Bé c«ng th­¬ng

Bé c«ng th­¬ng Bé C«ng Th­¬ng Tr­êng §H Kinh tÕ Kü thuËt CN §Ò thi hÕt m«n To¸n Cao CÊp 1 Líp C§ kho¸ 18 H×nh thøc thi viÕt Thêi gian 90 phót §Ò sè 13 C©u 1 1) T×m a ®Ó hµm sè sau liªn tôc t¹i x = 1 [.]

Bộ Công Th-ơng

Tr-ờng ĐH Kinh tế Kỹ thuật CN Đề thi hết môn

Toán Cao Cấp 1

Lớp: CĐ khoá 18

Hình thức thi: viết Thời gian: 90 phút

Đề số: 13

Câu 1: 1) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 1



















1

1 1

sin ) 1 ( ) (

2

x khi a

x khi x

x x

f



2) Tìm giới hạn

𝐿 = lim

𝑥→0

𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥)

Câu 2: Tớnh𝑦′′(𝑥) với𝑦 𝑥 = (1 + 𝑥)1𝑥

Câu 3: 1) Tính

𝐼 = 6𝑥 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 2) Tính

𝑥 1 + 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

𝑒 1

Câu 4: Tỡm cực trị hàm số hàm số

𝑧 = 4𝑥 − 𝑥3 − 𝑥𝑦2

Câu 5: Cho A =



















1 0 0

2 1 0

3 2 1

; B =



























2 3 2

1 2 1

2 1 1

1) Tớnh: 2A + A.B 2) Tỡm ma trận X sao cho: A.X = B

Đáp án-thang điểm Câu 1 (2 điểm)

1 (1điểm)

Để hàm số liên tục tại 𝑥 = 1 thì lim𝑥→1𝑓(𝑥) = 𝑓(1)

𝑓 1 = 𝑎

Do 𝑥2 − 1 → 0 khi 𝑥 → 1 và sin⁡( 𝜋

𝑥−1) là hàm bị chặn trên 𝑅 nên lim𝑥→1 𝑥2 − 1 sin⁡( 𝜋

𝑥−1) = 0 Vậy 𝑎 = 0

2 (1 điểm)

Khi 𝑥 → 0 thì giới hạn có dạng 00 nên áp dung quy tắc lô pi tan ta có:

𝐿 = lim

𝑥→0

𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥) = lim𝑥→0

−2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠4𝑥

−4𝑠𝑖𝑛4𝑥 Khi 𝑥 → 0 thì 𝑠𝑖𝑛2𝑥~2𝑥, 𝑠𝑖𝑛4𝑥~4𝑥, thay thế các VCB tương đương vào giới hạn ta có

𝐿 = lim

𝑥→0

−2.2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠4𝑥

−4.4𝑥 =

1 4

Câu 2 (2 điểm)

𝑦 = 𝑒1𝑥𝑙𝑛 (1+𝑥)

𝑦′ = − 1

𝑥2𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1

𝑥(1 + 𝑥) 𝑒

1 𝑥𝑙𝑛 (1+𝑥)

𝑦′ = − 1

𝑥2𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1

𝑥(1 + 𝑥) 𝑦

𝑦′′ = 2

𝑥3𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 1

𝑥2 1 + 𝑥 −

2𝑥 + 1

𝑥2 1 + 𝑥 2 𝑦 + − 1

𝑥2𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1

𝑥 1 + 𝑥 𝑦′

𝑦′′ = 2

𝑥3𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 3𝑥 + 2

𝑥2 1 + 𝑥 2 𝑦 + − 1

𝑥2𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1

𝑥(1 + 𝑥) −

1

𝑥2𝑙𝑛 1 + 𝑥

𝑥(1 + 𝑥) 𝑦

𝑦′′ = 2

𝑥3𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 3𝑥 + 2

𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1

𝑥4𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 1

𝑥2(1 + 𝑥)2

𝑥3(1 + 𝑥)𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑦

𝑦′′ = 3𝑥 + 1

𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1

𝑥4𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 2 1

𝑥2 1 + 𝑥 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑦

𝑦′′ = 3𝑥 + 1

𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1

𝑥4𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 2 1

𝑥2(1 + 𝑥)𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑒

1 𝑥𝑙𝑛 (1+𝑥)

𝐼 = 6𝑥 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 = 3 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

= 3 𝑥𝑑𝑥 −3

2 𝑥𝑑(𝑠𝑖𝑛2𝑥)

𝐼 = 3𝑥2

3

2𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 +

3

2 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥

𝐼 = 3𝑥2

3

2𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 −

3

4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶

2.(1điểm)

Đặt 𝑡 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑡2 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 2𝑡𝑑𝑡 = 1

𝑥𝑑𝑥

𝐽 = 2 𝑡2 − 1 𝑑𝑡

2

1

= 2 (𝑡3

3 − 𝑡) 1

2

=4 − 2 2

3

Câu 4(2điểm)

Giải hệ:

𝑧′𝑥 = 4 − 3𝑥2 − 𝑦2 = 0 𝑧′𝑦 = −2𝑥𝑦 = 0

Ta có 4 điểm tới hạm

𝑃1 0,2 , 𝑃2 0, −2 , 𝑃3 2

3, 0 , 𝑃4(−

2

3, 0) 𝑧′′𝑥𝑥 = −6𝑥, 𝑧′′𝑥𝑦 = −2𝑦, 𝑧′′𝑦𝑦 = −2𝑥 Tại điểm 𝑃1 đặt

𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃1 = 0, 𝐵 = 𝑧′′

𝑥𝑦 𝑃1 = −4, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃1 = 0

Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > 0 nên 𝑃1 không là cực trị

Tại điểm 𝑃2 đặt

𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃2 = 0, 𝐵 = 𝑧′′

𝑥𝑦 𝑃2 = 4, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃2 = 0

Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > 0 nên 𝑃2 không là cực trị

Tại điểm 𝑃3 đặt

𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃3 = −12

3, 𝐵 = 𝑧

′′

𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃3 = − 4

3

Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 < 0 nên 𝑃3 là cực đại

𝑧𝑐đ = 𝑧 𝑃3 = 8

3−

8

3 3 =

16

3 3 Tại điểm 𝑃4 đặt

𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃4 = 12

3, 𝐵 = 𝑧

′′

𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃3 = 4

3

Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 > 0 nên 𝑃4 là cực tiểu

𝑧𝑐𝑡 = 𝑧 𝑃4 = − 8

3+

8

3 3 = −

16

3 3

2𝐴 + 𝐴𝐵 = 2 4 −60 2 4

+ 1 2 −30 1 2

−11 −1 21 1

= −5 16 −83 −2 9

2.(1 điểm)

Do 𝐴 = 1 ≠ 0 ⇒ ∃𝐴−1

𝐴−1 = 1 −20 1 −27

Nhân bên trái 2 vế của phương trình với 𝐴−1 ra có:

𝑋 = 𝐴−1𝐵 = 1 −20 1 −27

2 −3 2 =

17 −26 14