DẠNG 3 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I LÝ THUYẾT Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số x khi x 0 x x khi x 0 II CÁC DẠNG[.]
Trang 1DẠNG 3: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I LÝ THUYẾT:
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm
0 trên trục số
x khi x 0
x
x khi x 0
II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 3.1: Tính toán các số hữu tỉ có chứa dấu giá trị tuyệt đối
1 Phương pháp giải:
- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:
x khi x 0
x
x khi x 0
- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:
x : x 0; x x ; x x
2 Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính:
2 5 3
:
5 4 4
Giải:
2 5 3 2 5 3 2 5 4
5 4 4 5 4 4 5 4 3
2 5 6 25 19
5 3 15 15 15
Dạng 3.2: Tìm một số chưa biết trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
1 Phương pháp giải:
- Áp dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
- Quy tắc chuyển vế
- Tính chất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:
x : x 0; x x ; x x
2 Ví dụ minh họa:
Trang 2Ví dụ 2: Tìm x, biết:
a) x 2
5
b) x 2 6
7 7
c) 2 x 13 3
5 10 2
Giải:
a) x 2
5
x 2
5
hoặc x 2
5
Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 2
5
hoặc x 2
5
b) x 2 6
7 7
Cách 1: (Căn cứ vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối)
- Nếu x 2 0
7
, tức là x 2
7
thì x 2 x 2
Khi đó, ta có: x 2 6
7 7
6 2 x
7 7
8 x 7
(thỏa mãn điều kiện x 2)
7
- Nếu x 2 0
7
, tức là x 2
7
thì x 2 x 2 2 x
Khi đó, ta có: 2 x 6
7 7
2 6 x
7 7
4 x 7
(thỏa mãn điều kiện x 2)
7
Trang 3Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 8
7
hoặc x 4
7
Cách 2: (Căn cứ vào tính chất |x| = |–x|)
2 6
x
7 7
suy ra: x 2 6 (1)
7 7
hoặc x 2 6 (2)
7 7
Từ (1) ta có: x 2 6 2 8
7 7 7 7
Từ (2) ta có: x 6 2 4
7 7 7
Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 8
7
hoặc x 4
7
c) 2 x 13 3
5 10 2
13 3 2
x
10 2 5
13 11
x
10 10
Suy ra: x 13 11 (1)
10 10
hoặc x 13 11 (2)
10 10
Từ (1) ta có: x 11 13 12
10 10 5
Từ (2) ta có: x 13 11 13 1
10 10 10 5
Vậy có hai giá trị thỏa mãn bài toán là x 12
5
hoặc x 1
5
Dạng 3.3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối
1 Phương pháp giải:
Cho biểu thức A thì |A|0,với m là hằng số, ta có:
+ Giá trị nhỏ nhất của |A| + m ≥ m
+ Giá trị lớn nhất của –|A| + m ≤ m
2 Ví dụ minh họa:
Trang 4Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
3
Giải:
Vì x 1
3
≥ 0 x
Suy ra x 1 4
3
≥ 0 + 4 x
Do đó A ≥ 4 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x 1
3
= 0, nghĩa là x = 1
3
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 5,5 – |2x – 1,5|
Giải:
Vì |2x – 1,5| ≥ 0 x
–|2x – 1,5| ≤ 0 x
–|2x – 1,5| + 5,5 ≤ 5,5 x
5,5 – |2x – 1,5| ≤ 5,5 x
Suy ra B ≤ 5,5 x
Vậy giá trị lớn nhất của B là 5,5 khi |2x – 1,5|= 0, nghĩa là 2x – 1,5 = 0 hay x = 0,75
III BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng:
a) |–10,5| = 10,5;
b) –0,75| = –0,75;
c) |–15,25| = – (–15,25)
Bài 2: Tính:
a) 5 3 6;
14 7 5
b) 2 11 3;
5 6 10
Trang 5c) 3 1 16:
8 4 3
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau với: |a| = 1,5; b = –0,5
a) A = a + b; b) B = 2a – |3b|
Bài 4: Tìm x, biết:
a) 5 x : 6 3;
14 11 7
b) x 1;
5
c) x 4
5
Bài 5: Tìm x, biết:
a) x 2 1
5 4
b) x 2 1 1
5 3 3
c) 2 x 3,5 1
2
Bài 6: Tính giá trị biểu thức: A = 2x2 – 5x + 1 biết |x| = 1
3
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = |3,7 – x| + 2,5
b) B = |x + 1,5| – 4,5
Bài 8: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) M 2 x 2
3
b) N x 2 2021
5
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức:
P 2, 4 5, 2 4,5 9,3
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Trang 6A = |x – 100| + |x – 400|
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
a) Đúng (Vì –10,5 < 0 nên |–10,5| = –(–10,5) = 10,5)
b) Sai (vì |–0,75| = – (–0,75) = 0,75);
c) Đúng (vì |–15,25| = 15,25 = – (–15,25))
Bài 2: (Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi tính toán như bình thường)
a) 5 3 6 5 3 6 79;
14 7 5 14 7 5 70
b) 2 11 3 2 7 3 7 ;
5 6 10 5 6 10 15
c) 3 1 16: 3 1 3 21
8 4 3 8 4 16 64
Bài 3:
a) Với a = 1,5; b = –0,5 A = a + b = 1
Với a = –1,5; b = –0,5 A = a + b = –2
b) Với a = 1,5; b = –0,5 B = 2a – |3b| = 1,5
Với a = –1,5; b = –0,5 B = 2a – |3b| = – 4,5
Bài 4:
a) 5 x : 6 3
14 11 7
5 11 3
x
14 6 7
11 11
x
6 14
3
x
7
b) x 1 x 1
Trang 7c) x 4 x 4 x 4
Bài 5: Tìm x, biết:
a) x 2 1 x 2 1 x 13 3;
b) x 2 1 1 x 2 2 x 2 2 x 16 4;
2 x 3,5 x 3,5 0,25 x 3,5 0,25 x 3,75;3,25
2
Bài 6: |x| = 1
3 x 1
3
Với
2
Với
2
Bài 7: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = |3,7 – x| + 2,5 ≥ 2,5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 3,7
b) B = |x + 1,5| – 4,5 ≥ – 4,5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = –1,5
Bài 8: Giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) M 2 x 2
3
≤ 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2
3
b) N x 2 2021
5
≤ 2021 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2
5
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức:
P 2, 4 5, 2 4,5 9,3
2, 4 5, 2 4,5 9,3
4 2
1,7.11,815 20,0855
Bài 10:
Trang 8Ta có: x 100 x 100
x 400 400 x 400 x
A = |x – 100| + |x – 400| = |x – 100| + |400 – x|
≥ | x – 100 + 400 – x| = 300
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
x 100 x 100 x 100 0
100 x 400
400 x 0
400 x 400 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 300 khi và chỉ khi 100 ≤ x ≤ 400