Bài toán Steiner pot

Ba làng A, B và C phải được nối với nhau bởi một hệ thống đường giao thông với tổng độ dài nhỏ nhất có thể.” Hình 31 Thực ra, ngay từ thời Gauß, người ta đã biết tới những loại bài toán

Bài toán Steiner

1 Lịch sử bài toán Steiner

Vấn đề sau đây được Fermat, nhà toán học Pháp nổi tiếng, đề ra trong

cuốn sách “Treatise on Minima and Maximal” [2, trang 1], cụ thể là như

sau: “Cho trước ba điểm trong mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư sao cho tổng khoảng cách từ điểm này tới ba điểm cho trước nhỏ nhất có thể “

Bài toán của Fermat được Torricelli, học trò cuối cùng của Galileo, giải vào quãng năm 1640 [2, trang 2] Điểm này được mang tên là điểm Torricelli của tam giác tạo bởi ba điểm đã cho Đó là điểm nhìn ba cạnh của tam giác tạo bởi 3 điểm đã cho dưới cùng một góc 120° nếu như tam giác tạo thành có ba góc nhỏ hơn 120°, và là đỉnh góc tù nếu như tam giác đó có một góc không nhỏ hơn 120°

Sau nhiều thế kỷ, bài toán của Fermat lại được phát hiện lại trong một khía cạnh mới bởi nhiều nhà toán học khác Người ta tổng quát bài toán Fermat như sau:

Bài toán Fermat: Cho trước một tập hợp hữu hạn n điểm trong mặt

phẳng Hãy tìm một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm này tới các điểm cho trước nhỏ nhất có thể

Điểm cần tìm được gọi là điểm Torricelli cho hệ n điểm cho trước Boltyanski, Scriba, Schreiber und Wesolowsky [2, trang 2] đã viết về lịch

của Fermat bằng cách không hạn chế số điểm cần tìm Quãng 100 năm sau, Courant và Robin đã ghi chú về bài toán tổng quát này như sau:

“Một vấn đề rất giản đơn nhưng lại rất có tính kiến thiết là vấn đề được nêu ra bởi Jacob Steiner, một đại diện nổi tiếng của trường phái hình học Berlin, vào đầu thế kỷ 19 Ba làng A, B và C phải được nối với nhau bởi một hệ thống đường giao thông với tổng

độ dài nhỏ nhất có thể.”

Hình 31

Thực ra, ngay từ thời Gauß, người ta đã biết tới những loại bài toán kiểu như thế này Trong một bức thư gửi cho một người bạn của mình tên là Schumacher, Gauß có viết:

“Nếu đề cập tới vấn đề thiết kế một mạng giao thông tối ưu cho các đỉnh một tứ giác, thì ta gặp phải một bài toán thật sự thú vị,

mà tôi đã biết tới nó khi phải thiết kế các tuyến đường sắt nối các thành phố Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig “

Trong cuốn sách “What is Mathematics” của Robbins và Courant xuất

bản năm 1941, bài toán của Gauß được công bố dưới tên của Steiner:

Bài toán Steiner: Cho trước một tập hợp hữu hạn n điểm trên mặt phẳng

(hoặc trong không gian metric nào đó), hãy tìm mạng giao thông với tổng độ dài nhỏ nhất nối các điểm này với nhau

Bài toán của Steiner cho tập hợp gồm 3 điểm cho trước chính là một trường hợp riêng của bài toán Fermat Thế nhưng, với tập hợp có 4 điểm,

ta thấy rằng bài toán Steiner không còn là bài toán của Fermat nữa, và nó hoàn toàn có một màu sắc khác

Tuy vậy, chính Robbins và Courant cũng không hề đề cập tới bài toán Fermat trong trường hợp riêng của bài toán Steiner cho n = 3, cũng như không đề cập gì tới bài toán của Gauß khi n = 4 Cũng do sự hấp dẫn và

sự phổ cập của cuốn sách của họ, mà bài toán được đặt ra thật sự trở thành “vấn đề Steiner” và mối quan tâm tới bài toán này được thổi bùng lên

Bài toán mà Gauß đặt ra cho hệ thống các đường tàu nối các thành phố

cách triệt để [2] Trong hình 31, chúng ta đã thấy mô tả lời giải của bài toán này Hệ thống đường sắt tối ưu được bổ sung thêm một điểm, điểm Torricelli của tam giác với ba đỉnh là ba thành phố Harburg, Bremen, Hannover, và Braunschweig được nối với Hannover bởi một tuyến đường sắt chạy thẳng

Melzak [2], vào năm 1961, đã là người đầu tiên nêu lên những tính chất

cơ sở để xác định mạng giao thông tối ưu cho bài toán Steiner n điểm bất

kỳ Một tổng quan về bài toán Steiner trên mặt phẳng Ơcơlit được đưa ra bởi Gilbert và Pollak trong năm 1968

Vì lý do tối ưu, cho nên chúng ta nhận thấy ngay là mạng tối ưu cho bài toán Steiner chỉ bao gồm các đoạn thẳng nối mà không có đường cong nào cả Mạng này phải liên thông và không có chu trình (do điều kiện tối

ưu của nó, nếu có chu trình ta có bỏ bớt một cạnh trên chu trình mà không ảnh hưởng tới sự liên thông của đồ thị) Như vậy, mạng tối ưu của bài toán Steiner phải là một cây mà cạnh của nó là các đoạn thẳng Ta gọi

mạng tối ưu trong bài toán Steiner là cây Steiner.

2 Phân tích bài toán Steiner cho n = 4 điểm

Nghiệm của bài toán Steiner là một hệ thống các đoạn thẳng nối các điểm

đã cho với các điểm Steiner ta thêm vào, cho nên chúng ta không thể nêu quy luật tổng quát để xác định chính xác đó là các điểm nào và các đoạn thẳng đó được nối như thế nào Để đi tới phương pháp tổng quát, ta giải bài toán cho trường hợp n = 4 điểm Hơn thế nữa, ta chọn 4 điểm đó là 4 đỉnh của một hình vuông cạnh 1 để dễ giải

Bài toán 1: Hãy dụng một mạng lưới giao thông nối 4 đỉnh của một hình

vuông ABCD cạnh 1 với tổng độ dài nhỏ nhất, sao cho từ một đỉnh tùy ý của hình vuông, ta có thể đi theo các cạnh tới các đỉnh còn lại của hình vuông

Trong quá trình tìm kiếm mạng tối ưu, ta sẽ sử dụng định lí 11 quen biết sau:

Định lí 1.

Trên mặt phẳng có một tam giác đều ABC và một điểm M Khi đó ta có bất đẳng thức MB + MC MA, với đẳng thức chỉ khi M nằm trên cung

BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Định lí 11 trên có thể chứng minh dễ dàng nhờ định lí Prômêtê mở rộng, được phát biểu như sau:

Định lí 2 Cho trước 4 điểm ABCD, khi đó ta có bất đẳng thức

AB.CD + AD.BC AC.BD, đẳng thức xảy ra chỉ khi ABCD là một tứ giác nội tiếp

Ta thấy rằng mạng tối ưu của chúng ta phải là một cây chứa các đỉnh của hình vuông ABCD đã cho Bây giờ chúng ta xem xét bài toán theo số các điểm Steiner:

 Nếu chỉ có không có điểm Steiner nào cả:

Hình 32

Như vậy, cây của chúng ta là cây với bốn đỉnh là đỉnh của hình vuông Do một cây có 4 đỉnh sẽ có đúng 3 cạnh Rõ ràng khoảng cách giữa hai đỉnh của hình vuông không nhỏ hơn 1, cho nên cây tối ưu (có tổng độ dài các cạnh nhỏ nhất) là có tổng độ dài các cạnh

là 3 (trong hình 32 là một ví dụ với 3 cạnh của hình vuông đơn vị này)

 Nếu có đúng một điểm Steiner:

Hình 33

Ta thấy rằng do lý do tối ưu, nên bậc của điểm Steiner thêm vào (ta gọi là điểm M) phải ít nhất bằng 3 Nếu không, ta có thể vất bỏ nó

đi (nếu nó là đỉnh treo, hoặc thay thế hai cạnh xuất phát từ nó bởi cạnh nối 2 đỉnh láng giềng của nó trong trường hợp bậc của nó

bằng 2) Như vậy chỉ có đúng 2 trường hợp phải khảo sát là hai trường hợp trong hình 33 ứng với trường hợp bậc của đỉnh M là 3 hay là 4 Ta xét hai trường hợp:

2a) Bậc của M là 3

Dựng thêm một tam giác đều ADE ngoài hình vuông ABCD đã cho Áp dụng định lí 11, ta có MA + MD ME, và suy ra

MA + MD + MB + BC EB + BC,

và thấy rằng độ dài của cây tối ưu không nhỏ hơn EB + BC Trong trường hợp này, cây tối ưu có được khi M là giao điểm của DB với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Hình 34

Dễ thấy góc E của tam giác ABE bằng 15°, cho nên BE = 2cos 15°

Ta thấy dễ dàng là cây tối ưu trong trường hợp bên phải có độ dài bằng 1 + 2cos 15°

2b) Bậc của M là 4

Hình 35

Trong trường hợp này ta có MA + MC AC và MB + MD BD Như vậy độ dài của mạng giao thông ứng với trường hợp này

không nhỏ hơn 2 , và đạt được độ dài này khi M là giao điểm hai đường chéo của hình vuông đơn vị đã cho

 Nếu có đúng hai điểm Steiner:

Ta thấy như đã lập luận ở trên là bậc của các điểm Steiner thêm vào, mà ta ký hiệu là M và N, phải ít nhất bằng 3 Ta có thể kiểm nghiệm thấy rằng mạng có hình dạng như trong hình 34 (hoặc tương tự như vậy với M nối với A và B, còn N nối với C và D và N được nối với M) Ta dựng hai hình tam giác đều ADQ và BCP ra phía ngoài hình vuông ABCD như trong hình vẽ

Hình 36

Áp dụng định lí 11, ta có thể thấy rằng MA + MD MQ và tương

tự là NB + NC NP Do đó tổng độ dài các cạnh của cây của ta không nhỏ hơn QM + MN + NP PQ, với đẳng thức chỉ khi M và

N là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ và BCP với MN Như vậy cây tối ưu trong trường hợp này có tổng độ dài là

PQ = 1 +

So sánh đáp số của ba trường hợp ta xét trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của

ba trường hợp này là 1 + Cái điều ngăn cản chúng ta chấp nhận giá trị đã tìm ra 1 + này làm giá trị tối ưu là quan sát thấy càng thêm nhiều điểm Steiner, thì tổng độ dài các cạnh của mạng tối ưu tương ứng càng nhỏ Trong suốt quá trình lập luận ở trên, chúng ta chưa có một cơ

sở nào đặt chân để chứng tỏ được rằng chỉ có thể thêm tối đa 2 điểm Steiner để thiết kế được mạng giao thông tối ưu cho hệ 4 điểm đã cho Để thấy rằng quả thật mạng tối ưu với bài toán n = 4 điểm chỉ có không quá

tiếp, ta sẽ chứng tỏ rằng cây tối ưu của bài toán Steiner với n điểm chỉ có không quá n-2 điểm Steiner Với định lí 13 được chứng minh trong mục sau, bài toán tìm cây Steiner cho tập đỉnh hình vuông đơn vị mới có thể giải quyết triệt để, và độ dài của cây tối ưu cần tìm là 1 +

3 Phương pháp giải bài toán Steiner tổng quát

Như trong mục trên đã phân tích, chúng ta thấy hình học thuần túy không thể giải quyết được bài toán Steiner Với hình học thuần túy, chúng ta chỉ tính toán được độ dài tối ưu khi hình dáng của mạng giao thông được hình thành Vấn đề hết sức quan trọng trong việc xác định được hình dáng của cây tối ưu là xác định được số điểm Steiner của cây tối ưu Một kết quả đã biết được nêu trong [2] mà không có chứng minh đi kèm là một cây tối ưu của bài toán Steiner n điểm chỉ có không quá n-2 điểm Steiner Ta chứng minh khẳng định đó trong định lí sau đây:

Định lí 3.

Cây tối ưu ít đỉnh nhất của bài toán Steiner n điểm có không quá n - 2 điểm Steiner

Chứng minh

Ta ký hiệu x là số điểm Steiner của cây tối ưu G của bài toán Steiner n điểm Khi đó G là một cây có x + n đỉnh, và do đó nó có x + n – 1 cạnh

Ta có những nhận xét sau:

Nhận xét 1 Những điểm cho trước có bậc trong G ít nhất là 1.

Chứng minh: Do G là mạng lưới nối các điểm đã cho, nên không có

điểm nào đã cho là đỉnh cô lập trong G cả

Nhận xét 2 Điểm Steiner có bậc trong G ít nhất là 3.

Chứng minh: Do sự G là cây ít đỉnh nhất, cho nên các điểm Steiner phải

có bậc ít nhất là 3, bằng không, hoặc ta có thể vất bỏ nó đi (nếu bậc của đỉnh là 0 hoặc 1) hoặc là ta có thể bỏ nó đi thay thế 2 cạnh xuất phát từ nó bởi một cạnh duy nhất nối 2 đỉnh láng giềng của nó và cây thu được G’ sẽ

có ít đỉnh hơn G và có tổng độ dài các cạnh không lớn hơn tổng độ dài các cạnh của G, là điều mâu thuẫn với giả thiết G ít đỉnh nhất có thể Nhận xét được chứng minh

Áp dụng định lí 1, ta có

2(x + n – 1) = Theo nhận xét 1 và nhận xét 2, tổng các bậc của G không nhỏ hơn 3x + n,

từ đó ta có bất phương trình 2(x + n - 1) 3x + n Từ bất phương trình, ta

có

n - 2 x

đ.p.c.m

Để xác định được hình dáng của cây tối ưu, ta phải thêm nhiều nhất là x n-2 điểm Steiner và dựng một mô hình cây có x + n đỉnh rồi xác định cụ thể vị trí hình học của các điểm Steiner như đã làm trong bài toán 1 ở mục trên Nhưng ta thấy rằng ta luôn có thể giả sử rằng cây Steiner có đúng x + n đỉnh qua các nhận xét sau:

Nhận xét 1: Nếu cây tối ưu G có một điểm Steiner M có bậc dG(M) > 3 thì ta có thể coi nó là trường hợp suy biến của đồ thị G’ có thêm điểm Steiner N với bậc dG’(N) = 3 và dG’(M)=dG(M)-1 (hình dưới) trong đó độ dài đoạn thẳng MN là 0

Hình 37

Nhận xét 2: Nếu cây tối ưu G có một điểm đã cho trước A có bậc dG(A)

> 1 thì ta có thể coi nó là trường hợp suy biến của đồ thị G’ có thêm điểm Steiner M với bậc dG’(A) = 1 và dG’(M)= dG(A)+1 (hình 38), trong đó độ dài đoạn thẳng MN là 0

Hình 38

Như vậy, ta có thể áp dụng nhận xét 1 và nhận xét 2 để có thể coi cây tối

ưu Steiner là trường hợp suy biến của một cây G có tính chất là bậc của mỗi điểm cho trước đúng bằng 1 và bậc của mỗi điểm Steiner đúng bằng

3 Khi đó theo công thức tổng các bậc của đồ thị gấp đôi số cạnh, ta thu được

2(n + x - 1) = 3x + n x = n - 2, trong đó x là số điểm Steiner của cây thu được cuối cùng Điều đó có

nghĩa là cây tối ưu cho bài toán Steiner với n điểm cho trước là một

trường hợp suy biến của cây G có các tính chất sau

 G có đúng 2n – 2 đỉnh, trong đó có n điểm cho trước và n-2 điểm thêm vào có thể bị trùng vào các đỉnh đã cho trước của bài toán

 Bậc của mỗi điểm đã cho trước trong bài toán là 1,

 Bậc của mỗi điểm Steiner của G (đỉnh thêm vào) là 3

Để tiện, ta sẽ gọi G là cây thiết kế, dùng để tìm cây Steiner tối ưu Cây

thiết kế có thể khác với cây Steiner tìm được, vì trong trường hợp tối ưu,

có thể có những cạnh của cây thiết kế bị co về độ dài 0 làm cho đỉnh của chúng có thể trùng nhau

Ví dụ sau đây chỉ rõ cách dùng cây thiết kế

Bài toán 2 Hãy dụng một mạng lưới giao thông nối 5 đỉnh của một hình

ngũ giác đều ABCDE cạnh 1 với tổng độ dài nhỏ nhất, sao cho từ một đỉnh tùy ý của hình ngũ giác đều này, ta có thể đi theo các cạnh tới các đỉnh còn lại của nó

Lời giải: Trước hết ta xác định cây thiết kế G Ta thấy cây có 2.5-2 = 8

đỉnh tất cả, trong đó có 5 đỉnh là A, B, C, D và E và ba đỉnh là được thêm vào mà ta gọi đó là M, N và P Lưu ý rằng trong cây này, các đỉnh A, B,

C, D và E là các đỉnh treo, cho nên khi bỏ các đỉnh này ra khỏi G, ta thu được cây G’ với ba đỉnh M, N và P Rõ ràng chỉ có một cây duy nhất có 3 đỉnh là một đường độ dài 2 mà thôi, nên không mất tổng quát đó là đường H=(M, N, P) Sự kết nối cây H với A, B, C, D và E để thành cây G không

kể sai khác qua phép đẳng cấu được thể hiện trong hình 39

Hình 39

Bây giờ ta có thể dùng định lí 11 đã chứng minh trên để xác định chính xác vị trí của M, N và P cũng như tổng độ dài các cạnh của cây tối ưu Ta dựng hình tam giác đều EDF, BCG và AFH phía ngoài ngũ giác đều ABCDE (hình 39) Theo định lí 11 áp dụng với các tam giác đều được dựng thêm, ta có:

ME + MD MF,

PB + PC PG, và

NF + NA NH

Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác, ta có

NM + MF NF,

NP + PG NG,

NH + NG HG

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và giản ước các biến xuất hiện ở cùng 2 vế của bất đẳng thức thu được, ta có bất đẳng thức sau:

ME + MD + MN + NA + NP + PB + PC HG, Đẳng thức xảy ra khi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng FG với

đường tròn ngoại tiếp tam giác AFH, M là giao của NF với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFD và P là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG với NG Với vị trí của M, N và P được xác định như vậy, tổng độ dài các cạnh của cây tối ưu là HF

Trong hai bài toán trên, cây thiết kế và cây Steiner là đẳng cấu với nhau Nhưng cũng có những trường hợp không phải như vậy Lời giải của bài toán Steiner với n = 4 cho các thành phố Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig (hình 31) cho ta một cây tối ưu không đẳng cấu với cây thiết kế

Tμi liệu tham khảo

1 Claude Berge, Théorie des Graphes et ses applications, Dunod Paris

(1967) Nguyễn Hữu Nguyên vμ Nguyễn Văn Vỵ dịch: Lý thuyết đồ thị vμ ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật, Hμ nội (1971)

2 Dietmar Cieslik, The Steiner Ratio, Kluwer Academic Publisher

(2001)

3 Reinhard Diestel, Graph Theory, Springer Verlag (2000).

4 Kenneth H.Rosen, Discrete Mathematics And Its Applications Bản

tiếng Việt: Toán học rời rạc ứng dụng trong Tin học NXB Khoa Học

vμ Kỹ Thuật, Hμ Nội 1998 Ngời dịch: Phạm Văn Thiều - Đặng Hữu

Thịnh

6 Oystein Ore, Theory of Graphs American Mathematical Society,

Providence Rhode Island, (1962)

7 Vũ Đình Hòa, Một số kiến thức cơ sở về Graph hữu hạn Nhμ xuất bản

Giáo dục, Đμ nẵng, (2002)

8 Vũ Đình Hòa, Định lí vμ vấn đề của đồ thị hữu hạn Nhμ xuất bản

Giáo dục, Hμ nội, (2001)

9 Vũ Đình Hòa, Lý thuyết tổ hợp vμ bμi tập ứng dụng Nhμ xuất bản

Giáo dục, Hμ nội, 2002