báo cáo vật lý 2 ĐH Bách Khoa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI 14 Định lý Green trong mặt phẳng, Định lý phân kỳ trong không gian 3 chiều, định lý Stokes LỚP L3.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 14 :

Định lý Green trong mặt phẳng, Định lý phân kỳ trong

không gian 3 chiều, định lý Stokes.

LỚP L33 _ NHÓM 14

GV LÝ THUYẾT: Bùi Thị Khuyên

GV BÀI TẬP: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

Tp.HCM, 4/

MSSV Họ và tên Ghi chú

2114572 Nguyễn Huỳnh Minh Quốc Định lí Stokes

2114660 Nguyễn Đăng Hồng Sơn Định lí Green

2114691 Nguyễn Thành Tài Tổng hợp word

2114703 Võ Thành Tài Định lí phân kì

MỤC LỤC

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO 4

LỜI CẢM ƠN 5

DANH MỤC HÌNH ẢNH 6

ĐỊNH LÝ GREEN TRONG MẶT PHẲNG 7

1.1 T ỔNG QUAN : 7

1.2 Đ ỊNH LÍ G REEN : 7

1.3 C HỨNG MINH ĐỊNH LÍ G REEN TRONG TRƯỜNG HỢP D LÀ MIỀN ĐƠN 8

1.4 B ÀI TẬP ỨNG DỤNG 10

ĐỊNH LÝ STOKES 12

1.1 T ỔNG QUAN 12

1.2 Đ ỊNH LÝ S TOKES : 12

1.3 C HỨNG MINH MỘT TRƯỜNG HỢP CỦA ĐỊNH LÍ S TOKES 13

1.4 B ÀI TẬP ỨNG DỤNG 14

ĐỊNH LÝ PHÂN KỲ TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU 17

1.1 T ỔNG QUAN 17

1.2 Đ ỊNH LÝ PHÂN KỲ : 17

1.3 C HỨNG MINH : 17

1.4 B ÀI TẬP ỨNG DỤNG 19

KẾT LUẬN 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO

Bài báo cáo được thực hiện dựa trên những kiến thức tích lũy được của các thành viên trong nhóm thông qua quá trình học tập từ các giáo viên trên lớp và sự tham khảo từ quyển sách CALCULUS A COMPLETE COURSE - Robert A Adam, Christopher Essex Bài báo cáo gồm 3 định

lý , trong đó mỗi định lý chúng em sẽ chia làm hai phần với bố cục như sau:

Phần 1: Nêu ra kiến thức tổng quát cũng như nội dung định lý, chứng minh trong một hoặc vài trường hợp Phần này sẽ giúp người đọc hiểu rõ

về những kiến thức lý thuyết cơ bản về định lý đó để dễ dàng áp dụng vào quá trình giải quyết bài toán.

Phần 2: Ứng dụng định lý vào giải quyết một vài bài toán Ở phần này chúng em sẽ cố gắng đưa ra lời giải chi tiết để giúp người đọc có thể trau dồi kiến thức, áp dụng cũng như tham khảo thêm một vài kỹ năng trong quá trình làm bài tập.

LỜI CẢM ƠN

Nhóm nghiên cứu xin chân thành gửi lời cảm ơn đến cô Bùi Thị Khuyên cũng như cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như bộ môn giải tích 2 trường đại học Bách Khoa Tp.HCM đã cung cấp kiến thức cũng như chỉ dẫn hướng đi để nhóm có thể hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu.

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình ảnh 1: Đường cong C và miền D bị chặn bởi C 8

Hình ảnh 2 8

Hình ảnh 3 9

Hình ảnh 4 11

Hình ảnh 5 12

Hình ảnh 6 14

Hình ảnh 7 15

Hình ảnh 8 16

Hình ảnh 9 19

Hình ảnh 10 20

Hình ảnh 11 21

Hình ảnh 12: Trường véc tơ F=x^2 i+y^2 j 22

Định lý Green trong mặt phẳng

1.1 Tổng quan:

Định lý Green cho ta mối quan hệ giữa tích phân đường quanh một đườngcong đơn đóng C và tích phân kép trên một miền D bị chặn bởi C (Xem Hình 1 Ta giả sử rằng D bao gồm tất cả các điểm trong C và tất

cả các điểm trên C ) Trong việc phát biểu Định lý Green, ta sử dụng quy

ước rằng hướng dương của một đường cong đơn đóng C là việc đi ngượcchiều kim đồng hồ một lần duy nhất trên C Như vậy, nếu C được cho

bời hàm véc tơ r (t) , a ≤ t ≤ b , thì miền D luôn luôn ở phía bên trái của

khi điểm r (t) đi trên C (Xem Hình 2.)

1.2 Định lí Green:

Cho C là một đường cong đơn đóng, trơn từng khúc và hướng theo chiều dương trong mặt phẳng, và D là một miền bị chặn bởi C Nếu P và Q có các đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa

đôi khi được sử dụng để chỉ ra rằng tích phân đường được tính sử dụng hướng

dương của đường cong đóng C Một ký hiệu khác của biên D có thể định hướng là ∂ D , vì thế phương trình của Định lý Green cũng có thể được

Định lý Green không dễ để có thể chứng minh một cách tổng quát, nhưng ta

có thể chứng minh trong trường hợp đặc biệt, ở đó miền xác định là miền loại

I và miền loại II Ta gọi những miền này là miền đơn (simple regions)

1.3 Chứng minh định lí Green trong trường hợp D là miền đơn

Để ý rằng Định lý Green sẽ được chứng minh nếu ta có thể chỉ ra rằng:

ở đó, g1, g2 là các hàm liên tục Điều này cho phép ta tính tích phân kép ở

vế phải của phương trình (2) như sau:

Bây giờ, ta tính vế trái của phương trình (2) bằng cách chia C thành hợp của bốn đường cong C1, C2, C3,C4 như trong Hình 3 Trên C1 , ta lấy

x là tham số và viết phương trình tham số là x=x , y =g1( x ) , a ≤ x ≤ b Như vậy:

Trên C2 hoặc C4 (hai miền này có thể rút gọn lại thành một điểm duy

GIẢI: Mặc dù có thể sử dụng tích phân đường để tính toán như thông thường,

tuy nhiên nó sẽ liên quan đến việc thiết lập ba tích phân riêng biệt theo ba cạnhcủa hình tam giác, vì thế ta sẽ sử dụng Định lý Green Để ý rằng miền D

được bao quanh bởi C là miền đơn và C có hướng dương (Xem Hình

lý Green được sử dụng theo chiều ngược lại Ví dụ, nếu ta biết rằng

P (x , y )=Q ( x , y )=0 trên đường cong C , thì Định lý Green sẽ cho ta:

Một ứng dụng khác của hướng ngược lại trong Định lý Green là tính

diện tích Vì diện tích của D là ∬

GIẢI: Hình ellipse có phương trình tham số là

x=acost , y=bsint , 0 ≤t ≤2 π Sử dụng công thức thứ ba của phương trình

Định lý Stokes

1.1 Tổng quan

Định lý Stokes có thể được coi là Định lý Green trong không gian nhiều chiều.Trong khi định lý Green liên hệ một tích phân kép trên một miền phẳng D

với một tích phân đường trên biên phẳng của miền đó, thì Định lý Stokes liên

hệ tích phân mặt trên một mặt S với một tích phân đường trên biên của

S (là một đường cong trong không gian) Hình trên biểu diễn một mặt định

hướng với véc tơ pháp tuyến đơn vị n Hướng của S suy ra hướng dương của đường biên C như biểu diễn trong hình Điều này có nghĩa là nếu tabước theo hướng dương trên C với đầu của ta chỉ theo hướng của véc tơ

pháp tuyến n, thì mặt S sẽ luôn luôn ở phía bên trái của ta

1.5 Định lý Stokes:

Cho S là một mặt định hướng trơn từng khúc bị chặn bởi một biên đơn,

đóng, trơn từng khúc C có hướng dương Cho F là một trường véc tơ với các

thành phần có đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở R3 chứa S Khiđó:

Nên Định lý Stokes nói rằng tích phân đường trên biên của S của thành

phần tiếp tuyến của F bằng với tích phân mặt trên S của thành phần pháp

tuyến của curl của F

Biên có thể định hướng của mặt đinh hướng S thường được viết là ∂ S ,nên Định lý Stokes có thể được biểu diễn là:

Hình ảnh 5

Mặc dù Định lý Stokes quá khó để có thể chứng minh một cách tổng quát, ta

có thể chứng minh khi S là một đồ thị và F, S ,C đều có dáng điệu đẹp

1.6 Chứng minh một trường hợp của định lí Stokes

Giả sử rằng phương trình của S có dạng z=g ( x , y ) , (x , y )∈ D , với g

có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và D là một miền phẳng đơn có biên

C1 tương ứng với C Nếu hướng của S hướng lên trên thì hướng

dương của C tương ứng với hướng dương của C1 (xem Hình 2.) Ta

cũng được cho F = P i + Q j + R k, với các đạo hàm riêng của

(Hướng C ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên.)

GIẢI: Đường cong C (là một ellipse) được biểu diễn trong Hình 3 Mặc dù

∫

C

❑

F dr có thể tính được trực tiếp, sẽ dễ hơn nếu ta sử dụng Định lý

Stokes Trước tiên ta tính:

=4 và

x2

+y2=1 Trừ đi, ta được z2=3 và vì thế z=√3 (vì z>0¿ Như

vậy, C là đường tròn cho bởi phương trình x2

F(r (t ))=√3 cost i+√3 sint j+costsint k

Vì vậy, theo Định lý Stokes:

Để ý rằng trong Ví dụ 2, ta tính tích phân mặt bằng một cách đơn giản khi biết

các giá trị của F trên biên C Điều đó có nghiĩa rằng nếu ta có một mặt

định hướng khác với với cùng biên C thì ta thu được giá trị giống y hệt cho

tích phân mặt đó

Tổng quát, nếu S1 và S2 là mặt định hướng với cùng biên định hướng

C và đều thỏa mãn giả thiết của Định lý Stokes, thì khi đó:

Hình ảnh 8

Định lý phân kỳ trong không gian ba chiều

với C là đường cong có biên hướng dương của miền phẳng D Nếu ta

muốn mở rộng định lý này sang trường véc tơ trong R3 , ta có thể đoánrằng:

hàm của một hàm (div F trong trường hợp này) trên một miền với tích phân của hàm F ban đầu trên biên của miền đó

1.8 Định lý phân kỳ:

Cho E là một miền đơn và cho S là mặt biên của E với hướng

dương (bên ngoài) Cho F là một trường véc tơ với các hàm thành phần có đạo

hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa E Khi đó:

Như vậy, Định lý phân kỳ phát biểu rằng, dưới các điều kiện được cho,

thông lượng của F đi qua mặt biên E bằng với tích phân bội ba của phân

Nếu n là véc tơ pháp tuyến đơnvị hướng ra ngoài của S thì tích phân mặt ở vế

trái của Định lý phân kỳ là:

Vì vậy, để chứng minh Định lý phân kỳ, ta cần chứng minh ba phương trìnhsau đây:

Mặt biên của S bao gồm ba phần: mặt đáy S1 , mặt trên S2 , và có thể

là một mặt bên thẳng đứng S3 nằm trên biên của D (Xem Hình 1.

S3 có thể không có trong trường hợp hình cầu) Để ý rằng trên S3 ta có

k n = 0, vì k là véc tơ thẳng đứng còn n là véc tơ nằm ngang, vì vậy:

Phương trình của S2 là z=u2( x , y ) , (x , y ) ∈ D và véc tơ pháp tuyến

hướng ngoài n chỉ lên phía trên, nên ta có:

Phương trình (2) và (3) được chứng minh tương tự bằng việc biểu diễn E

dưới dạng miền loại II và loại III tương ứng

1.10 Bài tập ứng dụng

Ví dụ 1: Tìm thông lượng của trường véc tơ F(x , y , z)=z i+ y j+x k trênmặt cầu đơn vị x2

+y2+z2=1

GIẢI: Đầu tiên, ta tính phân kỳ của F:

GIẢI: Sẽ cực kỳ khó để tính tích phân mặt được cho một cách trực tiếp (ta sẽ

phải tính bốn tích phân mặt tương ứng với bốn mặt của S ) Hơn nữa, phân

kỳ của ít phức tạp hơn F rất nhiều:

Vì vậy, ta sẽ sử dụng Định lý phân kỳ để biến đổi tích phân mặt được chothành tích phân bội ba Cách đơn giản nhất để tính tích phân bội ba là biểu

diễn E dưới dạng miền loại 3:

có thể được chứng minh cho miền là hợp hữu hạn của các miền đơn (Cáchchứng minh tương tự như chứng minh được sử dụng cho việc mở rộng Định lýGreen.)

Ví dụ, xét miền E nằm giữa mặt đóng S1 và S2 , với S1 nằm trong

S2 Gọi n1 và n2 là véc tơ pháp tuyến hướng ngoài của S1 và

S2 Khi đó, mặt biên của E là S=S1∪S2 và véc tơ pháp tuyến n của

nó được cho bởi n=−n1 trên S1 và n=n2 trên S2 (Xem Hình 3.)

Áp dụng Định lý phân kỳ vào S , ta được:

ở đó điện tích Q có vị trí tại gốc tọa độ và x=⟨x , y , z⟩ là véc tơ vị trí

Sử dụng Định lý phân kỳ để chỉ ra rằng thông lượng điện của E đi qua mặtđóng S2 bất kỳ chứa gốc tọa độ là:

∬

❑

E dS=4 πεQ

Hình ảnh 11

GIẢI: Khó khăn ở đây là ta không có phương trình cụ thể của S2 vì nó làmột mặt đóng bất kỳ chứa gốc tọa độ Mặt đơn giản nhất thỏa mãn điều kiện

đó là một mặt cầu, vì thế ta đặt S1 là hình cầu nhỏ có bán kính a và tâm

tại gốc tọa độ Ta có thể xác nhận được rằng div E = 0 Vì vậy, từ phương

Mục đích của phép tính trên là ta có thể tính tích phân mặt trên S1 vì S1

là một mặt cầu Véc tơ pháp tuyến tại x là x /|x| Vì vậy:

Một ứng dụng khác của Định lý phân kỳ là ở trong động lực học chất lưu Cho

v( x , y , z ) là trượng vận tốc của một chất lưu với mật độ không đổi ρ

Khi đó, F=ρv là tốc độ của chất lưu trên một đơn vị diện tích Nếu

P0(x0, y0, z0) là một điểm trong chất lưu và B a là một hình cầu có tâm

P0 và bán kính rất nhỏ a , thì divF(P)≈ divF(P0) với mọi điểm P

trong B a vì ¿F liên tục Ta xấp xỉ thông lượng trên mặt cầu S a nhưsau:

Phương trình (8) nói rằng divF(P0) là tổng của thông lượng hướng ra ngoài

trên mỗi đơn vị thể tích tại P0 (Đây là lý do của cái tên “phân kỳ”.) Nếu

div F ( P)>0 , thì tổng thông lượng hướng ra ngoài gần P và P được

gọi là nguồn Nếu div F ( P)<0 thì tổng thông lượng hướng vào trong gần

P và P đươc gọi là điểm hút

Với trường véc tơ trong Hình 4, các véc tơ kết thúc gần P1 ngắn hơn các

véc tơ bắt đầu gần P1 Vì vậy, tổng chất lưu hướng ra ngoài gần P1 và

vì thế div F(P) > 0 và P1 là nguồn Gần P2 thì ngược lại, các mũi tên đi

vào dài hơn các mũi tên đi ra ngoài Vì vậy, tổng chất lưu hướng vào trong và

vì thế div F(P) < 0 và P2 là một điểm hút Ta có thể sử dụng công thức của

F để xác nhận điều này Vì F=x2

i+ y2 j nên div F ¿2 x +2 y , biểu thức

này dương khi y >−x Vì vậy, các điểm ở trên đường thẳng y=−x là

nguồn và các điểm ở dưới là điểm hút

Hình ảnh 12: Trường véc tơ F=x^2 i+y^2 j

KẾT LUẬN

Quá trình thực hiện bài báo cáo là giai đoạn rất quan trọng Đối với chúng

em nói riêng và toàn thể sinh viên của lớp nói chung, Giải Tích 2 là tiền

đề quan trọng cung cấp những kỹ năng và kiến thức quý báu để tìm hiểu

và học tập tiếp tục những môn học kế tiếp Chúng em xin chân thành cảm

ơn cả hai cô dạy lý thuyết và bài tập đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy, phát triển tư duy và cách học tập khoa học Đó là những kiến thức nền tảng để chúng em có thể thực hiện bài báo cáo này Vì lí do kiến thức có giới hạn, rất khó để tránh được những hạn chế cũng như thiếu sót trong bài báo cáo, rất mong các cô sẽ chỉ dẫn và góp ý để chúng em có thể hoàn thiện hơn kiến thức của mình Chúng em xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO