Së gd-®t L¹ng S¬n

Së gd ®t L¹ng S¬n Së gd ®t L¹ng S¬n trêng thpt B¾c S¬n §Ò thi chän häc sinh giái líp 10 M«n To¸n NĂM HỌC 2008 2009 Thời gian làm bài 180 phót (kh«ng kể thời gian giao ®ề) Bµi1(8®) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh[.]

Sở gd-đt Lạng Sơn

trờng thpt Bắc Sơn

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10

Môn Toán NĂM HỌC 2008-2009

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời

gian giao đề)

Bài1(8đ).

1) Giải phơng trình: x (x+1)(x+2)(x+3) =9

16 2) Giải hệ phơng trình:





x+y+xy =4

x y+xy =3 .

Bài 2(3đ)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P =

x +3xy- y

x +xy+y

Bài 3(2đ).

Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng thẳng d :

x – 2y – 3 = 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho MAuuur+2MBuuur- 3MCuuur

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4(6 đ)

Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cú H là trực tõm, gọi R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp

1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA

2) Chứng minh rằng: cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC

Bài 5(1 đ)

Cho a, b, c là ba số thực dơng Chứng minh rằng:

³

Hết _

Câu NỘI DUNG ĐIỂM

Cõu 1: 1) Giải phơng trình: x (x+1)(x+2)(x+3) =9

16(1)

* Đặt t = x(x+3) (1) trở thành t(t+2) =9/16 

9 4 1 4

t

t

ộ

ờ=-ờ

ờ

ờ=

ờ

ở

1

* với t = 9

4 ta có x(x+3) = -9

4 x2 + 3x + 9

4= 0 x = - 3

2

1

* với t = 1

4 ta có x(x+3) = 1

4 x2 + 3x - 1

4= 0

ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ

-3+ 10

x =

2 -3- 10

x =

2

1

* Vậy phơng trình có nghiệm

3 2

3 10 2

3 10 2

x x x

ộ

ờ =-ờ ờ

ờ - +

ờ = ờ ờ

ờ =-ờ

1

2) Giải hệ phơng trình:





x+y+xy =4

x y+xy =3 (2) (2)  ( x + y) + xy = 4

xy(x+y) = 3

ỡùù ớù

ùợ đặt S = x+ y; P = xy

Ta đợc hệ 4

3

S P SP

ỡ + = ùù

ớù =

ùợ Khi đó S, P là nghiệm của Phơng trình

t2 - 4t + 3 = 0

2

1 3

S

P

ỡ =

ùù

ớù =

ùợ hoặc

3 1

S P

ỡ = ùù

ớù = ùợ

3

S P

ỡ =

ùù

ớù =

ùợ x, y là nghiệm của phơng trình u

2 – u + 3 = 0 Phơng trình này vô nghiệm

1

* 3

1

S P

ỡ = ùù

ớù =

ùợ x, y là nghiệm của phơng trình u

2 – 3u + 1 = 0



2

2

x y

ù = ùùù

ớù

-ùù = ùùợ

hoặc

2

2

x y

ỡù

-ù = ùùù

ùù = ùùợ

1

Vây hệ có 2 nghiệm

2

2

x y

ù = ùùù

ớù

-ùù = ùùợ

và

2

2

x y

ỡù

-ù = ùùù

ùù = ùùợ

Câu

2

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P =

x +3xy- y

x +xy+y

* y  0 thì P = 22 3 1

1

t t

t t

+ -+ -+ với t = x/y gọi P là một giá trị bất

kỳ của nó khi đó phơng trình sau ẩn t phải có nghiệm

P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = 0

có nghiệm hay

1

Δ (3 ) 4(1 ) 0 (*)

P

ộ = ờ

ở (*)  -3P2 – 6P +13  0  - (1+ 3 )  P  3 - 1

1

0,5 Vậy giá trị lớn nhất của P = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = - (1+ 3 )

Câu

3

Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đờng

thẳng d : x – 2y – 3 = 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho

Q = MAuuur+2MBuuur- 3MCuuur đạt giá trị nhỏ

Gọi M(2y+3 ; y)  d Khi đó MAuuur+2MBuuur- 3MCuuur = (2y – 5 ;

y+21)

MA+ MB- MC

uuur uuur uuur

= (2y- 5)2+(y+21)2 = 5y2+22y+466

Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y = 11

5

-Vậy M( 7

5

- ; 11

5

- )

2

Câu4

Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cú H là trực tõm, gọi R là bỏn kớnh

đường trũn ngoại tiếp

1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA

2) Chứng minh rằng: cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC

O A

C B

H

A' D

1

1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đờng kính dễ có BHCA’

là hình bình hành Do đó AH = 2OD = 2OCcosA =

2RcosA

2

2)

1 cos cos cos (cos cos cos cos cos cos )

2 sin cos sin cos sin cos

Ta có cos 1

2

A B

-Ê vì C nhọn nên

1

1

0 0

< < ị > ị <

Tơng tự ta có

-<

-<

Vậy cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC

1

Câu5

Cho a, b, c là ba số thực dơng Chứng minh rằng:

³

2

b c = a b c ³ a b c

2

a c = b a c ³ a b c

2

b a = c b a ³ a b c

Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải

chứng minh

2