Xin giới thiệu tới các bạn học sinh Đề thi HSG năm 2011-2012 môn Toán lớp 7 – Trường THCS Đáp Cầu thuộc Phòng GD & ĐT Tp Bắc Ninh. Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận có kèm hướng dẫn và đáp án dành cho các bạn học sinh và giáo viên tham khảo.
Trang 1PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI HSG NĂM 2011-2012
TRƯÒNG THCS ĐÁP CẦU Môn : Toán lớp 7
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1(3điểm): a) So sánh hai số : 330 và 520
b) Tính : A =
3 10 9
6 12 11
Câu 2(2điểm): Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy
Chứng minh rằng: x = y = z
Câu 3(4điểm):: a) Tìm x biết : 1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 và x1=2 , x 2= 3
Câu 4(2điểm):: Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z
Biết f(1) 3; (0) 3; ( 1) 3 f f Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
Câu 5(3điểm):: Cho đa thức A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100
a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm củ A(x)
b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1
2
Câu 6(6điểm):: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M
và N sao cho BM = MN = NC Gọi H là trung điểm của BC
a) Chứng minh AM = AN và AH BC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm
c) Chứng minh MAN > BAM = CAN
-Hết -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
1
30 3 10 10 20 2 10 10 10 30 20
3
12 10
12 10 10 12
12 10 11 11
11 11 11 11
2 3 3.2.5.2 2.3 2 3 3 2 5 2 3 1 5 )
2 3 2 3 2 3 2.3 1
2 3 2.3 6.2 3 4.2 3 4
7.2 3 7.2 3 7
b P
1.5đ
1.5đ
2
Vì x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy
x z y; x z; y x y z
y x z y x z y z x.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
1
1đ
1đ
3
a
2009 2008 2007 2006
2009 2008 2007 2006
2010 2010 2010 2010
0
2009 2008 2007 2006
2009 2008 2007 2006
1đ
1đ
b
Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:
2
4
Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ;
Với y1 = 6 thì y2= 4
1đ
1đ
4
Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c 1đ
Trang 3
) (0) 3 3
Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2a 3 a 3 vì ( 2; 3) = 1 b 3
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3
1đ
5
a
A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100
= - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 ( vì có 50 số -1 và 50 số 1)
Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x)
b
Với x= 1
2 thì giá trị của đa thức A = 1 12 13 198 199 1001
22 2 2 2 2
2.A 2
(1 12 13 198 199 1001
2 A =(1 12 13 198 199 1001
22 2 2 2 2 ) +1 - 1001
1
2
100
1 1 2
A
1.5đ
6
a
Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AM
Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 900
AH BC
2đ
A
B M H N C
K
Trang 4b
Tính AH: AH2 = AB2 - BH2 = 52- 32 = 16 AH = 4cm
Tính AM : AM2 = AH2 + MH2 = 42 + 12 = 17 AM = 17cm
2đ
c
Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c-
g- c) MAN = BKM và AN = AM =BK Do BA > AM BA >
BK BKA > BAK MAN >BAM=CAN
2đ
Trang 5TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012
Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
abxy xy ay ab by
Với a = 1
3 ; b = -2 ; x = 3
2 ; y = 1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < … < a9 thì:
3 6 9
3
Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5,
các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m B và C có cùng chiều rộng Chiều dài của mảnh đất C là 24m Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó
Bài 4: Cho 2 biểu thức:
A = 4 7
2
x
x
; B =
2
3
x
a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên
b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên
Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ
tự hai điểm D và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE Chứng minh BH = CK d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm
Trang 6PHÒNG GD & ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS ĐAP CẦU LỚP 7- NĂM HỌC 2011- 2012
Môn: TOÁN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
TP
Điểm toàn bài
1
abxy xy ay ab by
abxy xy ay ab by
=
ax ay bx by ab ax by xy
abxy xy ay ab by
=
ay bx ab xy abxy xy ay ab by
xy ay ab by abxy xy ay ab by
= 1
abxy
Với a = 1
3 ; b = -2 ; x = 3
2 ; y = 1 ta được: A = 1 1
( 2) 1
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5
2,5
2
Ta có: 0 < a1 < a2 < … < a9 nên suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)
a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:
a1 + a2 + … + a9 < 3(a3 + a6 + a9)
Vì a1 + a2 + … + a9 > 0 nên ta được: 1 2 9
3 6 9
3
0,25 0,25 0,25 0,75 0,5
2
3
Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C
theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC
Theo bài ra ta có:
4
5
A
B
S
8
B C
S
S ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m)
Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích
của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng Ta có:
4
5
S r
27 3
rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC
Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích
của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài Ta có:
7
8
S d dB = 7 7.24 21
C
d
(m) = dA
0,25
0,5
1 0,25
1
4,5
Trang 7SB = dB rB = 21 15 = 315 (m2)
SC = dC rC = 24 15 = 360 (m2)
0,5 0,5
4
a) Ta có: A = 4 7
2
x x
= 4( 2) 1 4 1
x
Với x Z thì x - 2 Z
Để A nguyên thì 1
2
x nguyên x - 2 là ước của 1
Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 Do đó: x = 3 hoặc x = 1
Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1
+) B =
2
3
x
x x
x
Với x Z thì x - 3 Z
Để B nguyên thì 2
3
x nguyên x - 3 là ước của 2
Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1
Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2
Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2
b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1
0,5
0,25
0,5 0,5
0,25
0,5 0,5
3
5
A
H K
D B C E
O
Chứng minh:
a) ABC cân có AB = AC nên: C C
Suy ra: D CE Xét ABD và ACE có:
AB = AC (gt)
(CM trên)
DB = CE (gt)
Do đó ABD = ACE (c - g - c)
AD = AE (2 cạnh tương ứng) Vậy ADE cân tại A
b) Xét AMD và AME có:
MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt)
AM: Cạnh chung
AD = AE (CM trên)
Do đó AMD = AME (c - c - c)
MADMAE
0,5
0,5
1 0,5
1
8
ABC có AB = AC
GT DB = CE (D tia đối của CB;
E
tia đối của BC)
a) ADE cân
b) MB = MC, chứng minh AM
KL là tia phân giác góc DAE
c) BH AD = H; CKAE = K
chứng minh: BH = CK
Trang 8Vậy AM là tia phân giác của DAE
c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)) Nên ADE AED
Xét BHD và CKE có:
BDHCEK (Do ADE AED)
DB = CE (gt)
BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn)
Do đó: BH = CK
d) Gọi giao điểm của BH và CK là O
Xét AHO và AKO có:
OA: Cạnh chung
AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE))
AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông)
Do đó OAH OAK nên AO là tia phân giác của KAH hay AO là
tia phân giác của DAE
Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của DAE
Do đó AO AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau
tại O
0,5 0,25
1 0,5 0,25
1
0,25 0,75