Báo cáo nghiên cứu KHKT 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG CUỘC THI KHOA HỌC KĨ THUẬT CẤP THÀNH PHỐ DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC NĂM HỌC 2022 2023 Tên dự án Xác định các hằng số đàn hồi của vật liệu trực hướng bằng phương pháp.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

CUỘC THI KHOA HỌC KĨ THUẬT

CẤP THÀNH PHỐ DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC

NĂM HỌC 2022- 2023

Tên dự án:

Xác định các hằng số đàn hồi của vật liệu

trực hướng bằng phương pháp bình phương

tối thiểu Lĩnh vực dự thi: Toán học

Hải Phòng, tháng 10 năm 2022

MỤC LỤC

Trang

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong sách giáo khoa môn Vật lý lớp 10, em có được học về định luật Húc có nội dung như sau: Trong giới hạn đàn hồi, độ lớn của lực đàn hồi của lò xo tỉ lệ thuận với độ biến dạng của lò xo[1]

dh

F   (1)k l

Trong đó F dh  lực đàn hồi; k  độ cứng của lò xo, l  độ biến dạng của lò xo

Qua tìm hiểu em được biết định luật này không chỉ được áp dụng cho lò xo

mà được sử dụng rộng rãi trong tất cả các vật liệu đàn hồi Theo đó, ứng suất là hàm tuyến tính thuần nhất của biến dạng [2]:

ij A ijkl kl

   (2)

Trong đó   tensor ứng suất; ij A ijkl tensor hằng số đàn hồi, kl tensor biến dạng

Đối với vật liệu trực hướng ở dạng tấm, phương trình (2) có dạng:

 

11 1111 11 1122 22

22 1122 11 2222 22

12 1212 12

A

 Trong phương trình (3) có 4 hằng số đàn hồi cần được xác định Tuy nhiên, việc xác định các hằng số đàn của từng vật liệu đến nay vẫn chưa được thực hiện một cách đầy đủ

Hơn nữa, nhược điểm của định

luật Húc là không tính đến khả năng

chịu kéo và nén của vật liệu là khác

nhau Thêm vào đó, cùng với sự phát

triển của công nghệ vật liệu, các vật

liệu mới thể hiện hành vi phi tuyến

ngày càng rõ rệt Trong hình 1 thể

hiện sự tương quan giữa biến dạng và

ứng suất từ dữ liệu thực nghiệm của

vật liệu composite cốt sợi thủy tinh

[3] Do đó nhiều nhà khoa học đã đề

Hình 1

xuất các hệ thức xác định phi tuyến tính mô tả chính xác hơn mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất Theo đó các nhà khoa học đã đưa vào mô hình của mình các hằng

số bổ sung của vật liệu Vì vậy đối với mỗi vật liệu xác định, trong trạng thái ứng suất phẳng, số lượng hằng số cần được xác định không phải là bốn mà nhiều hơn đáng kể

Cùng với việc các vật liệu mới đang được phát triển hàng ngày Yêu cầu xác định các hằng số đàn hồi và các hằng số bổ sung là một vấn đề cấp thiết và tạo nên nhiều thách thức đối với các nhà khoa học

II GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Thời gian gần đây, các mô hình thể hiện hành vi phi tuyến tính của các vật liệu đàn hồi được quan tâm một cách đáng kể Các mô hình của vật liệu trực hướng đàn hồi có tính đến tính phi tuyến giữa biến dạng và ứng suất, được đề xuất trong các công trình của N.M Matchenko và A.A.Treshcheva, E.V Lomakin và B.N Fedulova, R.M Jones, H.S Morgan, D.A.R Nelson Đặc biệt, đáng được quan tâm nhất có thể kể đến các mô hình bậc hai và bậc ba [4-5] được xây dựng bởi M Sokolova và các đồng nghiệp trong hai năm gần đây:

 

11 1111 11 1122 22 11 11 21 11 22 12 22

22 1122 11 2222 22 21 11 12 11 22 22 22

12 1212 1212 12 12

2

A

11 1111 11 1122 22 11 11 21 11 22 12 22

11 11 21 11 22 21 11 22 12 22

22 1122 11 2222 22 21 11 12 11 22 22 22

21 11 21 11 22 12 11 22 22 22

12 1212 1212 12 121

2

2

S

A

2 12 12

(5)

Trong đó     11, 21, 12, 22, 1212,    11, 21, 12, 22, 1212,21  các hằng số bổ sung, cho phép tính đến mối quan hệ phi tuyến giữa biến dạng và ứng suất

Trong mô hình (4) có 4 hằng số đàn hồi và 5 hằng số bổ sung, còn trong mô hình (5) có 4 hằng số đàn hồi và 11 hằng số bổ sung cần được xác định Sau đây em

xin được gọi chung là các hằng số vật liệu Theo đó mô hình (4) có 9 hằng số và mô hình (5) có 15 hằng số

III THIẾT KẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để xác định tất cả các hằng số vật liệu, chúng ta cùng xét một tấm trực hướng hình chữ nhật, mà các trục chính dị hướng của nó trùng với các cạnh của tấm (hình 2) Trong trường hợp này, em đề suất một sơ đồ thực nghiệm, trong đó sử dụng một chuỗi gồm 4 thực nghiệm:

1) Kéo và nén theo trục Ox ; 1

2) Kéo và nén theo trục Ox ;2

3) Cắt trong mặt phẳng Ox x ;1 2

4) Kéo và nén theo cả 2 trục Ox và 1 Ox 2

Giả sử rằng các dữ liệu thực nghiệm nhận

được là S và i  , trong đó i i0,N , N  số lần

đo em xác định các hằng vật liệu bằng phương

pháp bình phương tối thiểu Theo phương pháp

này, tổng bình phương độ lệch giữa mô hình và

dữ liệu thực nghiệm được tối thiểu hóa:

1 1

N

i i





Trong đó f x  hàm của mô hình; x i, x i   Các kết quả của thực nghiệm

Theo hệ thức (3) với các dữ thực nghiệm thu được từ 3 thí nghiệm đầu tiên, biểu thức (6) được viết dưới dạng:

2

1111 11 11 1

2

2222 22 22 1

1122 11 22 1122 22 11

2

1212 12 12 1

min min

min min

N

i i i

N

i i i

N

i i i

A A

A

 

 

 



























Hình 2

Các biểu thức này sẽ được thực hiện khi và chỉ khi các hằng số đàn hồi thỏa mãn hệ phương trình sau:

2

1111 11 11 11 1

2

2222 22 22 22 1

1122 11 1122 22 11 22 22 11 1

2

1212 12 12 12 1

N

i i i i

N

i i i i

N

i N

i i i i

A A

A































Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, em có thể giải bằng kiến thức phổ thông, từ đó tìm được các hằng số vật liệu có trong phương trình (3):

11 11 22 22 11 22 22 11 12 12





Tương tự như vậy, theo hệ thức (4) với các dữ thực nghiệm thu được từ 3 thí nghiệm đầu tiên, biểu thức (6) được viết dưới dạng:

2 2

1

2 2

1

2

1

min min

min min

N

i N

i

N

i

A A

A



























Các biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi các hằng số đàn hồi là nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính sau:

 

1111 11 11 11 11 11

1111 11 11 11 11 11

A A







 

A A







   

 

A

A















 

A

A







Giải tuần tự các hệ phương trình (8) – (11), chúng ta nhận được tất cả 9 hằng

số vật liệu có trong hệ thức (4) A1111,A1122,A2222,A1212,    11, 12, 21, 22, 1212

Trong hệ thức (5) có tất cả 15 hằng số đàn hồi cần được xác định Tuy nhiên

từ 3 thực nghiệm đầu tiên chúng ta chỉ có thể xác định được 14 hằng số Cụ thể, với

ba thực nghiệm đầu tiên chúng ta có hệ thức:

2

1

2

1

2

min min

min

N

i

N

i

A

A

A











2 1

min

N

i



















Các biểu thức này lần lượt dẫn đến hệ phương trình:

 

1111 11 11 11 11 11 11 11

1111 11 11 11 11 11 11 11

1111 11 11 11 11 11 11 11

A A A















 

2222 22 22 22 22 22 22 22

2222 22 22 22 22 22 22 22

2222 22 22 22 22 22 22 22

A A A















1122 11 22 21 11 12 22 21 11 12 22 11 22 22 11

1122 11 21 11 21 11 11 22

1122 22 12 22 12 22 22 11

1

N

i

A

A





1122 11 21 11 21 11 11 22

1122 22 12 22 12 22 22 11

(14)

i

A

A































12

1212 12 1212 12 12 1212 12 12 12

1212 12 12 1212 1212 12 12 12 12 12

1212 12 1212 12 12 1212 12 12 12

A

A

A

 

















Thật vậy, giải hệ phương trình (12) em thu được 3 hằng số, A ,1111 11,11; hệ (13) – 3 hằng số A2222,22 ,22; hệ (14) – 5 hằng số A1122,21,12,21,12 và hệ (15) – 3 hằng số A1212,1212,1212 Mười bốn hằng số vật liệu đầu tiên đã được xác định nhờ việc giải các hệ phương trình (12) – (5)

Tuy nhiên hằng số vật liệu thứ 15 21 trong hệ thức (5) vẫn chưa được xác định Để thực hiện công việc này em đề xuất sử dụng thực nghiệm thứ tư, theo đó biểu thức (6) có dạng:







1111 11 1122 22 11 11 21 11 22 12 22 1

2

11 11 21 11 22 21 11 22 12 22 11

1122 11 2222 22 21 11 12 11 22 22 22 1

2

21 11 21 11 22 12 11 22 22 22 22

2 3

2

N

i

i

N

i

i









Ở đây ngoài 21 thì các hằng số vật liệu khác đã biết Do đó:

2 2

11 22 1 11 22 2 1

21

2 4 4 2

11 22 11 22 1

N

i N

i

















Trong đó:

1i 11i 1111 11i 1122 11i 11 22i 2 21 11i 22i 12 22i 11 11i 3 21 11i 22i 12 22i ;

2i 22i 1122 11i 2222 22i 21 11i 2 12 11 22i i 22 22i 21 11i 3 12 11i 22i 22 22i

Như vậy, tất cả các hằng số vật liệu đã được xác định

IV TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU

Đối với các thực nghiệm về kéo đơn trục, nén đơn trục và lực cắt thuần túy

của vật liệu composite sợi thủy tinh, các đường cong ứng suất-biến dạng điển hình

được trình bày trong [3] Nhìn vào hình 1 có thể thấy rõ ràng, rằng vật liệu

composite có khả năng chống kéo và nén khác nhau Khi nén, biến dạng (đường nét

đứt) nhỏ hơn khi kéo (đường nét liền) Vì vậy, tác giả đã tiến hành các thí nghiệm

đối với kéo đơn trục và nén đơn trục Trong trường hợp này, em xin được giả định rằng ứng suất nén là âm và ứng suất kéo là dương

Em đã sử dụng gói phần mềm MatLab để xử lý dữ liệu thực nghiệm và xác

định một số hằng số vật liệu trong quan hệ (3) - (5) Kết quả tính toán các hằng số được trình bày trong bảng1

Hệ thức

2222

1122

11

22

12

21

11

22

12

21

Bảng 1 Trong hình 3 em xây dựng các độ thị gần đúng bằng cách sử dụng các biểu thức (3) - (5) Trong đó các dấu chấm thể hiện cho các điểm dữ liệu thực nghiệm; đường liền nét đối với biến dạng dọc và đường chấm đối với biến dạng ngang

V KẾT LUẬN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Nhìn vào các đồ thị được xây dựng trong hình 3, rõ ràng các mô hình tuyến tính

mô tả hành vi vật liệu tốt hơn đáng kể so với định luật Húc Mô hình bậc ba cho kết quả tốt hơn mô hình bậc hai Nhận xét một cách tổng quát, khi có càng nhiều hằng

Hình 3

số bổ sung thì mô hình tỏ ra càng hiệu quả Dẫn đến khối lượng công việc để xác định được tất cả các hằng số này càng lớn

Tuy vậy từ sơ đồ trên (hình 3) có thể thấy rằng phương pháp được đề xuất trong

đề tài này đã giúp xác định các hằng số vật liệu một cách hiệu quả Trong khuôn khổ

đề tài này, phương pháp đã giải quyết tốt yêu cầu đề ra đối với mô hình bậc nhất (định luật Húc) với 4 hằng số, mô hình bậc hai với 9 hằng số và bậc ba với 15 hằng

số Em tin rằng nó sẽ giải quyết tốt tất cả các mô hình phi tuyến tính khác nếu được quan tâm và phát triển

* Hướng phát triển đề tài

- Phát triển sơ đồ thực nghiệm để tìm tất cả các hằng số vật liệu (không chỉ ở dạng

tấm)

- Tiến hành làm thực nghiệm với các vật liệu mới như sợi cacbon, sử dụng phương pháp đã đề xuất để tính toán tất cả các hằng số của vật liệu này

- Bổ sung các tiêu chí đánh giá tính chính xác của phương pháp cũng như tính hiệu quả của từng mô hình

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lương Duyên Bình, Nguyễn Xuân Chi, Tô Giang, Trần Chí Minh, Vũ Quang, Bùi Gia Thịnh Sách giáo khoa Vật lý 10 Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam Năm xuất bản: 2019

2 Trương Tiện Ích Lý thuyết đàn hồi Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật.

3 Smith E.W., Pascoe K.J The role of shear deformation in the fatigue failure

of a glass fiber-reinforced composite Composites 8(4) Р 237-243 1977

4 Sokolova M Strains of plates of nonlinear anisotropic materials / M Sokolova, D Khristich, V Rudakov // IOP Conference Series: Journal of Physics: Conference Series 2019 – Vol 1203 – DOI: 10.1088/1742-6596/1203/1/012024

5 Нгуен Ш.Т Нелинейные модели упругости ортотропного материала / Ш.Т Нгуен // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им И.Я Яковлева Серия: Механика предельного

10.37972/chgpu.2021.50.4.004