De thi HSG tinh 2011 2012 §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn SëSëSëSë gi¸o dôc vµ gi¸o dôc vµ g[.]
Trang 1Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Trường THCS TT Tân Uyên Trường THCS TT Tân Uyên Trường THCS TT Tân Uyên Sở
Sở giáo dục và giáo dục và giáo dục và đào tạo lai châu đào tạo lai châu đào tạo lai châu
(Đề thi gồm 01 trang)
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
năm học 201
năm học 2012222 môn: toán
môn: toán lớp 9 cấp THCS lớp 9 cấp THCS lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 15
Thời gian làm bài: 150 phút 0 phút 0 phút
(không tính thời gian giao đề)
Câu 1
Câu 1: (4,0 Điểm)
a, Chứng minh rằng A(n) = n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức P(x) = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hết cho đa thức Q(x) = x2 - 3x + 4
Câu 2
Câu 2: (4,0 điểm)
a, Rút gọn biểu thức A = 13 30 2 + + 9 4 2 + + 2007 3 2 ư
b, Tính giá trị của biểu thức: B =
2
3 2
2y 5y 2 2y 9y 12y 4
+ + + khi y = 2001 2012 - 2
Câu 3
Câu 3: (4,0 điểm)
1, Giải phương trình: 1 2
x x 1 4 2 3 0
2, Giải hệ phương trình:
2 2
1 x
y y
1 x
y y
Câu 4
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho x > 0 Tìm x để biểu thức D = x 2
(x + 2012) đạt giá trị lớn nhất, xác định giá trị lớn nhất đó
Câu 5
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD Gọi K, L lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ A và B đến CD Chứng minh rằng CK = DL
Câu
Câu 6666: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là trung điểm của cạnh
AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh rằng OE ⊥ CD
Hết
đề chính thức
đề chính thức
Trang 2Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Trường THCS TT Tân Uyên Trường THCS TT Tân Uyên Trường THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Đáp án Chú ý:
Chú ý: Đáp án Đáp án Đáp án chỉ mang tính tham khảochỉ mang tính tham khảochỉ mang tính tham khảo
Câu 1: (4,0 điểm)
a, Chứng minh rằng A(n) = n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức P(x) = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hết cho đa thức Q(x) = x2 - 3x + 4
Giải Giải
a, Ta có: A(n) = n(n2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) Vì n nguyên nên (n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp ⇒ (n - 1)n(n + 1) ⋮ 1.2.3 ⇒ (n - 1)n(n + 1) ⋮ 6
Vậy A(n) ⋮ 6 với mọi số nguyên n
b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức P(x) = x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b chia hết cho đa thức Q(x) = x2 - 3x + 4 Vì P(x) chia hết cho Q(x) nên:
P(x) = (x2 + mx + n)(x2 - 3x + 4)
⇒ x4 - 3x3 + 3x2 + ax + b = x4 + (m - 3)x3 + (4 - 3m + n)x2 + (4m - 3n)x + 4n
áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có:
4 3m n 3 n 1
4m 3n a a 3
⇔
Vậy a = 3, b = -4
Câu 2: (4,0 điểm)
a, Rút gọn biểu thức A = 13 30 2+ + 9 4 2+ +2007 3 2ư
b, Tính giá trị của biểu thức: B =
2
3 2
2y 5y 2 2y 9y 12y 4
+ + + khi y = 2001 2012- 2
Giải Giải
a, Ta có: A = 13 30 2+ + 9 4 2+ +2007 3 2ư
= 2
13 30 2+ + ( 8 1)+ +2007 3 2ư = 13 30 3 2 2+ + +2007 3 2ư
= 2
13 30 ( 2 1)+ + +2007 3 2ư = 43 30 2+ +2007 3 2ư
= 2
(5 3 2)+ +2007 3 2ư
= 2012 Vậy A = 2012
b, Ta có: B =
2y 9y 12y 4 (y 2)(2y 5y 2)
=
1 2
≠ ư
⇒ B = 1
y+2 Thay y = 2001 2012- 2 vào B ta được B =
1
2001 2012
Câu 3:
1, Giải phương trình: 1 2
4 + + ư ư =
2, Giải hệ phương trình:
2 2
1 x
y y
1 x
y y
+ + =
Giải Giải
Trang 3Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Trường THCS TT Tân Uyên Trường THCS TT Tân Uyên Trường THCS TT Tân Uyên
a, ĐKXĐ: Xác định với mọi x ∈ R
1 2
2
1
⇔
1
x 1 3 1
x 1 3 1
1 2
x 1 1 3 2
+ = ư
+ = ư ⇔
+ = ư
x 2 3 2
x 2 3
⇔
= ư
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 = 2 3 2ư ; x2 = 2 3ư
b, Giải hệ phương trình:
2 2
1 x
y y
1 x
y y
+ + =
ĐKXĐ: y 0≠
Đặt u = x
y; v = x 1
y
+ ⇒ v2 = 2
2
+ + ⇒ 2
2
1 x y
+ = v2 - 2u ⇒ 2
2
1 x y
+ + x
y = v2 - u ⇒
ư + =
ư = + ư =
= ư
TH1:
2
1
x y 1 x
x y 1
y
(T/m)
TH2:
2
1
y
y
+ = ư
(*)
Ta thấy phương trình 6y2 + 3y + 1 = 0 có ∆ = 9 - 24 = -15 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm ⇒ Hệ (*) vô nghiệm
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x = y = 1
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho x > 0 Tìm x để biểu thức D = x 2
(x+2012) đạt giá trị lớn nhất, xác định giá trị lớn nhất đó
Giải Giải Xét biểu thức: M =
(x 2012) x 2.2012x 2012 2012
Vì x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2
2012
x
x
+ 2 x.20122 4024
x
⇒ D = 1
M ≤ 1
8048 Dấu bằng xảy ra khi:
2
2012
x
Vậy: Max D = 1
8048 khi x = 2012
Câu
Câu 5555: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD Gọi K, L lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ A và B đến CD Chứng minh rằng CK = DL
Giải Giải
Trang 4§ç V¨n L©m
§ç V¨n L©m Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn
- Qua O kÎ OI//AK ⇒ OI ⊥ KL
⇒ IC = ID (quan hÖ ®−êng kÝnh vµ d©y cung)
- H×nh thang vu«ng ABLK cã:
OA OB(gt)
OI // AK
=
(®lý vÒ ®−êng trung b×nh cña h×nh thang)
⇒ IK = IL mµ IC = ID (c/m trªn)
⇒ CK = DL (®pcm)
C©u 6
C©u 6: (3,0 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c©n ë A néi tiÕp ®−êng trßn (O) Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, E lµ träng t©m tam gi¸c ACD Chøng minh r»ng OE ⊥ CD
Gi¶i Gi¶i Gäi M lµ trung ®iÓm cña AD, F lµ trung ®iÓm cña AC
⇒ träng t©m E cña ∆ACD chÝnh lµ giao ®iÓm cña CM vµ DF
VÏ EN // AD víi N ∈ CD
V× OD ⊥ AB t¹i D ⇒ OD ⊥ EN (1)
XÐt ∆CDM cã EN//DM
⇒ CE CN
EM = ND mµ CE = 2EM (gt)
⇒ CD = 2DN ⇒ N lµ träng t©m cña ∆ABC
⇒ N ∈ trung tuyÕn AH, mµ ∆ABC c©n t¹i A
nªn AH ⊥BC ⇒ AH ⊥ DF
⇒ NA ⊥ DF t¹i K (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ O lµ trùc t©m cña ∆DNE
⇒ OE ⊥ DN
⇒ OE ⊥ CD (®pcm)
O
I
L
K
D C
B A
K
H N
M
F E
O D
C B
A