DẠNG 4 CÁC DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA CỦA SỐ HỮU TỈ I LÝ THUYẾT 1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lũy thừa bậc n của một số hữa tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1) n n x[.]
Trang 1DẠNG 4: CÁC DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA CỦA SỐ HỮU TỈ
I LÝ THUYẾT:
1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên:
Lũy thừa bậc n của một số hữa tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một số
tự nhiên lớn hơn 1): n
n
x x.x x (x , n , n1)
Nếu x a (a, b , b 0)
b
n n n
n
Quy ước: x1 = x; x0 = 1 (x ≠ 0)
2 Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:
m n m n
)
x
x x x ( ; m, n (Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên
cơ số và cộng hai số mũ)
m n m n
x 0, m n
x : x x (Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia)
3 Lũy thừa của một tích:
n n n
(x.y) x y (Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)
4 Lũy thừa của một thương:
n n
n
(y ≠ 0) (Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa)
5 Lũy thừa của lũy thừa:
m n m.n
(x ) x (Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai
số mũ)
II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 4.1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên
1 Phương pháp giải:
Nắm vững định nghĩa: n
n
x x.x x (x , n , n1)
Quy ước: x1 = x; x0 = 1 (x ≠ 0)
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính:
Trang 2a)
3
b) 14
c) 4
d) 13
Giải:
a)
3 3
3
b)
2
c)
3
d)
4
Dạng 4.2: Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
1 Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
m n m n
x x x (x ; m, n );
m n m n
x 0, m n
x : x x
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Tìm x, biết:
a)
3
x :
b)
.x
Giải:
a)
3
x :
3
4
1
x
3
Trang 3x
81
Vậy giá trị cần tìm là x 1
81
b)
.x
2
3
x
8
9
x
64
Vậy giá trị cần tìm là x 9
64
Dạng 4.3: Tính lũy thừa của một lũy thừa:
1 Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức tính lũy thừa của một lũy thừa: (xm)n = xm.n
Chú ý:
- Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng công thức này theo chiều từ phải sang trái: xm.n = (xm)n = (xn)m
- Tránh sai lầm do lẫn lộn hai công thức: xm.xn = xm+n và (xm)n = xm.n
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3:
a) Viết các số 2 và 24 316dưới dạng các lũy thừa có số mũ là 8
b) Trong hai số 2 và 24 3 , số nào lớn hơn? 16
Giải:
a) Nhận xét: 24 = 8.3; 16 = 8.2 Ta có:
224 = 23.8 = (23)8
Trang 4a) Vì 23 < 32 nên (23)8 < (32)8
Vậy 316 > 224
Dạng 4.4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương
1 Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức:
n n n
(x.y) x y (Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)
n n
n
(y ≠ 0)(Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa)
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:
3 3
90 15
Giải:
a) (0,125)3.512 =
3
3
.8 8 1
b)
3
3 3
90 90 15.6
6
Dạng 5.5: Tìm số mũ của một lũy thừa
1 Phương pháp giải:
Khi giải bài toán này, ta có thể sử dụng tính chất sau đây:
Với a ≠ 0, a ≠ 1, nếu am = an thì m = n
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n biết: 27n 3
3
Giải:
Cách 1: 27n 3
3
3
n
3
3
33-n = 31
Trang 53 – n =1
n = 2
Vậy n = 2 là giá trị cần tìm
Cách 2: 27n 3
3
3
n
3
3
3.3n = 33
3n+1 =33
n + 1 = 3
n = 2
Vậy n = 2 là giá trị cần tìm
Dạng 5.6: Tìm cơ số của một lũy thừa
1 Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số số mũ nguyên dương:
n
n
x x.x x (x , n , n1)
- Sử dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b nếu b lẻ, a =b nếu b chẵn
( n , n 1).
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 6: Tìm x, biết:
a) x3 = 64 b) (x – 5)2 = x – 5
Giải:
a) x3 = 64
Ta có: 64 = 43 Do đó x3 = 43 nên x = 4
Vậy x = 4 là giá trị cần tìm
b) (x – 5)2 = x – 5
Nếu x = 5, ta có 02 = 0 (đúng)
Nếu x ≠ 5, chia hai vế cho (x – 5) ≠ 0, ta được: x – 5 = 1 x = 6 Vậy có hai giá trị cần tìm là x = 5 hoặc x = 6
Dạng 1.7: Tìm giá trị của biểu thức
1 Phương pháp giải:
- Cần thực hiện đúng thứ tự của các phép tính:
Trang 6lên lũy thừa trước rồi đến nhân, chia và cuối cùng là cộng, trừ
+ Nếu phép tính có dấu ngoặc cần làm theo thứ tự: ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông
và sau đó là ngoặc nhọn
- Áp dụng các quy tắc của các phép tính và các tính chất của các phép tính đó
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 7: Tính:
a)
5 10
5
20 5
;
5 8
0,09
0,3
Giải:
a)
5 10 5 10 5 10
5
20 5 20 5 20 5
5 3125
100 (20.5) 20 5
b)
5
2
0,3
0,3 0,09
0,3 0,3 0,3
III BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Viết các số sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:
25; ; 0,125; 10 000; ;
Bài 2: Tính:
a)
3
2
;
3
0,1
c) [(–2)3]2
3 2
1 3
Bài 3: Viết các tích sau đây dưới dạng lũy thừa:
a) 2.16.8 b) 25.5.125 c) 2 4 8
3 9 27
Bài 4: Tính
a)
2
3 1
7 2
2
3 4
4 5
Trang 7c)
4 4
5 5
5 20
2003
.( 1)
Bài 5: Tìm x, biết:
a)
2
x :
b)
.x
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức:
a)
2 3
10
4 4
5 6
0,6
0, 2
c)
7 3
5 2
2 9
3 2 3
13
Bài 7: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:
a) 25.5 3 1 52
625
b) 4.32 : 2 3 1
16
c)
2
2
1 1
.49
7 7
Bài 8: Tìm các số nguyên x, biết:
a) 4
2x 5 81
b) 1.2n 4.2n 25
2
Bài 9: So sánh:
a) 1020 và 910
b) 68 và 1612
Trang 8c)
16
và 2
Bài 10: Chứng minh rằng:
a) (76 + 75 – 74) 55
b) (165 + 215) 33
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Các số sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ là:
5 ; ; 0,5 ; 10 ; ;
Bài 2:
a)
3
b) 4
0,1 0,0001
c) [(–2)3]2 = (–2)3.2 = (–2)6 = 64
d)
3
Bài 3:
a) 2.16.8 = 2.24.23 = 28
b) 25.5.125 = 52.5.53 = 56
c)
Bài 4:
a)
b)
c)
4 4 4 4 4
5 5 10 5 2
5 20 5 5 4 1 1
25 4 5 4 5 4 100
Trang 9d) 3 2 2003 3 2
:
Bài 5: Tìm x, biết:
a)
2
x :
b)
.x
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức:
a) 2 5
10 10 10 10
2
1
2 2 2 2
b)
0,6 0, 2 3 3 243
1215
0, 2 0, 2
0, 2 0, 2
c)
7 3 7 6
5 2 5 5 6 4
6 8 2 3 2 2 16
d) 3 2 3 3 3 2
3
3 2 2 1
6 3.6 3
3 27
Bài 7: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:
a)
7
3 2 2 3 2 7 4 3
b) 4.32 : 2 3 1 2 2 : 2 2 5 3 14 27 3 4 28
c)
2
2 4 4 2 1 1 2
Bài 8:
a) (2x - 5)4 = 81 2x – 5 = 3
+) Nếu 2x – 5 = 3 x = 4
+) Nếu 2x – 5 = –3 x = 1
Trang 10Bài 9: So sánh:
a) 1020 = (102)10 = 10100 > 910
b) 648 và 1612
648 = (26)8 = 248
1612 = (24)12 = 248
648 = 1612
c)
4
Bài 10: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số, sau đó đặt nhân tử chung và chứng minh
a) (76 + 75 – 74) = 74.(72 + 7 – 1) 55
b) 5 15 4 5 15
16 2 2 2
= 220 + 215 = 215.( 25+1) = 215.33 33