Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian Hoạt động 1 trang 63 SGK Toán lớp 12 Hình học Trong không gian Oxyz, cho một điểm M Hãy phân tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i; j ; k đã cho trên các trục[.]
Trang 1Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian Hoạt động 1 trang 63 SGK Toán lớp 12 Hình học: Trong không gian Oxyz, cho
một điểm M Hãy phân tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i; j ; k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz
Lời giải:
Giả sử tọa độ điểm M là (x; y; z) ta có:
OM=x.i+ y j z k+
Hoạt động 2 trang 64 SGK Toán lớp 12 Hình học: Trong không gian Oxyz, cho
hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có AB; AD; AA' theo thứ tự cùng hướng với i; j ; k và có AB = a, AD = b, AA’ = c Hãy tính tọa độ các vectơ AB; AC ; AC' và AM với M là trung điểm của cạnh C’D’
Lời giải:
Dựa vào đề bài ta có hình vẽ sau:
Ta có: A(0; 0; 0) trùng với gốc tọa độ
Vì B ∈ Ax nên B(a; 0; 0) (trong đó a là độ dài đại số của đoạn AB)
Trang 2Tương tự ta suy ra các đỉnh D(0; b; 0), A′(0; 0; c)
Điểm C thuộc mp (Axy) nên tọa độ C có dạng (x; y; 0) trong đó x là độ dài đại số của AB, y là độ dài đại số của AD
Suy ra C(a; b; 0)
Tương tự ta suy ra D′(0; b; c), B′(a; 0; c), C′(a; b; c), M a;b;c
2
Từ đó, suy ra tọa độ các vectơ là:
AB (a;0;0) ; AC= =(a;b;0); AC' (a;b; c)= và AM a;b;c
2
Hoạt động 3 trang 66 SGK Toán lớp 12 Hình học: Với hệ tọa độ Oxyz trong
không gian, cho a=(3;0;1); b= − −(1; 1; 2);c=(2;1; 1)− Hãy tính a (b c)+ và
a +b
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
b+ = + − +c 1 2; 1 1; − + −2 1 =(3;0; 3)−
a (b c) 3.3 0.0 1.( 3) 6
( ) ( )
a b+ = +3 1;0+ −1 ;1+ −2 =(4; 1; 1)− −
a b 4 ( 1) ( 1) 18 3 2
Hoạt động 4 trang 67 SGK Toán lớp 12 Hình học: Viết phương trình mặt cầu
tâm I(1; –2; 3) có bán kính r = 5
Lời giải:
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 52
Trang 3Bài tập
Bài 1 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho ba
vectơ: a (2; 5;3);b (0;2; 1); c (1;7;2)= − = − =
a) Tính tọa độ của vectơ d 4a 1b 3c
3
= − +
b) Tính tọa độ của vectơ e a 4b 2c= − −
Lời giải:
a)Ta có:
4a=4 2; 5;3− =(8; 20;12);−
3c=3 1;7;2 =(3;21;6)
Suy ra: d 4a 1b 3c 8 0 3; 20 2 21;12 1 6 11; ;1 55
−
b) Ta có:
4b 4 0;2; 1 (0; 8;4)
2c 2 1;7;2 ( 2; 14; 4)
Vậy e a 4b 2c (0; 27;3)= − − = −
Bài 2 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A = (1; –1; 1), B = (0;
1; 2), C = (1; 0; 1) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Trang 4A B C
G
G
G
x
3
z
Vậy G 2; 0; 4
Bài 3 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết
A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; –1; 1), C' = (4; 5; –5) Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Lời giải:
Ta có: AB (1;1;1); AD (0; 1;0)= = −
Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành:
( )
AC=AB+ AD = +1 0;1+ −1 ;1 0+ =(1;0;1)
C (2;0;2)
CC' (2;5; 7)
=
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên: AA' BB' CC' DD' (2; 5; 7)= = = = −
Trang 5Ta có:
Tương tự:
Và
Bài 4 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học : Tính:
a) a.b với a=(3;0; 6); b− =(2; 4;0)− ;
b) c.d với c=( 1; 5;2);d− =( 4;3; 5)−
Lời giải:
a) Ta có:
a.b=3.2+0.( 4) ( 6).0 6− + − =
b) Ta có:
c.d =1.4 ( 5).3 2.( 5)+ − + − =− 21
Bài 5 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học : Tìm tâm và bán kính của các mặt
cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0;
b) 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0
Lời giải:
a) Ta có: x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0
Trang 6Có: 2a = 8 nên a = 4; 2b = 2 nên b = 1; 2c = 0 nên c = 0
Vậy mặt cầu có tâm I(4; 1; 0) và bán kính 2 2 2
R = 4 + + − = 1 0 1 4 b) Ta có: 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0;
x y z 2x y 5z 1 0
3
Có 2a 2 a 1;2b 8 b 4;2c 5 c 5
Vậy mặt cầu có tâm I(1; 4; 5)
3 2
− −
,
Và bán kính
= + + − − =
Bài 6 trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học : Lập phương trình mặt cầu trong hai
trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A = (4; –3; 7), B = (2; 1; 3)
b) Đi qua điểm A = (5; –2; 1) và có tâm C = (3; –3; 1)
Lời giải:
a) Gọi I là tâm mặt cầu
Suy ra, I là trung điểm AB (do AB là đường kính)
I
I
I
2
2
2
+
+
+
Trang 7Bán kính
AB
Vậy phương trình mặt cầu là:
(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z – 5)2 = 9
b) Vì A nằm trên mặt cầu có tâm C nên bán kính
R = CA = (3 5)− 2 + − +( 3 2)2 + −(1 1)2 = 5
Phương trình mặt cầu là:
( x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = 5