Dang bai tap tim gtln gtnn cua ham so g8w1d

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Phương pháp giải Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp  D D R a) Nếu tồn tại một điểm 0 x D sao cho    0f x f x với mọi x D thì số  0[.]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I Phương pháp giải

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D D R

a) Nếu tồn tại một điểm x0Dsao cho f x  f x 0 với mọi xDthì số M f x 0 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là max  

x D





b) Nếu tồn tại một điểm x0 Dsao cho f x  f x 0 với mọi xDthì số m f x 0 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là min  

x D





Phương pháp đối với hàm số y f x trên D

Tính đạo hàm yrồi lập bảng biến thiên từ đó có kết luận về GTLN, GTNN

Nếu cần thì đặt ẩn phụ t g x với điều kiện đầy đủ của t

Phương pháp đối với hàm số y f x  trên đoạn  a b;

Nếu y f x  liên tục trên đoạn  a b; thì ta chỉ cần tìm các nghiệm x i của đạo hàm f 0  0rồi

so sánh kết luận:

minf x  minf a     ;f x1 ;f x2 ; ;f b  

maxf x  maxf a     ;f x1 ;f x2 ; ;f b  

Đặc biệt, nếu y f x  đồng biến trên đoạn  a b; thì:

min f x  f a  và max f x  f b 

Nếu y f x  nghịch biến trên đoạn  a b; thì:

min f x  f b  và max f x  f a 

Chú ý:

1) Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất trên đoạn đó

2) Với hàm y f x  thì GTLN trên 1 đoạn  a b; là GTLN của giá trị tuyệt đối của các giá trị

CĐ, giá trị CT và 2 biên f a , f b 

3) Khi cần thiết ta phối hợp các bất đẳng thức đại số

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a)   2

2 5

f x x  x trên đoạn  2;3

b)   3 2

3

x

f x   x  x trên đoạn  4;0

Giải

a) f x  2x 2; f x     0 x 1

Ta có f    2 5, f    1 6, f 3  10

So sánh thì

2;3

      ;

2;3

b)   2

4 3

f x x  x ; f x     0 x 1hoặc x   3

Ta có:   16

4

3

f    , f    3 4,   16

1

3

f    , f 0   4

Vậy:

3

Bài toán 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

  3 2

f x  x  x  x trên đoạn  5;5

Giải

Xét hàm số   3 2

3 72 90

g x  x  x  x trên đoạn  5;5

  2

3 6 72

g x  x  x ; g x    0 x 4hoặc x   6 (loại)

 5 500

f   ; f 5   70; f 4   86

Do đó  86 g x  400,   x  5;5 và vì hàm số g x  liên tục trên đoạn  5;5 nên

   

0  f x  g x  400

Vậy

Bài toán 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

4

x

y

x



 b)

2 2

1

y

x x



 

Giải

a) Tập xác định D R

2

2

2

4

4

x

y

x



 

 , y    0 x 2

Lập BBT thì có:   1

4

4

y f   

b) Tập xác định DR

1

x

y

x x



  

  ,

1 0

2

y    x

BBT

Vậy max 10

3

y và không tồn tại GTNN

Bài toán 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a)

2

1

y

x



 trên đoạn  2;4 b)

2 2

8 16

y



Giải

a) DR\ 1 

Ta có

 

2 2

1

y

x

 

 , y    0 x 1 2

Chọn nghiệm trên đoạn  2;4 là x  1 2

So sánh f 2  3; f1  2 2 2;   11

4 3

f 

Vậy max 11

3

y tại x 4 và miny 2 2 tại x   1 2

b) DR

2

2 4 3 1

2 5

y

 

  , y   0 x 4 hay 1

3

x  và lim 1

BBT

Vậy max 13

4

y tại 1

3

x   và miny  0 tại x 4

Bài toán 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) f x  3 2  x trên đoạn  3;1

4

f x  x x

Giải

a)   1

0

3 2

f x

x



 với mọi x  3;1 nên hàm số f nghịch biến trên đoạn  3;1

Vậy

b) Hàm số f xác định và liên tục trên đoạn  2;2

 

2

1

4

x

f x

x

  

 , với mọi x  2;2

2

4

x

x



0 2 2 2 2

4

x

x

 





Ta có f 2  2 2; f    2 2; f 2  2

So sánh thì

2;2

2;2

Bài toán 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a)   2

cos cos 3

f x  x x

cos 2 sin cos 4

Giải

a) Vì f x là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2  , nên ta chỉ cần xét trên đoạn 0;2 

  2sin cos sin

f    x      

Ta có: f 0  f 2   5; 2 11

f   

  ; f   3; 4 11

f   

min

4

f x  ; maxf x  5

Cách 2: Đặt t cosx,    1 t 1 thì

    2

3

f x g x   t t , g t  2t 1

0

2

g t    t So sánh g  1 , 1

2

g 

 , g 1

1 sin 2 sin cos 4 4 sin 2 sin 2 5

2

Đặt: t sin 2x,    1 t 1 thì   2 1

5 2

y f t   t t

2

2

f t   t ;   1

0

4

f t    t

Ta có:   9

1

4

f   , 1 81

4 16

f  

1 2

f 

Vậy min 7

2

y , max 81

16

y

Bài toán 7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) f x  x sin 2xtrên đoạn ;

2

 

 

b)   1 2

sin 2

f x  x x trên ;

2 2

 

 

Giải

a) f x   1 2 cos 2x;   1

f x   x  

x  k  x  k k Z

Với

2 x

6 6 6

f x    x     

f   

3

f     

f     

; ( )

f   f  

So sánh thì  

; 2

max

x

f x





  

; 2

max

2

x

f x





  

 

2 sin cos sin 2

f x   x x   x

Trên đoạn ;

2 2

 

 

0 sin 2

2

f x   x 

5 ;

12 12

f  

2

f             

2

f      

   

 

 

So sánh thì max 1

4

y 

,

2

min

  

Bài toán 8 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

a) sin 1sin 2

2

y x x

b) y cosp xsinq x với 0

2

x 

  ,p, q nguyên dương

Giải

a) Hàm số liên tục trên D R, tuần hoàn với chu kì 2  nên ta xét trên đoạn    ; 

cos cos 2 0 ,

3

Ta có f    0, 3 3

f  

3 3

f   

  , f   0

Vậy max 3 3

4

y

b) Với 0

2

x 

  thì sinx 0, cosx 0 nên y 0

Ta có 2  2   2 

cos p sin q

cos

t x, 0  t 1 thì

2    

1 q

p

y  f t t t ,   1   1  

1 q .

p

f t t  t  p pq t

Nên f t    0 t 0 hoặc t p

p q



 hoặc t 1

Ta có f 0  f 1  0,

 

.

0

p q

f

p q p q 

  



Nên suy ra

 

max

p q

p q y

p q 



