp đổi biến
25 R R
D
(x + y)dxdy, D : y = x + 2, y = x − 1, y = −2x + 1, y = −2x + 4
26 R R
D
(x + y)dxdy, D: y = x − 1, y = x + 1, y = 2x, y = 2x + 1
27 R R
D
xydxdy, D: xy = 1, xy = 2, x − y + 1 = 0, x − y − 1 = 0, (x > 0, y > 0)
PHần 2 Tích phân ba lớp
Tính các tích phân 3 lớp trong miền đã chỉ ra
1 R R R
V
sin(xy).x.z.dxdydz; V = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
2 R R R
V
dxdydz
(1+x+y+z) 3; V : x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1
3 R R R
V
(x + y + z)dxdydz; V : x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1
4 R R R
V
xdxdydz; V : x = 0, y = 1, z = 1, 2x + y + z = 4
5 R R R
V
xyzdxdydz; V : z = xy, y = x, x = 1, z = 0
Sử dụng tọa độ cầu
6 R R R
V
z2dxdydz; V : x2+ y2+ z2 ≤ R2
7 R R R
V
(x2+ y2)dxdydz; V : x2+ y2+ z2 ≤ R2, z ≥ 0
8 R R R
V
(x2+ y2)dxdydz; V : x2+ y2+ z2 ≤ R2, z ≥ 0
9 R R R
V
p
x2+ y2+ z2dxdydz; V : x2+ y2+ z2 ≤ z
10 R R R
V
xyzdxdydz; V : x2+ y2+ z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
11 R R R
V
zdxdydz; V : x2+ y2+ z2≤ 2z
12 R R R
V
(x2+ y2)dxdydz; V : x2+ y2+ z2 ≤ 1, z ≥ 0
Trang 313 R R R
V
x2
a2 + y
2
b2 + z
2
c2 dxdydz; V : x
2
a2 +y
2
b2 + z
2
c2 ≤ 1
Sử dụng tọa độ trụ
14 R R R
V
(x2+ y2)dxdydz; V : x2+ y2= 2z, z = 2
15 R R R
V
p
x2+ y2dxdydz; V : x2+ y2 = z2, z = 1
16 R R R
V
(x2+ y2+ z)dxdydz; V : x2+ y2 = z, z = 1
17 R R R
V
p
x2+ y2dxdydz; V : x2+ y2 = z2, z = 1
18 R R R
V
zdxdydz; V : x2+ y2+ z2≤ 2, z ≥ x2+ y2
19 R R R
V
dxdydz; V : z = 1 − x2− y2, z =px2+ y2
20 R R R
V
(y + z)dxdydz; V : x2+ y2 = z, z = 2 + x2+ y2, x2+ y2= 4
21 R R R
V
z2dxdydz; V : x2+ y2+ z2 = 2, z2 = x2+ y2, x≥ 0.y ≥ 0, z ≥ 0
Phần 3 Tích phân đường
a Tích phân đường loại 1
1 Tính R
C
(x + y)dstrong đó C là chu vi tam giác với các đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)
2 Tính R
C
(x−y)dstrong đóC là chu vi tam giác với các đỉnhO(0; 0), A(2; 2), B(−2; 2)
3 Tính R
C
e√x+yds trong đóC là chu vi hình giới hạn bởix2+ y2 = a2,(x > 0, y > 0)
và các đường thẳng y= 0, y = x
4 Tính R
C
p
x2+ y2ds trong đó C là chu vi đường tròn x2+ y2= ax, (a > 0)
5.Tính R
C
xds trong đó C là chu vi hình giới hạn bởi x2+ y2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0
6 Tính R
C
(x2+ y2)ds trong đó C là chu vi đường tròn x2+ y2 = 2x
7 Tính R
C
(x − y)dstrong đó C là chu vi đường trònx2+ y2 = 2ax, (a > 0)
b Tích phân đường loại 2
8 Tính R
C
(x2−2xy)dx+(y2−2xy)dytrong đóClà phần của paraboly= x2,−1 ≤ x ≤ 1
lấy theo chiều tăng của x.
9 Tính
Z
C
y2dx− x2dy
Trang 4a. C là đường tròn tâm O(0, 0) bán kính R = 1
b. C là đường tròn tâm I(1, 1) bán kínhR = 1 lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
10 Tính R
C
(x2+ y2)dx + (x2− y2)dy trong đó C là đường y = 1 − |1 − x|, 0 ≤ x ≤ 2
lấy theo chiều tăng của x.
11 Tính R
C
(x − 2y2)dx + (y + 2xy)dy trong đó C là cung tròn x2+ y2 = 1 đi từA(1, 0)
đến B(0, 1) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
12 Tính R
C
(x + y)dx + (x − y)dy trong đó C là đường Ellpise x2
a2 +y
2
b2 = 1 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
13 Tính R
C
xdy− ydx trong đó C là đường Ellpise x2
4 +
y2
9 = 1 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
14 Tính R
C
(x + y)dx + (x − y)dy trong đó C là cung Ellipse x2
4 +
y2
9 = 1 đi từA(2, 0)
đến B(−2, 0) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
15 Tính R
C
(x + y)dx − (x − y)dy
x2+ y2 trong đó C là đường tròn x2+ y2 = a2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
16 Tính R
C
xy2dy− x2dx trong đó C là đường tròn x2+ y2 = a2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
17 Tính R
C
(xy + exsin x + x + y)dx + (xy − e−y + x − sin y)dy trong đó C là đường tròn x2+ y2 = 2xtheo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
18 Tính R
C
2(x2+ y2)dx + x(4y + 3)dy trong đó C là đường gấp khúc ABDA trong
đó A(0, 0), B(1, 1), D(0, 2)
19 Tính R
C
(2xy − x2)dx + (x + y3)dy trong đó C là biên của miền giới hạn bởi hai đường y = x2, y2= x.
20.Tính R
C
y2
3 dx+ xdy trong đó C là đường tròn (x − 1)2+ y2 = 1 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Phần 4 Tích phân mặt
a Tích phân mặt loại 1
1 Tính R R
S
(2x + 2y + z − 1)dS trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1,
Trang 5x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
2 Tính R R
S
(z + 2x + 4y
3 )dS trong đó S là phần mặt phẳng 6x + 4y + 3z = 12,
x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
3 Tính R R
S
p
x2+ y2dS trong đó S là phần mặt nón z2 = x2+ y2,0 ≤ z ≤ 1
4 Tính R R
S
(x2+ y2)dS trong đó S là phần mặt z = x2+ y2, bị cắt bởi mặt phẳng
z = 1
5 Tính R R
S
(x + y + z)dS trong đó S là phần mặt cầu x2+ y2+ z2= 1, z ≥ 0
6 Tính R R
S
p
x2+ y2dS trong đó S là mặt cầu x2+ y2+ z2= 1
7 Tính R R
S
x
x2+ y2dS trong đó S là phần mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0
b Tính tích phân mặt loại 2
8 Tính R R
S +
zdxdy trong đó S+ là phía ngoài mặt cầu x2+ y2+ z2 = a2
9 Tính R R
S +
xdydz trong đó S+ là phía ngoài mặt cầu x2+ y2+ z2 = a2
10 Tính R R
S +
ydxdz trong đó S+ là phía ngoài mặt cầu x2+ y2+ z2 = a2
11 Tính R R
S +
z2dxdy trong đó S+ là phía ngoài nửa mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1, z ≥ 0
12 Tính R R
S +
zdxdy trong đó S+ là phía ngoài mặt Ellipsoide x2
a2 + y
2
b2 + z
2
c2 = 1
13 Tính R R
S +
xdydz trong đó S+ là phía ngoài mặt Ellipsoide x2
a2 + y
2
b2 + z
2
c2 = 1
14 Tính R R
S +
ydxdz trong đó S+ là phía ngoài mặt Ellipsoide x2
a2 + y
2
b2 + z
2
c2 = 1
15 Tính R R
S +
zdxdy trong đó S+ là phía ngoài mặt Ellipsoide x2
4 +
y2
9 + z
2= 1
16 Tính R R
S +
zdxdy trong đóS+là phía ngoài mặt cầu(x −a)2+ (y −b)2+ (z −c)2 = 1
17 Tính R R
S +
zdxdy trong đó S+ là phía ngoài mặt cầu (x − 1)2+ y2+ z2 = 1
18 Tính R R
S +
zdxdy trong đó S+ là phía ngoài mặt cầu (x − 1)2+ (y − 2)2+ z2 = 1
19 Tính R R
S +
(x − y)dxdy trong đó S+ là phía ngoài mặt nón x2+ y2 = z2,0 ≤ z ≤ 1
20 Tính R R
S +
x3dydz+y3dzdx+z3dxdytrong đóS+là phía ngoài mặt cầux2+y2+z2 =
a2
21 Tính R R
S +
xdydz−yxdzdx−yzdxdy trong đóS+ là phía ngoài hình chóp x= 0, y =
Trang 60, z = 0, x + y + z = 1
Phần 5 Phương trình vi phân
I Phương trình vi phân với biến số phân ly
1. x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0
2. (x + 2x3)dx + (y + 2y3)dy = 0
3. √ dx
1 − x2 + pdy
1 − y2 = 0
4. y′− xy2 = 2xy
5.√dxx −√dyy = 0
6. xydx+ (x + 1)dy = 0
7. 2xp1 − y2dx+ ydy = 0
8 p
y2+ 1dx = xydy
9. y′= y− 1
x+ 1
10. (y2+ xy2)dx + (x2− yx2)dy = 0
11. (1 − x)dy − ydx = 0
12. (x2− 1)y′+ 2xy2 = 0
13. xp1 − y2dx+ y√
1 − x2dy= 0
14. xy′+ y = y2
15. (1 + y2)(e2xdx− eydy) − (1 + y)dy = 0
II Phương trình vi phân hoàn chỉnh
1. (3x2+ 6xy2)dx + (6x2y+ 4y3)dy = 0
2. 2xydx + (x2− y2)dy = 0
3. (2 − 9xy2)xdx + (4y2− 6x3)ydy = 0
4. y
xdx+ (y3+ ln x)dy = 0
5. (1 + y2sin 2x)dx − 2y cos2xdy= 0
6. xdx+ ydy + ydx− xdy
x2+ y2 = 0
7. 2x(1 − ey)
(1 + x2)2 dx+ e
y
1 + x2dy= 0
8. 2x
y3dx+y
2− 3x2
y4 dy = 0
9. (x2+ y)dx = xdy
10. (2xy2− y)dx + (y2+ x + y)dy = 0
11. (x
y + 1)dx + (x
y − 1)dy = 0
Trang 712. (xy2+ y)dx − xdy = 0
13. (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0
III Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
1. y′′+ y′= 3
2. y′′+ 5y′+ 6y = 3
3. y′′− y = x2− x + 1
4. y′′− 2y′+ y = 4ex
5. y′′− 2y′− 3y = −4ex+ 3
6. y′′− 3y′= e3x− 18x
7. y′′− 3y′+ 2y = 3e2x+ 2x2
8. y′′− 3y′+ 2y = sin x
9. y′′− 4y′+ 8y = e2x+ sin 2x
10. y′′− 5y′= 3x2+ sin 5x
11. y′′− y = cos2x
12. y′′+ y = ex+ cos x
13. y′′− y = 2ex− x2
14. y′′+ y′− 2y = 3xex
15. y′′′− y′′= −3x + 1