Formulae involving ∇ Vector Identities with Proofs: Nabla Formulae for Vector Analysis 李国华 （Kok-Wah LEE） @ 08 May 2009 Version 1.0 No.. 4, Jalan Bukit Beruang 5, Taman Bukit Beruang, 75
Trang 1Formulae involving ∇ Vector Identities with Proofs: Nabla Formulae for Vector Analysis
李国华 （Kok-Wah LEE） @ 08 May 2009 (Version 1.0)
No 4, Jalan Bukit Beruang 5, Taman Bukit Beruang, 75450 Bukit Beruang, Melaka, Malaysia
Email: contact@xpreeli.com; E96LKW@hotmail.com Tel.: +6013-6134998; +606-2312594; +605-4664998
www.xpreeli.com All rights reserved
Vector: A = A 1 i + A 2 j + A 3 k B = B 1 i + B 2 j + B 3 k C = C 1 i + C 2 j + C 3 k
Scalar: φ = φ(x,y,z) ψ = ψ(x,y,z)
Nabla:
z
k y
j x
i
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∇
(1) (A x B).C ≡ (B x C).A ≡ (C x A).B
(2) A x (B x C) ≡ (A.C)B - (A.B)C
(3) Prove ∇(φ+ ψ) = ∇φ + ∇ψ
z
j y
i x
k z
j y
i
+
∂ +
∂
+
∂ +
∂
+
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
ψ φ
z
k z
j y
j y
i x
i
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
k z
j y
i x
k z
j y
i x
ψ ψ
ψ φ
φ φ
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
k z
j y
i x
k z
j y
i x
∴ ∇(φ + ψ) = ∇φ + ∇ψ
(4) Prove ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ
z
j y
i x
k z
j y
i
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
φψ
Trang 2= k
x
k x
j x
j x
i x
i
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
ψ
ψ φ
φ ψ
ψ φ
φ ψ
ψ φ
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
k z
j y
i x
k z
j y
i x
φ φ φ ψ ψ ψ ψ φ
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
k z
j y
i x
k z
j y
i x
∴ ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ
(5) Prove ∇.(A + B) = ∇.A + ∇.B
k z
j y
i x B
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= +
∇
z
B A y
B A x
B A
∂
+
∂ +
∂
+
∂ +
∂
+
= LHS
z
j y
i x k A j A i A k z
j y
i x B
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ + + +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∇
+
∇
=
z
B y
B x
B z
A y
A x
A
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
z
B A y
B A x
B A
∂
+
∂ +
∂
+
∂ +
∂
+
= RHS LHS = RHS
∴ ∇.(A + B) = ∇.A + ∇.B
(6) Prove ∇x(A + B) = ∇xA + ∇xB
x k z
j y
i x B A
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= +
∇
=
3 3 2 2 1
A
z y
x
k j
i
+ +
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
k y B A x
B A j z B A x
B A i z B A y
B A
∂ +
∂
−
∂ +
∂ +
∂ +
∂
−
∂ +
∂
−
∂ +
∂
−
∂ +
Trang 3=
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
k y
B x
B j z
B x
B i z
B y
B k y
A x
A j z
A x
A i z
A y
=
3 2
A
z y x
k j i
∂
∂
∂
∂
∂
3 2
B
z y x
k j i
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∴ ∇x(A + B) = ∇xA + ∇xB
(7) Prove ∇.(φA) = (∇φ).A + φ(∇.A)
( A i A j A k)
k z
j y
i x
.( φ =∂∂ +∂∂ +∂∂ φ + φ + φ
∇
= ( ) ( ) ( )
z
A y
A x
A
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ φ 1 φ 2 φ 3 = LHS
+ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ + + +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∇
+
z
j y
i x k
A j A i A k z
j y
i x A
).
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z
A y
A x
A z
A y
A x
3 2
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z
A z A y
A y A x
A x
3 2 2
1
= ( ) ( ) ( )
z
A y
A x
A
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ φ 1 φ 2 φ 3 = RHS LHS = RHS
∴ ∇.(φA) = (∇φ).A + φ(∇.A)
(8) Prove ∇x(φA) = (∇φ)xA + φ(∇xA)
( )
3 2
A
z y x
k j i
A
x
φ φ
φ
φ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
k y
A x
A j z
A x
A i z
A y
A
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
y
A y
A x
A x
A j z
A z
A x
A x
A i y
A y
A y
A y
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
φ φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
φ
2 2 1
1 3
3 2
2 3
3
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
k y A x A j z A x A i y A y
1 2 1
3 2
3
Trang 4
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
y
A x
A j z
A x
A i y
A y
φ φ φ
φ φ
φ
=
3 2
A
z y x
k j i
∂
∂
∂
∂
∂
3 2
A
z y x
k j i
∂
∂
∂
∂
∂
∂ φ
∴ ∇x(φA) = (∇φ)xA + φ(∇xA)
(9) Prove ∇.(AxB) = B.(∇xA) - A.(∇xB)
3 2 1
3 2 1
)
.(
B B B
A A A
k j i k z
j y
i x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∇
= k [ (A B A B ) (i A B A B)j (A B A B)k]
z
j y
i
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z
B A B A y
B A B A x
B A B A
∂
−
∂ +
∂
−
∂
−
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
+
=
y
A x
A j z
A x
A i z
A y
A k B j B i B xA
3 2
)
.(
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
y
A x
A B z
A x
A B z
A y
A
3 1 3 2 2 3 1
Similarly, by interchanging the variable of A and B, we have
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
+
=
y
B x
B j z
B x
B i z
B y
B k A j A i A xB
3 2
)
.(
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
y
B x
B A z
B x
B A z
B y
B
3 1 3 2 2 3 1
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
x
B A x
A B z
B A z
A B y
B A y
A
3 3 2 1 2 2 1 1 3 3 1
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
y
B A y
A B x
B A x
A B z
B A z
A
1 1 3 3 2 2 3 2 1 1 2
y
B A x
B A z
B A x
B A z
B A y
B A
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ 3 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3
z
B A B A y
B A B A x
B A B A
∂
−
∂ +
∂
−
∂
−
∂
−
∂ 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
∴ ∇.(AxB) = B.(∇xA) - A.(∇xB)
Trang 5(10) Prove ∇x(AxB) = (B.∇)A - B(∇.A) - (A.∇)B + A(∇.B)
B B B
A A A
k j i x AxB
3 2 1
3 2
∇
=
∇
=
1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3
A
z y
x
k j
i
−
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
k y B A B A x
B A B A j z
B A B A x
B A B A i z B A B A y
B A B A
∂
−
∂
−
∂
−
∂ +
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
= LHS
z
A y
A x
A k A j A i A z
B y
B x
3 2 1 3 2
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
− + +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
y
A B x
A B y
A B x
A B j z
A B x
A B z
A B x
A B i z
A B y
A B z
A
B
y
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 2 3 2 1 3 1 2 1 1 3
1
2
Similarly, by interchanging the variable of A and B, we have
z
B y
B x
B k B j B i B z
A y
A x
3 2 1 3 2
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
− + +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
y
B A x
B A y
B A x
B A j z
B A x
B A z
B A x
B A i z
B A y
B A z
B
A
y
B
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 2 3 2 1 3 1 2 1 1 3
1
2
(B.∇)A - B(∇.A) - (A.∇)B + A(∇.B)
z
B A z
A B y
B A y
A B z
B A z
A B y
B
A
y
A
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
+
∂
3 3 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 1
1
2
j z
B A z
A B x
B A x
A B z
B A z
A B x
B A x
A
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
3 3 2 2 1 1 2 3 2 2 3 2 1 2 1
k y
B A y
A B x
B A x
A B y
B A y
A B x
B A x
A
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 1 3 3 1
k y B A B A x
B A B A j z B A B A x
B A B A i z B A B A y
B
A
B
A
∂
−
∂ +
∂
−
∂ +
∂
−
∂ +
∂
−
∂
−
∂
−
∂ +
∂
−
k y B A B A x
B A B A j z B A B A x
B A B A i z B A B A y
B
A
B
A
∂
−
∂
−
∂
−
∂ +
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
∂
−
= RHS
Trang 6∴ ∇x(AxB) = (B.∇)A - B(∇.A) - (A.∇)B + A(∇.B)
(11) Prove ∇(A.B) = (B.∇)A + (A.∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB)
∇(A.B) = k (A1B1 A2B2 A3B3)
z j y i
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
z
B y
B x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
+
=
y
A x
A j z
A x
A i z
A y
A x k B j B i B xA
3 2 1
) (
=
y
A x
A x
A z
A z
A y
A
B B
B
k j
i
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ 3 2 1 3 2 1
3 2
1
z
A y
A B x
A z
A j B z
A y
A B y
A x
A i B x
A z
A B y
A x
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
2 2 3 1 3 1 3
2 3 1 1 2 3
3 1 2 1 2
Similarly, by interchanging the variable of A and B, we have
z
A y
A x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
+
=
y
B x
B j z
B x
B i z
B y
B x k A j A i A xB
3 2 1
) (
=
y
B x
B x
B z
B z
B y
B
A A
A
k j
i
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ 3 1 2 1 2 3 2 3 1
z
B y
B A x
B z
B j A z
B y
B A y
B x
B i A x
B z
B A y
B x
B
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
2 2 3 1 3 1 3
2 3 1 1 2 3
3 1 2 1 2
Hence
(B.∇)A + Bx(∇xA)
z
A B z
A B z
A B j y
A B y
A B y
A B i x
A B x
A B x
A
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
2 1 1 3 3 3
3 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1
(A.∇)B + Ax(∇xB)
z
B A z
B A z
B A j y
B A y
B A y
B A i x
B A x
B A x
B
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
2 1 1 3 3 3
3 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1
Trang 7(B.∇)A + (A.∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB)
k z
B A z
B A z
B A j y
B A y
B A y
B A i x
B A x
B A x
B
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
k z
B A B A B A j y
B A B A B A i x
B A B A B
A
∂
+ +
∂ +
∂
+ +
∂ +
∂
+ +
= k (A1B1 A2B2 A3B3)
z
j y
i
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
LHS = RHS
∴ ∇(A.B) = (B.∇)A + (A.∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB)
(12) Prove ∇.(∇φ) = ∇2φ
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z
k y
j x
i z
k y
j x
.
= φ φ φ 2φ
2 2
2 2
2
2
∇
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z y x
∴ ∇.(∇φ) = ∇2φ
(13) Prove ∇x(∇φ) = 0
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
z
k y
j x i x z
k y
j x
=
z y x
z y x
k j i
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
φ φ φ
= ( φzy − φyz) i − ( φzx − φxz) j + ( φyx − φxy) k
Since φ has continuous second order partial derivatives, we have
φxy = φyx φyz = φzy φzx = φxz
Trang 8(14) Prove ∇.(∇xA) = 0
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
k y
A x
A j z
A x
A i z
A y
A z
k y
j x
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
z y
A z x
A y
z
A y x
A x
z
A x y
2 2 1 2 3 2 2 2 3 2
= 0
∴ ∇.(∇xA) = 0
(15) Prove ∇x(∇xA) = ∇(∇.A) - ∇2A
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
k y
A x
A j z
A x
A i z
A y
A x z
k y
j x
=
y
A x
A x
A z
A z
A y
A
z y
x
k j
i
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1 2 3 1 2 3
y z
A y
A x
A x z
A j z
A z y
A x y
A x
A i x z
A z
A y
A y
x
A
∂
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
2 3 2 2 3 2 1 2 2
2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2
2
= LHS
∇(∇.A) - ∇2A
z y x z
A y
A x
A z
k y
j x
2 2 2 2
2 3 2
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
y
A x
A z y
A z x
A j z
A x
A y z
A y x
A i z
A y
A x z
A x y
A
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂
2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2
2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2
= RHS
LHS = RHS
∴ ∇x(∇xA) = ∇(∇.A) - ∇2A