Kinh tế lượng - Chương 9

kinh tế lượng (econometrics) là một bộ phận của kinh tế học, được hiểu theo nghĩa rộng là môn khoa học kinh tế giao thoa với thống kê học và toán kinh tế.

CHƯƠNG 9

Tương Quan Chuỗi

Phương pháp bình phương tối thiểu đã chứng tỏ mang lại các ước lượng về thông số có một vài tính chất mong muốn, với điều kiện các số hạng sai số (u t ) thỏa mãn một số giả thiết Đặc biệt, các ước lượng có tính không thiên lệch, nhất quán, và hiệu quả nhất Khi một nhà nghiên cứu xử lý dữ liệu dạng chuỗi thời gian, một số vấn đề đặc biệt phát sinh thường dẫn đến kết quả là vi phạm vài giả thiết cần để phát ra những tính chất tốt đã liệt kê Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát một dạng vi phạm các giả thiết cơ bản về các số hạng nhiễu Thứ nhất ta xem xét những ẩn ý của việc bỏ qua sự vi phạm này và dùng thủ tục bình phương tối thiểu thường (OLS)

Ta có thể kỳ vọng rằng, như trong trường hợp phương sai của sai số thay đổi, vài tính chất có thể không còn giữ được nữa Thứ hai, ta kiểm định sự có mặt của sự vi phạm này, và cuối cùng thảo luận các phương pháp có thể lựa chọn cho các vấn đề

Giả thiết 3.6 trong Chương 3 phát biểu rằng các số hạng sai số u t và u s , cho các quan sát

khác nhau t và s, là phân phối độc lập Tính chất này gọi là độc lập chuỗi Từ Chương 2, Phần

2.3, u t và u s ẩn ý độc lập rằng chúng không tương quan Khi một nhà nghiên cứu đang phân tích dữ liệu chuỗi thời gian, giả thiết này thường sẽ bị vi phạm Các số hạng sai số cho các thời đoạn

không quá cách xa có thể có tương quan Tính chất này được gọi là tương quan chuỗi hay tự

tương quan (các thuật ngữ này sẽ được sử dụng thay thế nhau) Trong Chương 3 ta đã liệt kê

một số nhân tố giải thích cho sự có mặt của số hạng sai số u t Đó là (1) các biến bị loại bỏ, (2) bỏ qua sự phi tuyến, (3) các sai số đo lường, và (4) hoàn toàn ngẫu nhiên, các tác động không dự đoán được Ba nhân tố đầu tiên trong các nhân tố này có thể dẫn đến các sai số tương quan chuỗi Ví dụ, giả sử một biến phụ thuộc Y t tương quan với các biến độc lập X t1 và X t2 , nhưng nhà nghiên cứu không tính đến biến X t2 trong mô hình Tác động của biến này sẽ được bao gộp qua số hạng sai số u t Bởi vì nhiều biểu hiện chuỗi thời gian kinh tế có chiều hướng theo thời gian,

X t2 có thể phụ thuộc vào X t-1,2 , X t-2,2 , Điều này sẽ biến thành sự tương quan rõ ràng giữa u t

và u t-1 , u t-2 , , do đó vi phạm giả thiết độc lập chuỗi Vậy, các chiều hướng trong các biến bị loại bỏ có thể tạo sự tự tương quan trong các sai số

Tương quan chuỗi cũng có thể được gây nên bởi đặc trưng sai về dạng hàm số Ví dụ, giả sử mối quan hệ giữa Y và X là bậc hai nhưng ta giả thiết là đường thẳng Vậy số hạng sai số u t

sẽ phụ thuộc vào X 2 Nếu X tăng hoặc giảm theo thời gian, u t cũng sẽ biểu hiện chiều hướng như vậy, cho thấy sự tự tương quan

Sai số có hệ thống trong đo lường cũng gây nên sự tự tương quan Ví dụ, giả sử một công

ty đang cập nhật số liệu hàng hóa tồn kho trong một thời đoạn cho trước Nếu có một sai sót có tính hệ thống xảy ra trong cách đo lường, dự trữ tồn kho tích lũy sẽ phản ánh các sai số đo lường tích lũy Các sai số này sẽ cho thấy như là sự tương quan chuỗi

Một ví dụ của tương quan chuỗi, xét sự tiêu thụ điện theo các giờ khác nhau trong ngày Bởi vì dạng thay đổi nhiệt độ là tương tự giữa các thời đoạn liên tiếp, ta có thể kỳ vọng dạng

tiêu thụ là tương quan giữa các thời đoạn lân cận Nếu mô hình không được đặc trưng một cách thích hợp, tác động này có thể để lộ sự tương quan cao giữa các sai số từ các thời đoạn gần kề Một ví dụ khác của tương quan chuỗi được tìm thấy trong dữ liệu thị trường chứng khoán Giá của một chứng khoán đặc biệt nào đó hoặc một chỉ số thị trường chứng khoán tại thời điểm đóng cửa của những ngày liên tiếp hoặc trong những giờ liên tiếp có thể tương quan theo chuỗi

} VÍ DỤ 9.1

DATA6-6 có dữ liệu hàng năm về dân số nông trại theo phần trăm tổng dân số tại Mỹ Hình 9.1 là đồ thị của dân số nông trại và giá trị phù hợp thu được từ xu hướng thời gian tuyến tính của dạng hàm FARMPOP = α + β TIME + u, trong đó TIME là t từ 1 đến 44 Phần Máy Tính Thực Hành 9.1 có các hướng dẫn để chạy lại ví dụ này Từ biểu đồ ta lưu ý rằng trong những thời đoạn ban đầu thì các giá trị thực tế nằm phía trên đường bình phương tối thiểu, trong những thời đoạn giữa các điểm phân tán tụ họp ở phía dưới đường thẳng, và trong các thời đoạn sau cùng chúng lại nhất quán nằm phía trên đường thẳng Do đó ta kỳ vọng sự tương quan cao giữa các sai số của các thời đoạn liên tiếp và gần kề nhau, như vậy vi phạm giả thiết độc lập chuỗi Thực tế, hệ số tương quan giữa ut và ut-1 là 0,97 Một phương cách hữu dụng để

nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi là biểu đồ phần dư Đây đơn giản là một đồ thị của

các số dư ước lượng ut theo thời gian t, Hình 9.2 minh họa biểu đồ số dư này cho trường hợp dân số nông trại Ta quan sát thấy một xu hướng rõ ràng các phần dư liên tiếp tụ tập về một phía của đường thẳng số không hoặc phía kia Đây là một dấu hiệu theo dạng đồ thị cho thấy sự có mặt của tự tương quan Nếu ut là độc lập, sự tụ họp này có thể sẽ không xảy ra

} Hình 9.1 Minh Họa của Tự Tương Quan

} Hình 9.2 Minh Họa của Biểu Đồ Phần Dư

Từ sự thảo luận và các ví dụ này rõ ràng sự tự tương quan thực sự vi phạm Giả thiết 3.6 Bây giờ ta tiếp tục thảo luận các hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan, trình bày các kiểm định thích hợp để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi, và cuối cùng thảo luận các phương pháp ước lượng có thể chọn lựa

} 9.1 Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất

Đầu tiên, ta xét trường hợp đặc biệt nhất của tương quan chuỗi gọi là tương quan chuỗi bậc

nhất Mặc dù ta dùng mô hình hồi qui tuyến tính đơn để khảo sát các vấn đề, tất cả kết quả

cũng khái quát hóa cho trường hợp hồi qui bội Nếu tương quan chuỗi tồn tại, thì Cov(ut, us) ≠

0 với t ≠ s, nghĩa là, sai số cho thời đoạn t là tương quan với sai số cho thời đoạn s Giả thiết của tự tương quan bậc nhất được phát biểu chính thức như sau:

ra Bởi vì ρ là hệ số của số hạng sai số trễ một thời đoạn, được gọi là hệ số tự tương quan bậc

nhất Quá trình được mô tả bởi Phương trình (9.2) được gọi là quá trình tự hồi qui bậc nhất,

được biết đến phổ biến hơn là AR(1) Sau này trong chương này (Phần 9.5) ta xét các quá

trình tự hồi qui bậc cao hơn Các sai số mới εt được giả thiết để thỏa mãn các điều kiện sau đây:

GIẢ THIẾT 9.2

Các sai số εt tuân theo phân phối một cách độc lập và đồng nhất với trị trung bình là 0 và phương sai không đổi sao cho E(εt) = 0, E(ε2

t) = σ2

ε < ∞, và E(εtεt-s) = 0 với s ≠ 0

Vậy các số hạng sai số mới được giả thiết để có cùng tính chất với các tính chất mà thủ tục OLS giả thiết ut phải có Trong tài liệu chuỗi thời gian, một chuỗi tuân theo Giả thiết 9.2

được gọi là chuỗi có tính nhiễu trắng với trị trung bình là 0 Bởi vì ut phụ thuộc vào ut-1, ta có thể kỳ vọng là chúng tương quan Lưu ý rằng ut không phụ thuộc trực tiếp vào ut-2; tuy nhiên, lại phụ thuộc gián tiếp qua ut-1 bởi vì ut-1 phụ thuộc trực tiếp vào ut-2 Vậy, ut tương quan với tất

cả sai số quá khứ Nếu đồng phương sai là dương, thì có tự tương quan dương, và khi đồng phương sai âm, ta có tự tương quan âm Trong Phụ lục Phần 9.A.2 cho thấy Cov(ut, ut-1) = σ2ρs, với s ≥ 0

} 9.2 Các Hệ Quả khi Bỏ Qua Tương Quan Chuỗi

Trong Chương 3 ta đã chứng minh rằng theo Giả thiết 3.3 và 3.4, (nghĩa là ut có trị trung bình là 0 và không tương quan với Xt), các ước lượng OLS là không thiên lệch và nhất quán Vì sự chứng minh các tính chất này không phụ thuộc vào Giả thiết 3.6, giả thiết bị vi phạm bởi sự có

mặt của tự tương quan, các ước lượng OLS (và các dự báo dựa trên chúng) là không thiên lệch và nhất quán ngay cả khi các số hạng sai số tương quan theo chuỗi Vấn đề là sự hiệu quả của

các ước lượng Trong chứng minh định lý Gauss-Markov đã thiết lập sự hiệu quả (Phần 3.A.4), một trong các bước liên quan việc cực tiểu phương sai của tổ hợp tuyến tính ∑atut:

≠+σ

=

s t

s t s

t 2

2 t t

tu a a a Cov(u ,u )a

trong đó tổng kép là theo mọi t và s có giá trị khác nhau Nếu Cov(ut, us) ≠ 0, số hạng thứ hai bên tay phải sẽ không triệt tiêu Do vậy, cực tiểu ∑at2σ2 (sẽ đưa ra các phương trình chuẩn OLS) không tương đương với việc cực tiểu Phương trình (9.3) Vì lý do này, ước lượng không thiên lệch tuyến tính tốt nhất (BLUE) cực tiểu phương trình (9.3) sẽ không giống như ước

lượng OLS Nói cách khác, ước lượng OLS không phải BLUE và do vậy không hiệu quả Vậy,

hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan giống như khi bỏ qua phương sai của sai số thay đổi; nghĩa

là các dự báo và ước lượng là không thiên lệch và nhất quán nhưng không hiệu quả Tuy nhiên,

có một điều nên biết trước Nếu các biến X có bao gồm một biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ như Yt-1 thì tương quan chuỗi sẽ cho ra các ước lượng OLS không nhất quán Điều này được chứng minh trong chương kế tiếp

Ta có thể cho thấy rằng nếu tương quan chuỗi trong ut là dương và biến độc lập Xt tăng lên theo thời gian (trường hợp thường thấy), thì phương sai phần dư ước lượng ( 2

ˆ

σ ) sẽ là một ước lượng quá thấp và giá trị của R2 sẽ là một ước lượng quá cao Nói cách khác, độ thích hợp sẽ bị phóng đại và các sai số chuẩn ước lượng sẽ nhỏ hơn các sai số chuẩn thực sự Các điểm này được minh họa trong Hình 9.3, một biểu đồ phân tán tiêu biểu, với sự trợ giúp của mô hình hồi qui đơn Đường đậm là đường hồi qui “thực” α+βX Giả sử có tự tương quan dương; nghĩa là, đồng phương sai giữa hai số hạng nhiễu ngẫu nhiên liên tiếp là dương Giả sử thêm rằng điểm phân tán đầu tiên (X1, Y1) nằm phía trên đường hồi qui thực Điều này nghĩa là u1 sẽ dương Bởi vì u2 và u1 là tương quan dương, u2 có thể dương, làm cho (X2, Y2) cũng nằm phía trên đường thẳng Do đó, một vài điểm phân tán đầu tiên có thể nằm phía trên đường hồi qui thực Giả sử một trong các điểm phân tán ngẫu nhiên nằm phía dưới đường hồi qui thực bởi do bản chất ngẫu nhiên của các số hạng u Như vậy một vài điểm kế tiếp cũng có thể nằm phía dưới đường hồi qui thực

} Hình 9.3 Ước Lượng Quá Thấp của Phương Sai Phần Dư

Bởi vì thủ tục bình phương tối thiểu làm cực tiểu tổng bình phương các độ lệch, đường

“thích hợp” sẽ trông như đường đứt nét Phương sai thực của các sai số được xác định bởi độ

lệch của (Xt, Yt) so với đường hồi qui thực, rõ ràng sẽ lớn hơn phương sai phần dư ước lượng, được tính từ các độ lệch xung quanh đường thích hợp Do đó, tổng bình phương sai số tính toán (ESS) sẽ nhỏ hơn giá trị thực, và R 2 sẽ lớn hơn giá trị thực

Trong trường hợp tổng quát, các phương sai của các hệ số hồi qui sẽ bị thiên lệch Để biết thêm phân tích chi tiết bản chất của thiên lệch, bạn đọc có quan tâm nên tham khảo Phần 8.3 sách của Kmenta (1986)

Tác Động Lên các Kiểm Định các Giả Thuyết

Chúng ta vừa biện luận rằng trong trường hợp thông thường khi mà tương quan chuỗi là dương và biến độc lập tăng lên theo thời gian, các sai số chuẩn ước lượng nhỏ hơn các sai số thực, và

do đó sẽ là ước lượng quá thấp Điều này có nghĩa là các trị thống kê t sẽ là các ước lượng quá cao, và do vậy một hệ số hồi qui có vẻ có ý nghĩa nhưng thực tế có thể là không Các phương sai ước lượng của các thông số sẽ thiên lệch và không nhất quán Vì vậy, các kiểm định t và F không còn hợp lệ

Tác Động Lên Dự Báo

Mặc dù các dự báo sẽ không thiên lệch (bởi vì các ước lượng không thiên lệch), nhưng chúng không hiệu quả với các phương sai lớn hơn Bằng cách lưu ý đến tương quan chuỗi trong các phần dư, có thể sẽ phát ra các dự báo tốt hơn các dự báo phát ra theo thủ tục OLS Điều này được chứng minh cho cấu trúc sai số của quá trình tự hồi qui bậc nhất AR(1) được định rõ trong Phương trình (9.2)

Giả sử ta bỏ qua Phương trình (9.2) và thu được các ước lượng OLS αˆ và βˆ Ta đã thấy trong Phần 3.9 rằng dự đoán OLS sẽ là Yˆt =αˆ +βˆXt Bởi vì ut là ngẫu nhiên, nó không thể dự đoán; và do vậy ta đặt nó bằng với giá trị trung bình của nó, bằng không Tuy nhiên, trong trường hợp của tương quan chuỗi bậc nhất, ut có thể dự đoán từ Phương trình (9.2), với điều kiện ρ có thể ước lượng được (gọi là ρˆ) Ta có uˆt=ρˆuˆt−1 Tại thời điểm t, phần dư cho thời đoạn trước (uˆt−1) là biết Do đó, dự đoán AR(1) sẽ là

)XˆˆY(XˆˆuˆˆXˆˆ

Y~t =α+β t +ρ t−1 =α+β t +ρ t−1−α−β t−1 (9.4)

tận dụng sự việc uˆt−1 =Yt−1 −αˆ −βˆXt−1 Phương trình (9.4) sử dụng sự có mặt của tương quan chuỗi để phát ra dự đoán; vậy Yt sẽ hiệu quả hơn Yt thu được theo thủ tục OLS Thủ tục ước lượng ρ được mô tả trong Phần 9.3

Các kết quả thu được trong phần này được tóm tắt trong Tính chất 9.1

b Các ước lượng OLS không còn BLUE nữa và sẽ không hiệu quả Các dự báo cũng sẽ không hiệu quả

c Các phương sai ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ thiên lệch và không nhất quán, và do đó các kiểm định các giả thuyết sẽ không còn hợp lệ Nếu tương quan chuỗi là dương và biến độc lập Xt tăng lên theo thời gian, thì các sai số chuẩn sẽ là các ước lượng quá thấp của các giá trị thực Điều này có nghĩa rằng R2 tính toán sẽ là một ước lượng quá cao, cho thấy một sự thích hợp tốt hơn so với tồn tại trên thực tế Cũng vậy, các trị thống kê t trong trường hợp như vậy sẽ có khuynh hướng có ý nghĩa hơn giá trị thực sự của chúng

} 9.3 Kiểm Định Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất

Trong phần này, ta giới hạn trong kiểm định tự tương quan bậc nhất Thủ tục được tổng quát hóa trong Phần 9.5 cho trường hợp của các bậc cao hơn

Kiểm định Durbin-Watson

Mặc dù biểu đồ phần dư là một phương pháp đồ thị hữu ích để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi, các kiểm định chính thức cho tự tương quan vẫn là cần thiết Trong phần này, ta

trình bày kiểm định phổ biến nhất cho tương quan chuỗi bậc nhất, gọi là kiểm định

Durbin-Watson (DW) (Durbin and Durbin-Watson, 1950, 1951) Một kiểm định dựa trên phương pháp nhân

tử Lagrange được thảo luận trong Chương 6 và 8 được trình bày trong phần tiếp theo

Các bước thực hiện kiểm định Durbin-Watson cho AR(1) được mô tả cho mô hình hồi qui bội sau đây:

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + + βkXtk + ut (9.5)

ut = ρut-1 + εt -1 < ρ < 1

Bước 1 Ước lượng mô hình bởi bình phương tối thiểu thông thường và tính toán các

phần dư uˆtlà Y t −βˆ1−β2X t2 −β3X t3−β3X t3− .−βk X tk

Bước 2 Tính toán thông kê Durbin-Watson:

2 t

2 n

t

2 t

1 t t

uˆ

)uˆuˆ(

sau này sẽ cho thấy có giá trị trong khoảng từ 0 đến 4 Phân phối chính xác của

d phụ thuộc vào các quan sát trên các biến X Durbin và Watson đã cho thấy

rằng phân phối của d bị giới hạn bởi 2 phân phối Các phân phối này được dùng để xây dựng các vùng giới hạn cho kiểm định Durbin-Watson

Bước 3a Để kiểm định H0: ρ = 0 đối lại ρ > 0 (kiểm định một phía), tìm trong Bảng A.5,

Phụ lục A, các giá trị tới hạn cho thống kê Durbin-Watson, và viết các số dL và

dU Lưu ý rằng bảng này cho giá trị k’, là số các hệ số hồi qui được ước lượng,

ngoại trừ số hạng hằng số Bác bỏ H0 nếu d ≤ dL Nếu d ≥ dU, ta không thể bác bỏ H0 Nếu d L < d < dU, kiểm định chưa thể kết luận

Bước 3b Để kiểm định tương quan chuỗi âm (nghĩa là, cho H1: ρ < 0), dùng 4 – d Điều

này được thực hiện khi d lớn hơn 2 Nếu 4 – d ≤ dL, ta kết luận rằng có tự tương quan âm ý nghĩa Nếu 4 – d ≥ dU, ta kết luận rằng không có tự tương quan âm Kiểm định chưa thể kết luận nếu d L < 4 – d < dU

Sự chưa thể kết luận của kiểm định DW phát sinh từ thực tế rằng phân phối mẫu nhỏ cho trị thống kê DW d phụ thuộc vào các biến x và d khó tính toán Để khắc phục điều này, Durbin và Watson xếp thành bảng các giá trị tới hạn cho các phân phối của các giới hạn đối với d, với

các giá trị khác nhau của kích thước mẫu n và số các hệ số k’, không bao gộp số hạng sai số

Savin và White (1977) mở rộng kết quả này cho trường hợp của nhiều biến giải thích Khi kiểm định là chưa thể kết luận, ta có thể thử dùng kiểm định nhân tử Lagrande được mô tả tiếp sau Các dạng hàm hoặc các thủ tục ước lượng khác có thể được chọn lựa để thử Vài chương trình như SHAZAM có tính đến giá trị p có lưu ý đến điều thực tế là phân phối của d phụ thuộc vào các giá trị của các biến giải thích

Từ các phần dư ước lượng ta có thể thu được một ước lượng của các hệ số tương quan chuỗi bậc nhất là

2 t

n t

2 t

1 t t

uˆ

uˆuˆ

với –1 Các trạng thái khác nhau có thể có được mô tả trong biểu đồ sau Giả thuyết không là

H0: ρ = 0

Kiểm định DW là không hợp lệ nếu vài biến X là hiệu ứng trễ của biến phụ thuộc – nghĩa là, nếu chúng có dạng Yt-1, Yt-2, Các bài toán phát sinh bởi các biến có hiệu ứng trễ được khảo sát trong Chương 10

Trong ví dụ dân số nông trại, biểu đồ phần dư được trình bày trong Hình 9.2, trị thống kê DW là d = 0,056 (Xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.1.) Số quan sát là 44 và k’ = 1 Đối với kiểm định một phía, các giá trị giới hạn thu được (theo phép nội suy) từ Bảng 5.A là dL = 1,47 và dU

= 1,56 Vì d < dL, kiểm định này bị bác bỏ tại mức 5 phần trăm Vì vậy ta kết luận rằng tương quan chuỗi trong các phần dư có ý nghĩa tại mức 5 phần trăm

Ví dụ thứ hai, xét Mô hình C trong Bài tập 4.17, liên kết tỷ lệ tử vong do bệnh tim mạch vành với tiêu thụ thuốc lá tính trên đầu người, tiêu thụ thức ăn béo và dầu tính trên đầu người, tiêu thụ rượu cất tính trên đầu người, và tiêu thụ bia tính trên đầu người (xem DATA4-7) Trong ví dụ này, ta có n = 34, k’ = 4, d = 1,485, dL = 1,21, và dU = 1,728 (xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.2.) Bởi vì d nằm trong khoảng dL và dU, ta có một kiểm định chưa thể kết luận Vài chương trình máy tính (ví dụ, SHAZAM) tính toán chính xác giá trị p dựa trên các quan sát của người sử dụng Giá trị p là 0,017, là giá trị thấp, và vì vậy ta bác bỏ H0: ρ = 0 và kết luận rằng có tự tương quan ý nghĩa

K l

Chưa thể

Tự tương quan dương Tự tương quan âm

H1: ρ > 0 H1: ρ < 0

0 dL dU 2 4 – dU 4 – dL 4

} BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.1

Trong Ví dụ 5.1 của Chương 5 ta đã liên kết lượng nhà mới với các biến như GNP và lãi suất và đã dùng dữ liệu chuỗi thời gian để ước lượng vài mô hình khác nhau Dùng kiểm định Durbin-Watson cho các mô hình này để kiểm định tương quan chuỗi bậc nhất Cẩn thận khi

phát biểu các giả thuyết không và giả thuyết ngược lại cũng như các tiêu chuẩn chấp nhận

hoặc bác bỏ giả thuyết không Dựa trên các kết quả của bạn, bạn có kết luận gì về các tính chất của các ước lượng OLS thu được trong Chương 5?

Kiểm định Durbin-Watson có vài hạn chế làm cho kiểm định không hữu dụng trong nhiều trường hợp Ví dụ, ta hẳn đã thấy rằng kiểm định có thể cho các kết quả không thể kết luận Cũng vậy, kiểm định là không hợp lệ nếu các biến X bao gồm các biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ (thông tin thêm về điều này trong Chương 10) Thứ ba, kiểm định là không thể áp dụng nếu các sai số tự hồi qui có bậc cao hơn (ví dụ, là 4 trong trường hợp dữ liệu theo quý) Cuối cùng, nếu số biến giải thích là lớn, giới hạn dL và dU có thể không sẵn có Nếu bất cứ trường hợp nào trong các trường hợp này xảy ra, một lựa chọn khác là kiểm định LM được bàn luận tiếp theo đây, không bị các hạn chế này (tuy nhiên, chắc chắn phải có ít nhất 30 bậc tự

do, bởi vì kiểm định LM là kiểm định mẫu lớn)

Kiểm Định Nhân Tử Lagrange

Kiểm định LM mô tả trong Chương 6 hữu dụng trong việc nhận dạng tương quan chuỗi không chỉ với bậc nhất mà cũng cho cả các bậc cao hơn, nhưng ở đây ta tự hạn chế cho trường hợp bậc nhất Trường hợp tổng quát được xét đến trong Phần 9.5

Để bắt đầu kiểm định này, lưu ý rằng Phương trình (9.5) có thể được viết lại là

Yt = β1 + β2Xt2 + + βkXtk + ρut-1 + εt

Do đó kiểm định đối với ρ = 0 có thể được xử lý như kiểm định nhân tử Lagrange (LM) đối với việc thêm biến ut-1 (là chưa biết, và do đó ta có thể dùng uˆt−1 để thay vào) Các bước thực hiện kiểm định LM như sau:

Bước 1 Bước này đúng như Bước 1 của kiểm định DW; nghĩa là ước lượng Phương trình

(9.5) theo OLS và tính toán các phần dư của nó

Bước 2 Hồi qui uˆttheo một hằng số, Xt2, , Xtk và uˆt−1, dùng n – 1 quan sát từ 2 đến

n Điều này tương tự như hồi qui phụ trong Bước 4 của Phần 6.14 Kế đến tính toán LM = (n – 1)R2 từ hồi qui phụ này n – 1 được dùng bởi vì số quan sát hiệu quả là n – 1

Bước 3 Bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trị bằng không và củng cố giả

1

χ > LM), vùng bên phải của LM trong phân phối 2

1

χ Nếu giá trị p < α, chắc chắn bác bỏ H0: ρ = 0 và kết luận rằng tự tương quan là có ý nghĩa

Nếu đã có tương quan chuỗi trong các phần dư, ta có thể kỳ vọng uˆt có quan hệ với uˆt−1 Đây là động lực hậu thuẫn hồi qui phụ trong đó uˆt−1 được kể đến cùng với tất cả các biến độc lập trong mô hình Lưu ý rằng kiểm định LM không có tình trạng không thể kết luận như của kiểm định DW Tuy nhiên, đó là kiểm định mẫu lớn và cần ít nhất 30 bậc tự do để có ý nghĩa

1

χ (0,05) = 3,841, nhỏ hơn (n-1)R2 Cũng vậy, giá trị p cho 4,521 là 0,033 Vậy kiểm định LM bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trị bằng không, trong khi kiểm định DW cho kết quả không thể kết luận

K l

} BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.2

Làm lại Bài Toán Thực Hành 9.1 dùng phương pháp kiểm định LM

} 9.4 Xử Lý Tương Quan Chuỗi

Thay Đổi Dạng Hàm Số

Không có thủ tục ước lượng nào có thể đảm bảo loại bỏ tương quan chuỗi bởi vì bản chất và nguyên nhân của tự tương quan nói chung chưa biết Như Hendry và Mizon (1978) đã biện luận đầy thuyết phục, tương quan chuỗi có thể là triệu chứng của mô hình bị đặc trưng sai hơn là cấu trúc sai số bị đặc trưng sai Ví dụ, giả sử rằng quan hệ là bậc hai và đáng ra ta hồi qui Y

theo X và X2 Nếu X tăng hoặc giảm có hệ thống theo thời gian, hồi qui của Y chỉ theo X sẽ hiển nhiên thể hiện sự tương quan chuỗi Không có thủ tục ước lượng tinh vi nào có thể hiệu chỉnh vấn đề mà nó thực sự do đặc trưng sai trong phần xác định hơn là trong số hạng sai số Giải pháp ở đây là thiết lập lại mô hình có tính đến số hạng bậc hai sao cho không có tương quan chuỗi xuất hiện Một cách khác là dùng mô hình log-hai lần Các vấn đề này được minh họa trong Ví dụ 9.5 Ứng dụng Phần 9.7 trình bày một ví dụ khác trong đó mô hình đầu tiên bộc lộ sự tự tương quan, nhưng khi các đặc trưng được cải thiện, tương quan chuỗi không còn có mặt nữa

} VÍ DỤ 9.5

Sử dụng dữ liệu trong bảng DATA6.6, chúng ta nhận thấy rằng đồ thị biểu diễn số phần trăm trên tổng số dân số của Mỹ sống nhờ vào ngành nông nghiệp có xu hướng đi xuống và không tuyến tính từ 1947 đến 1991 Nếu chúng ta làm thích hợp bằng một đường xu hướng tuyến tính

theo thời gian cho tập dữ liệu này, chúng ta có thể kỳ vọng rằng một nhóm các điểm phần dư

nằm liên tiếp nhau biểu hiện mối tương quan chuỗi (xem hình 9.2) Các giá trị ước lượng trên đường xu hướng tuyến tính được cho như sau (xem Phần Thực Hành Máy Tính 9.4 để biết cách tính ra các kết quả này):

farmpop t = 13,777 – 0,325t d = 0,056

(31,55) (- 19,2)

2

R = 0,895

Những giá trị trong ngoặc đơn là các trị thống kê t Lưu ý rằng trị thống kê Durbin –

Watson (DW) rất gần bằng zero, cho thấy mối tương quan chuỗi rất mạnh Vì lý do này mà trị

thống kê t và đại lượng thích hợp bị làm tăng quá mức Từ hình 9.1, người ta nhận thấy rằng sẽ

thích hợp hơn nếu xem đây mối quan hệ phi tuyến tính Đường xu hướng theo thời gian được thích hợp bằng hàm bậc hai và kết quả được tính ra như sau:

gfarmpop t = ln(farmpop t ) – ln(farmpop t – 1)

Lượng này còn được gọi là tỷ lệ tăng trưởng tức thời và có dạng đường tăng trưởng hàm mũ

Để có được lượng này, chúng ta giả sử rằng hàm Y t tăng trưởng theo hàm mũ với Y t = Y 0 e gt (g là tỷ lệ tăng trưởng, có thể có dấu âm, biểu thị hàm Y có khuynh hướng suy giảm theo dạng mũ) Lấy logarit hai vế, chúng ta có

ln(Yt) = ln(Y0) + gt theo biến thời gian t ln(Yt -1) = ln(Y0) + g(t –1) theo biến thời gian (t – 1) Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai, ta có

R là không tương thích để có thể so sánh với nhau Trị thống kê DW xấp xỉ bằng 2 và không có chứng cứ nào về tính tự tương quan bậc nhất (vì d > 2 nên chúng ta sử dụng 4 – d = 1,734) Vì thế, một sự hiệu chỉnh hợp lý đối với dạng hàm số là có thể loại bỏ tính chất tự tương quan chuỗi biểu kiến Điều này có nghĩa dạng công thức thứ ba là “tốt nhất”? Câu trả lời phụ thuộc vào ý nghĩa của từ “tốt nhất” là gì? Một nhà nghiên cứu rất quan tâm đến việc dự báo dân số nông nghiệp sẽ đặt các đánh giá trên cơ sở khả năng dự báo của mô hình Vấn đề này sẽ được đề cập một cách hệ thống hơn ở chương 11

Đặc Trưng Một Cấu Trúc Động và Tổng Quát Hơn

Dễ dàng nhận thấy rằng mô hình với một số hạng sai số tự hồi quy là một trường hợp đặc biệt của mô hình có cấu trúc động tổng quát hơn cho phần tất định (xem tham khảo ở tác giả Sargan, 1964, và tác giả Hendry và Mizon, 1978) Hãy xem xét mô hình sau đây (thường được sử dụng trong các bài toán kinh tế học vĩ mô) về mối quan hệ giữa biến phụ thuộc với giá trị trễ của chính nó, một biến giải thích, và với độ trễ của nó:

yt = β0 + β1yt –1 + β2xt + β3xt –1 + εt β1 < 1 (9.8)

Số hạng sai số εt được giả định có giá trị trung bình bằng zero, giá trị phương sai không đổi, và có tính chất độc lập chuỗi Phương trình (9.1) có dạng như sau

Thiết Lập Mô Hình Trong Các Sai Phân Bậc Nhất

Tác giả Granger và Newbold (1974 và 1986) đã nêu lên một số nghi vấn về sự hồi quy giả tạo có thể có khi một quá trình hồi quy dựa trên nhiều mức biến xu hướng, đặc biệt khi trị thống kê DW có ý nghĩa Trong việc nghiên cứu kinh tế lượng thực nghiệm, cách thức mà người ta thường sử dụng để vượt qua vấn đề này là thiết lập một số mô hình theo sai phân bậc nhất, nghĩa là hiệu số giữa giá trị tại mốc thời gian t và t –1 Trong trường hợp này, chúng ta sẽ ước lượng ∆yt = β0 + β∆xt + εt, trong đó ∆yt = yt – yt –1 và ∆xt = xt – xt –1 Tuy nhiên, giải pháp sử dụng sai phân bậc nhất này không phải lúc nào cũng thích hợp Để hiểu rõ hơn, hãy lưu ý đến mô hình sai phân bậc nhất có thể được viết lại như sau:

yt = yt –1 + β0 + βxt – βxt –1 + εt

So sánh phương trình trên với phương trình (9.8), chúng ta nhận ra rằng mô hình này chính là trường hợp đặc biệt khi β1 = 1 và β2 + β3 = 0 Vì thế, một cách tiếp cận khác thường được sử dụng là kiểm định hai giới hạn này trước, và nếu cả hai được chấp nhận thì hãy sử dụng đặc trưng sai phân bậc nhất

Những Thủ Tục Ước Lượng

Khi một hàm đã được hiệu chỉnh mà không thể loại bỏ được tính chất tự tương quan, người ta có thể sử dụng một số thủ tục khác để đưa ra các con số ước lượng những giá trị nhận được từ phương pháp OLS Những thủ tục này sẽ được đề cập tiếp theo đây Tuy nhiên, nên lưu ý rằng việc “cố định” một cách máy móc đối với tính tự tương quan có thể ngầm chứa một số giới hạn về thuộc tính chuỗi thời gian không nhất quán với dữ liệu của mô hình Cũng nên lưu ý rằng các phương pháp này chỉ được áp dụng cho loại dữ liệu chuỗi thời gian Đối với loại dữ liệu chéo, người ta có thể tái sắp xếp các giá trị quan sát theo bất cứ hình thái nào và nhận được một trị thống kê DW chấp nhận được Tuy nhiên, điều này cũng nói lên rằng thực hiện kiểm định DW cho loại dữ liệu chéo là không có ý nghĩa Vì dữ liệu chuỗi thời gian không thể tái sắp xếp được nên nhà nghiên cứu cần quan tâm đến mối tương quan chuỗi có thể có giữa chúng

Thủ Tục Tính lặp Cochrane – Orcutt

Thủ tục Tính lặp Cochrane – Orcutt (CORC) (tác giả Cochrane và Orcutt, 1949) yêu cầu có sự biến đổi mô hình hồi quy (9.5) thành dạng mô hình có thể áp dụng bằng thủ tục OLS Phương trình (9.5) được viết lại theo thời đoạn t –1, chúng ta có

t

* tk k

* 3 t 3

* 2 t 2

* 1

Quá trình biến đổi tạo ra biến Y* và các biến X* còn được gọi là phép lấy sai phân gần đúng, hay phép lấy sai phân tổng quát *

1

β chỉ là số hạng hằng số mới Lưu ý rằng số hạng sai số trong phương trình (9.9) thoả mãn mọi tính chất cần thiết để có thể áp dụng được thủ tục bình phương tối thiểu Nếu biết được giá trị của ρ, chúng ta có thể áp dụng phương pháp OLS cho phương trình (9.9) và giá trị ước lượng nhận được là BLUE Tuy nhiên, giá trị ρ chưa biết nên chúng ta cần phải ước lượng chúng từ mẫu quan sát Các bước tiến hành thủ tục Cochrane – Orcutt được trình bày như sau:

Bước 1 Ước lượng phương trình (9.5) bằng phương pháp OLS và tính toán phần dư của nó uˆt

Bước 2 Ước lượng hệ số tương quan chuỗi bậc nhất (còn gọi là ρˆ) từ phương trình (9.7)

Bước 3 Biến đổi các biến như sau:

* t

Y = Yt –ρˆYt –1, *

2 t

X = Xt2 – ρˆX(t – 1)2 , và v.v

Lưu ý rằng các biến có dấu hình sao (*) được xác định chỉ với t nhận giá trị từ 2 đến n

vì có t –1 số hạng xuất hiện

Bước 4 Hồi quy *

t

Y theo hằng số, theo *

2 t

X , *

3 t

X , …, *

tk

X và tính giá trị ước lượng của phương trình (9.9) được biến đổi bằng phương pháp OLS

Bước 5 Sử dụng những giá trị ước lượng này cho các giá trị β trong phương trình (9.5) và tính

được một tập mới các giá trị ước lượng ut Sau đó, quay tính lặp bước 2 với những giá

trị mới này cho đến khi có thể áp dụng được quy tắc dừng tiếp theo đây

Bước 6 Thủ tục tính lặp trên đây có thể dừng lại khi hiệu số giá trị ước lượng của ρ từ hai kết

quả liên tiếp tính được không lớn hơn giá trị chọn trước nào đó, như 0,001 chẳng hạn Giá trị ρˆ cuối cùng này sẽ được dùng để tính giá trị ước lượng CORC từ phương trình (9.9)

Vì số hạng hằng số cũng được nhân với 1 – ρˆ nên giá trị βˆ1 nhận được sẽ bằng *

1ˆ

β / (1 – ρˆ), với *

1

ˆ

β là số hạng hằng số ước lượng trong phương trình biến đổi (9.9)

Hầu hết những chương trình hồi quy tiêu chuẩn thực hiện tất cả các bước thủ tục trên bằng các lệnh đơn giản, và giải phóng người sử dụng khỏi công việc tính toán tính lặp nặng nhọc Hầu

hết các chương trình đều xuất ra kết quả số hạng hằng số của mô hình ban đầu (là βˆ1), vì vậy mà người sử dụng không cần thiết (và không nên) chia nó cho (1 – ρˆ) Người sử dụng cũng nên cẩn thận khi xác định kết quả R2, tổng bình phương sai số, và v.v Nếu chúng có liên quan đến phương trình (9.9) thì những giá trị này không thể so sánh với giá trị ước lượng bằng phương pháp OLS tương ứng vì vế bên trái của hai phương trình (9.5) và (9.9) khá khác nhau Tương tự, trị thống kê Durbin – Watson nhận được thường liên quan đến phần dư của phương trình (9.9) mà không liên quan đến phương trình (9.5) Kiểm định DW về vấn đề này sẽ kiểm

định mối tương quan chuỗi bậc hai cho phần dư uˆt vì ngầm định dưới mô hình này là quá trình tự hồi quy bậc nhất AR(1) theo εt

Thủ tục Cochrange – Orcutt có thể được chứng minh hội tụ về giá trị ước lượng thích hợp cực đại Sự hội tụ này này có tính chất nhất quán và tiến đến tiệm cận Thủ tục tính lặp thường hội tụ nhanh và không cần lặp lại nhiều hơn ba đến sáu lần Nên lưu ý rằng số lần quan

sát dùng để ước lượng trong phương trình (9.9) chỉ là n –1 vì chúng ta bỏ qua lần quan sát đầu tiên Với k thông số thì bậc tự do là n – k – 1 Kiểm định giả thuyết có thể được thực hiện theo

cách thông thường Có thể sử dụng kết quả cho lần quan sát đầu tiên bằng phép biến đổi sau

đây đối với t =1 (các điều chỉnh trong bước này được trình bày trong phần phụ lục 9.A):

* 1

Y = Yt (1 – ρ2) 1/2 và *

i 1

X = X1i (1 – ρ2) 1/2 với i = 1 → k

} VÍ DỤ 9.6

Tính tự tương quan của mẫu quan sát bệnh tim trình bày trong ví dụ 9.4 được chứng minh là có

ý nghĩa (theo kết quả của kiểm định LM), và vì thế chúng ta sẽ tái ước lượng mô hình bằng kiểm định CORC Phương trình ước lượng được cho ở đây là kết quả tính toán của chương trình GRETL, bỏ qua lần quan sát đầu tiên (xem thêm trong phần thực hành máy tính 9.5) Vì các chương trình khác nhau về tiêu chuẩn hội tụ nên kết quả sẽ khác nhau ở một vài điểm giữa các chương trình với nhau Tuy nhiên, sự khác nhau này không nên quá cách biệt

CHD = 341,023 + 2,903 CIG + 0,373 EDFAT + 12,045 SPIRITS – 2,206 BEER

(4,2) (0,6) (0,4) (1,83) (- 2,5)

Các giá trị trong ngoặc đơn là các trị thống kê t Số vòng lặp cần thiết là 12 và giá trị ρˆcuối cùng là 0,613 Chúng ta có thể thực hiện một kiểm định DW đối với các giá trị ước lượng

ε từ phương trình biến đổi (9.9) để kiểm tra xem các phần dư ε có tính chất tự tương quan bậc

nhất hay không Giá trị d của phương trình trong kiểm định DW là 2,232 Từ bảng A.5, chúng

ta có (với n = 33 và k’ = 4) dL = 1,19 và dU = 1,73 Vì hiệu số 4 – d = 1,771 > dU nên chúng ta có thể kết luận rằng các phần dư ε không có tương quan chuỗi

Thủ Tục Tìm Kiếm Hildreth – Lu

Một giải pháp thường được dùng để thay thế thủ tục Cochrange – Orcutt là thủ tục tìm kiếm Hildrth – Lu (HILU) (của tác giả Hildreth – Lu, 1960) Thủ tục này bao gồm các bước sau:

Bước 1 Chọn một giá trị ρ (gọi là ρ1) Sử dụng giá trị này, biến đổi các biến và ước lượng

phương trình (9.9) bằng thủ tục OLS

Bước 2 Từ các giá trị ước lượng này, tính εˆttừ phương trình (9.9) và tính ra giá trị tổng bình

phương sai số tương ứng Gọi giá trị này là ESS(ρ1) Tiếp tục chọn một giá trị khác nữa cho ρ (gọi là ρ2) và lặp lại bước 1 và 2

Bước 3 Bằng cách thay đổi giá trị của ρ từ – 1 đến + 1 theo với bước nhảy có tính hệ thống

nào đó (như với bước nhảy là 0,05 hoặc 0,01), chúng ta sẽ nhận được một chuỗi các giá trị ESS(ρ) Hãy chọn ρ nào có giá trị ESS nhỏ nhất Đây là giá trị ρ cuối cùng có thể cực tiểu hoá một cách bao quát tổng bình phương sai số của mô hình biến đổi Phương trình (9.9) ước lượng với giá trị ρ cuối cùng này là kết quả tối ưu

} VÍ DỤ 9.7

Tài liệu gốc của tác giả Hildreth – Lu trình bày gần hai tá ví dụ về ước lượng bằng thủ tục HILU Chúng ta sẽ thực hành lại một trong những ví dụ đó Dữ liệu DATA9-1 trong phần phụ lục D trình bày số liệu về nhu cầu kem Các số liệu mẫu quan sát được thực hiện theo từng thời đoạn 4 tuần từ ngày 18/03/1951 đến ngày 11/07/1953 Định nghĩa các biến được cho như sau:

DEMAND = Nhu cầu tiêu thụ kem tính trên mỗi đầu người, đơn vị tính bằng panh (1 panh =

0.58 lít) PRICE = Giá mỗi panh kem tính bằng dollar

INCOME = Thu nhập hằng tuần của gia đình tính bằng dollar

TEMP = Nhiệt độ trung bình tính bằng độ Fahrenheit

Bảng 9.1 trình bày các hệ số hồi quy ước lượng và tổng bình phương sai số của phương trình (9.9) của mỗi bước trong thủ tục tìm kiếm Hàng tương ứng với ρ = 0 trình bày các giá trị ước lượng bằng thủ tục OLS (tương ứng mẫu quan sát 2 đến 30) Thủ tục HILU cực tiểu hoá ESS(ρ) khi ρ = 0,41 Lưu ý rằng các giá trị ước lượng theo OLS và HILU khác nhau một cách đáng kể

Thủ tục CORC cũng được áp dụng cho những dữ liệu này Thủ tục này chỉ cần hai vòng lặp để có thể tiến tới hội tụ Giá trị ρˆ sau cùng là 0,40083, và giá trị ước lượng bằng thủ tục

CORC và trị thống kê t được tính toán như sau (xem phần thực hành máy tính 9.6 để thực tập

chứng minh rằng kiểm định DW đã không bác bỏ giả thuyết không về tương quan chuỗi có giá

trị bằng không của các phần dư trong phương trình (9.9) Đặc biệt, kiểm định này vẫn chưa thể kết luận được

} BÀI TẬP THỰC HÀNH 9.3

Dùng dữ liệu trong bảng DATA9-1 để ước lượng mô hình log-hai lần bằng phương pháp OLS

Mô hình log hai lần sẽ cho biết độ co giãn của biến thu nhập (income), giá (price), và nhiệt độ

(temp) Hãy thực hiện một kiểm định DW lên các phần dư Có chứng cứ nào cho thấy tính tự

tương quan bậc nhất không? Nếu có, hãy áp dụng các thủ tục CORC và HILU để tính toán và

so sánh các giá trị ước lượng

} Bảng 9.1 Ước Lượng Nhu Cầu Về Kem Bằng Phương Pháp Hildreth – Lu

ρ CONST PRICE INCOME TEMP ESS

1.0 64927 – 9358 – 00197 00272 025823 9 64166 – 9824 – 00149 02284 027317 8 53264 – 1.0064 – 00044 00303 026854 7 41572 – 1.0001 00075 00321 026470 6 30779 – 9728 00182 00336 026022 5 22084 – 9342 00264 00348 026522 42 16779 – 9004 00311 00354 025459 41 16229 – 8967 00316 00355 025452 4 15653 – 8916 00321 00356 025453 39 15136 – 8876 00325 00357 025454 3 11148 – 8502 00357 00361 025674 2 08025 – 8101 00379 00364 026395 1 05903 – 7733 00392 00364 027666

So Sánh Hai Thủ Tục

Một cách căn bản, thủ tục HILU sẽ tìm kiếm các giá trị ρ nằm trong khoảng -1 và +1 mà khiến cho giá trị tổng bình phương phần dư của phương trình (9.9) đạt cực tiểu Nếu khoảng cách giữa các bước nhảy là nhỏ thì thủ tục phải thực hiện rất nhiều số lần hồi quy; vì thế khi so sánh với thủ tục CORC, phương pháp HILU đòi hỏi sự hỗ trợ tính toán của máy tính rất lớn Ngược

lại, thủ tục CORC lặp lại nhiều lần để giá trị ESS(ρ) đạt cực tiểu cục bộ (local minimum) và như vậy thủ tục có thể bỏ qua giá trị cực tiểu toàn cục (global minimum) nếu mô hình có nhiều

hơn một điểm cực tiểu cục bộ Điểm nhận xét này được trình bày trong hình 9.4, trong đó có hai điểm cực tiểu cục bộ là A và B Các điểm được biểu diễn bằng chấm tròn nhỏ biểu hiện các bước nhảy tương ứng của thủ tục HILU Kỹ thuật CORC sẽ lặp lại và đạt đến điểm cực tiểu cục bộ là A, và như vậy nó đã bỏ qua điểm cực tiểu toàn cục B Lưu ý rằng phương pháp HILU sẽ chọn điểm tương ứng với giá trị ρ và bỏ qua điểm cực tiểu toàn cục thực sự, nhưng Hsự chênh lệch này là không đáng kể Tác giả Hildreth và Lu đã tiến hành thực nghiệm với gần

hai tá bộ dữ liệu nhưng không tìm thấy các điểm cực tiểu bội (multiple minima), và kết luận

rằng có lẽ trường hợp xuất hiện các điểm đa cực tiểu là không thường xuyên Một thủ tục lai

kết hợp (hybrid procedure) nên được sử dụng với những bước nhảy lớn, bằng 0,1 chẳng hạn,

chỉ cần 19 lần hồi quy (không bao gồm các điểm mút –1 và +1) Chọn điểm ρ có giá trị ESS nhỏ nhất trong phần tính toán thử đầu tiên để làm điểm khởi đầu của thủ tục CORC và lặp lại cho đến kết quả cuối cùng Vì thế trong hình 9.4, phương pháp HILU sẽ chọn giá trị ρ trong Hlần thử đầu tiên, và thủ tục CORC sau đó lặp lại các bước nhảy để đạt đến điểm cực tiểu toàn cục B

Hầu hết các chương trình máy tính tốt đều cho phép áp dụng cả hai thủ tục lặp lại và tìm kiếm; đây là một giải pháp tối ưu khi dùng cả hai thủ tục nhằm bảo đảm rằng phương pháp CORC sẽ không bỏ qua giá trị cực tiểu toàn cục Nên lưu ý rằng thủ tục Hildreth – Lu và thủ tục lai kết hợp chỉ thích hợp cho quá trình AR(1), và đây chính là một điểm giới hạn rất lớn Vì lý do trên mà thủ tục tìm kiếm này không được ứng dụng phổ biến

} Hình 9.4 So Sánh Hai Thủ Tục HILU Và CORC

} VÍ DỤ 9.8

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ trong đó các giá trị ước lượng theo phương pháp CORC và HILU là hoàn toàn khác nhau (phần thực hành máy tính 9.7 trình bày chi tiết cách thức thực hiện ví dụ này) Xem xét mô hình được ước lượng trong chương 4 sử dụng dữ liệu trong bảng DATA4-2 dưới đây:

Ct = β1 + β2Wt + β3Pt + ut

Trong đó Ct là chi phí tiêu dùng tổng hợp, Wt là tổng chi phí bồi thường cho nhân viên, và Pt là tổng lợi nhuận, tất cả đại lượng trên đều là số liệu thực tế với đơn vị tính bằng tỷ dollar Mỹ trong giai đoạn từ 1959 – 1994

Trị thống kê Durbin – Watson đối với tính tự tương quan bậc nhất là 0,969, biểu hiện mối tương quan chuỗi mạnh (hãy kiểm tra lại nhận định này) Phương pháp CORC bắt đầu với giá trị ước lượng ρ (0,494) có được từ việc tính toán phần dư bằng phương pháp OLS, và sau đó thực hiện sáu vòng lặp để đạt đến giá trị cuối cùng là 0,562 Phương pháp HILU sẽ áp dụng thủ tục lai kết hợp như đã đề nghị trước đây và bắt đầu tìm kiếm trong khoảng từ – 0,9 đến + 0,9 với bước nhảy 0,1 và cũng thực hiện tương tự trong khoảng từ – 0,99 đến + 0,99 Trong lần thử đầu tiên, ESS đạt giá trị cực tiểu là 0,99 Chương trình sau đó sẽ giá trị này để làm điểm khởi đầu và thực hiện một vòng lặp CORC để đạt đến giá trị ρˆ cuối cùng là 0,9903 và hoàn toàn khác với giá trị cuối cùng 0,562 tính được bằng thủ tục CORC Hình 9.5 sẽ giải thích tại sao hai phương pháp này cho ra các kết quả ρˆ khác nhau Trong hình 9.5, các điểm ESS được

Cực tiểu toàn cục (Glocal Minimum)

Cực tiểu cục bộ (Local Minimum)

Cˆ

A

B

ρ ESS(ρ)

0

xác định dựa trên các giá trị ρ nằm trong khoảng 0,1 đến 1,0 Lưu ý rằng thủ tục CORC bắt đầu với giá trị bằng 0,494 và sau đó hội tụ về giá trị cực tiểu cục bộ 0,562 Trong lúc đó phương pháp lai kết hợp HILU – CORC đã chọn ngay giá trị cực tiểu là 0,99 Vì thế, thông qua ví dụ này chúng ta có thể chứng minh rằng phương pháp hỗn hợp HILU – CORC tốt hơn hẳn ngay cả khi chỉ sử dụng một mình vì nó khai thác được các lợi thế so sánh của mỗi phương pháp

} Hình 9.5 Vẽ ESS Theo ρ Từ 0.1-0.99

} 9.5 Tương Quan Chuỗi Bậc Cao

Như đã đề cập trước đây, bản chất của cấu trúc sai số thường là chưa biết Vì vậy, nhà nghiên cứu phải thiết lập một mô hình càng tổng quát càng tốt đối với phần tất định cũng như đối với cấu trúc sai số và thực hiện phân biệt dữ liệu giữa các phương trình khác nhau Các nguyên lý được trình bày trong các phần trước đây có thể áp dụng cho tương quan chuỗi bậc cao hơn Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về các thủ tục để kiểm định tính tự tương quan bậc cao

hơn và để ước lượng các thông số mô hình khi các số hạng nhiễu tuân theo tính tương quan bậc

tổng quát Các đặc trưng chung của mô hình với số hạng sai số tự hồi quy được cho như sau:

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + … + βkXtk + ut (9.10)

ut = ρ1ut – 1 + ρ2ut – 2 + ρ3ut – 3 + … + ρput – p + εt (9.11)

Phương trình (9.11) còn được gọi là quá trình tự hồi quy bậc p của các phần dư hay AR(p) Nếu

chúng ta có dữ liệu theo từng quý, chúng ta có thể kỳ vọng rằng mô hình tự hồi quy bậc bốn là