TRNG DI HC CONG NGHIP TP HCM KHOA k

Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến về một số hữu hạn Cho hàm số y = fx xác định trong tập D.. Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không nhất thiết phải xác định tại điểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

HUỲNH HỮU DINH

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1

(BẬC CAO ĐẲNG)

TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Mục lục

1.1 Giới hạn hàm số 7

1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái 17

1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) 19

1.4 Hàm số liên tục 28

2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 2.1 Đạo hàm của hàm số 37

2.2 Đạo hàm cấp cao 43

2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm 46

2.4 Quy tắc L’Hospital 51

2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin 52

2.6 Vi phân cấp 1 59

2.7 Vi phân cấp cao 60

3 TÍCH PHÂN 65 3.1 Tích phân bất định 65

3.2 Phương pháp tính tích phân bất định 67

3.3 Tích phân hàm hữu tỷ 72

3.4 Tích phân hàm lượng giác 76

3.5 Tích phân hàm vô tỷ 80

3.6 Tích phân xác định 83

3.7 Công thức Newton - Leibnitz 86

3.8 Phương pháp tính tích phân xác định 87

3.8.1 Phương pháp đổi biến 87

3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần 88

3.9 Tích phân suy rộng 90

3.10 Tích phân suy rộng loại một 90

3.10.1 Các định nghĩa 90

3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz 94

3.11 Các định lý so sánh 94

3.11.1 Hội tụ tuyệt đối 96

3.12 Tích phân suy rộng loại hai 97

3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz 101

3

3.12.2 Các định lý so sánh 101

3.12.3 Hội tụ tuyệt đối 103

3.13 Ứng dụng tích phân xác định 103

3.13.1 Tính diện tích hình phẳng 103

3.13.2 Tính thể tích vật thể 106

3.13.3 Tính độ dài cung phẳng 109

4 Ma trận và định thức 117 4.1 Ma trận 117

4.1.1 Các khái niệm về ma trận 117

4.1.2 Các phép toán trên ma trận 120

4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 127

4.2 Định thức 128

4.2.1 Hoán vị và nghịch thế 128

4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông 130

4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai triển định thức 132

4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức 136

4.3 Ma trận nghịch đảo 144

4.3.1 Tính chất 148

4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B 149

4.4 Hạng của ma trận 152

4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận 152

4.4.2 Tính chất 153

5 Hệ phương trình tuyến tính 171 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 171

5.1.1 Khái niệm tổng quát 171

5.2 Phương pháp khử Gauss 173

5.3 Phương pháp Cramer 176

5.4 Phương pháp phân rã LU 181

5.4.1 Phương pháp Crout 182

5.4.2 Phương pháp Doolittle 185

5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 188

5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 190

5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195 6 Không gian vector 205 6.1 Khái niệm không gian vector 205

6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính 207

6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 210

6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector 216

6.5 Tọa độ của vector Ma trận chuyển cơ sở 222

6.6 Không gian vector con 228

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp 2296.6.2 Không gian con nghiệm 2326.7 Không gian vector Euclide 2346.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Trực chuẩn hóa

Gram-Schmidt 237

Trang 5

Chương 1

GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.1 Giới hạn hàm số

Định nghĩa 1.1 (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến

về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f(x) xác định trong tập D.

Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a, ký hiệu

lim

x→af (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao

cho |f(x) − L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa điều kiện |x − a| < δ.

2 thì với mọi x thỏa

|x − 1| < δ ta được |(2x + 1) − 3| < ϵ Do đó lim

Nhận xét 1.1 Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không

nhất thiết phải xác định tại điểm x = a Khi tính giới hạn ta chỉ xét cácgiá trị của hàm trong lân cận của điểm a nhưng khác a

Giải Hàm số đã cho không xác định tại x = 2 Ta cần phải chứng minh

rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| < δ, x ̸= 2thì |x2− 4

x− 2 − 4| < ϵ.

Khi x ̸= 2 ta được

x

2− 4

x− 2 − 4

< ϵ ⇔ |x + 2 − 4| < ϵ ⇔ |x − 2| < ϵVậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ thì với mọi x thỏa

Định nghĩa 1.2 (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến ra

vô cùng) Ta nói giá trị L là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x

tiến ra cộng (trừ) vô cùng, ký hiệu lim

x→+∞f (x) = L

(lim

2x

x− 1 − 2

... u′(x0)

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

5 Nếu f(x) khả vi khoảng (a, b)... 1tan2x

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Giải a Khi x → ta có...