Các phân phối thường dùng doc

CÁC PHÂN PHỐI THƯỜNG DÙNG PHÂN PHỐI BERNOUILLI  PHÂN PHỐI NHỊ THỨC  PHÂN PHỐI POISSON  PHÂN PHỐI CHUẨN  PHÂN PHỐI BÌNH THƯỜNG  PHÂN PHỐI GAMMA, CHI BÌNH PHƯƠNG  PHÂN PHỐI STUDENT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

GV: TS TRẦN ĐÌNH THANH

CÁC PHÂN PHỐI THƯỜNG DÙNG

 PHÂN PHỐI BERNOUILLI

 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

 PHÂN PHỐI POISSON

 PHÂN PHỐI CHUẨN

 PHÂN PHỐI BÌNH THƯỜNG

 PHÂN PHỐI GAMMA, CHI BÌNH PHƯƠNG

 PHÂN PHỐI STUDENT

 PHÂN PHỐI FISHER

I PHÂN PHỐI BERNOUILLI: X ∼ B(1, p)

• Cho biến ngẫu nhiên X rời, lấy hai trị

số 0 , 1 BNN X gọi là cĩ phân phối

0

1 ,0 x

với )

p 1(

p )x

(f x 1 x với 0 < p < 1

1 Định nghĩa:

khi 0

1 x

khi p

0 x

khi p

1

t

pe p

1 )

t (

2 Mô hình phân phối Bernouilli

• Coi một thí nghiệm ngẫu nhiên có hai hậu quả:

{ ω ω}

=

p )

( P )

1 X

) (

P )

0 X

(

x với p

p x

f

x x

0

1 , 0 )

1

( )

Nghĩa là X cĩ phân phối Bernouilli

Mọi thí nghiệm ngẩu nhiên cĩ hai hậu quả đều cĩ phân phối Bernouilli

là nếu

0 Y

hiện xuất

6 mặt nếu

1 Y

• Quan sát về phái trong một lần sanh

~ B Y

nếu 0

z

trai con

nếu 1

~ B Z

thì

• Tung con xúc sắc, lưu ý mặt nút 6.

II PHÂN PHỐI NHỊ THỨC: X ~ B(n, p)

• 1 Định nghĩa:

• Cho BNN X rời, lấy các trị số 0, 1, 2,

…, n X cĩ phân phối nhị thức, khi

; 0

n , ,

1 , 0 : x với

; )

p 1

( p

C )

x

(

trong đĩ: 0 < p < 1

2 = np − p

σ

n t

pe p

t

M ( ) = ( 1− + )

2 Mơ hình nhị thức:

• Coi 1 thí nghiệm ngẫu nhiên cĩ hai

hậu quả: Ω = { } ω , ω với p ( ω ) = p

Ta lập lại thí nghiệm này n lần độc

lập và quan tâm đến số lần xuất hiện trong n lần quan sát đĩ.

0

là nếu

1

Xi

• Gọi X là số lần xuất hiện trong n lần quan sát:

n 2

0 X

1 n

1

n C p ( 1 p ) )

p 1

(

=

• Do đó hàm mật độ của X là:

k n

k

k

np ( 1 p ) C

) k X

; 0

n , , 2

, 1 , 0 x

; )

p 1

( p

C )

) trai (

P )

~ X

; 0

6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 x

; 2

1 2

1 C

x x

3 X

( P )

2 X

( P )

1 X

( P )

0 X

( P )

3 X

(

Ví dụ 2:

• Tại 1 địa phương tỷ lệ sốt rét là 25%

dân số Chọn ngẫu nhiên 6 người

Tính khả năng để có 4 người bị sốt rét

~ X

; 0

6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 x

; 4

3 4

1 C

x x

6

P(x) 0.18 0.33 0.29 0.14 0.03 0.02 0.0002

P(X = 4) = 3%

Ví dụ 3:

• Một lô thuốc (rất nhiều), có tỷ lệ hỏng p

= 0.20 Ta lấy ngẫu nhiên 5 lọ Gọi X

là số lọ hỏng trong số lọ lấy ra Tìm

hàm mật độ xác suất của X ?

Giải:

Gọi X là số lọ hỏng trong 5 lọ lấy ra.

thì: X ~ B ( 5 ; 0 20 )

; 0

5 , ,

1 , 0 x

; )

8 , 0 ( ) 2 , 0 (

C )

đúng bởi phân phối Poisson

III PHÂN PHỐI

), (

khác nơi

; 0

, 2 , 1 , 0 x

;

! x

e )

x ( f

x

• Ký hiệu: X ~ P ( λ )

• Hàm Moment: M ( t ) = eλ( e t −1 )

• 2 Định lý giới hạn Poisson:

! x

e )

p 1

( p

Với n →∞

p → 0

np → λ

3 Mô hình Poisson:

Đó là những quan sát mà số lần lặp lại lớn ( n lớn) mà xác suất biến cố ta lưu tâm P(ω)=p thì nhỏ

Chẳng hạn ta lưu ý đến những biến

cố hiếm, xảy ra trong một thời gian, không gian nhất định:

 Số trẻ em sinh đôi trong 1 năm

Ví dụ 1:

• Giả sử xác suất tử vong của bệnh

sốt xuất huyết là 7 0 / 00 Tính xác suất

để có đúng 5 người chết do sốt xuất huyết trong một nhóm 400 người.

Giải:

Gọi X là số người chết do sốt xuất huyết trong 400 người thì X~B

(400; 0,007)

! 5

) 8 , 2

( )

5 ( = = 2 , 8 5 =

!

) 8 , 2

( )

( 2 , 8

x

e x

X P

x

−

=

=

Ví dụ 2:

Tỷ lệ bạch cầu ái kiềm của người

thường p=0,005 nếu đếm 100 bạch cầu Tính xác suất để gặp một bạch cầu ái kiềm.

Giải:

Gọi X là số bạch cầu ái kiềm trong

100 bạch cầu thì X~B(100; 0,005)

Nên X~P(λ) với λ = 100x0,005 = 0,5

! x

) 5 , 0 (

e )

x X

0

! 1

) 5 , 0 (

e )

1 X

(

Do p = 0,005 nhỏ; n = 100 lớn

Gọi X là số lọ thuốc hỏng trong 20 lọ

; 0

20 , ,

2 , 1 , 0 x

; )

95 , 0 ( ) 05 , 0 (

C )

; 0

, 2 , 1 , 0 x

;

! x

e

! x

1

e )

x ( g

1 x

1



Ta có kết quả sau đây được tính bằng nhị thức và bằng phân phối Poisson Với λ = np = (20)(0,05) = 1 ,

IV.PHÂN PHỐI ĐỀU TRÊN [a,b]

Ta nói X phân phối đều trên đoạn

[a,b] nếu hàm mật độ là hằng số trên đoạn [a,b]:

; 0

b x

a

; a b

1 )

x ( f

Ký hiệu: X~U[a,b]

a b

1

−

) a b

chính là trung điểm của [a,b]

V PHÂN PHỐI CHUẨN

• Cho BNN U liên tục, U có phân

phối chuẩn (hay phân phối bình

thường chuẩn) khi hàm mật độ có dạng.

2

2

u

e 2

1 )

u ( f

Ee )

t

(

M

1 )

a U

( P )

a (

) a ( )

b ( )

b U

a (

P ≤ ≤ = Φ − Φ

u ( f )

b U

a ( P

Tất cả giá trị của Φ(u) được tính sẵn thành một bảng tính để tiện dùng.

b

Φ

=

Phân phối chuẩn đóng vai trò quan

trọng trong xác suất thống kê Chúng ta hãy làm quen với cách dùng bảng số

này.

• f(u) là hàm số chẵn nên bảng tính chỉ cho ta những trị số ứng với u > 0.

2 Cách dùng bảng:

• a) Trường hợp u>0

Ví dụ:

939 ,

0 )

55 ,

1 U

( P )

55 ,

c) Trường hợp:

P( 1 U 1,5)− ≤ ≤ = Φ(1,5) − Φ −( 1)

[1 ( 1 )]

) 5 , 1 ( − − ΦΦ

VI PHÂN PHỐI BÌNH THƯỜNG

1 Định nghĩa: Cho BNN X liên tục,

với σ >0 , µ là hai thông số, X có

phân phối bình thường, khi hàm mật

độ có dạng.

2 2

2 ) x

(e

2

1 )

2 t

2 t

e )

t (

M

σ +

Các mệnh đề sau đây giúp ta đưa về phân phối chuẩn, từ đó ta có thể tính xác suất các biến cố cần thiết bằng

Hệ quả 1:

Nếu

) ,

( N

=

≤ a ) a X

( P

Hệ quả 2:

) ,

( N

X P

) 4 X

( P

=

4

1 1

4

1

401 ,

0 599

, 0

=

401 ,

0 )

4 X

(

Ví dụ 2: Chiều cao H người Việt

Nam có phân phối: H~(1,6 ; 0,01)

Tính tỷ lệ người Việt Nam có chiều cao trong khoảng 1,5m – 1,7m

6 , 1 5

,

1 1

, 0

6 , 1 7

,

1 )

7 , 1 H

0

1 841

, 0 2

1 )

1 ( 2

) 1 ( 1

) 1 (

) 1 (

) 1 (

=

Φ

−

− Φ

=

− Φ

− Φ

=

Định lý MOIVRE – LAPLACE:

Nếu: X~B(n, p) thì:

X~N(np,np(1-p)) khi n lớn

Định lý nói rằng khi n lớn ta xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối

bình thường

c) Số người bị bệnh trong khoảng 6

~ B X

06

0 10

9 10

1 C

) 6 X

) 1 ( )

0 ( )

5

) 12 (

) 7 ( )

6 ( )

12 6

X~N(10,9)

3

) 10 5

, 5

( 3

) 10 5

, 6

Φ

=

) 5 , 1 (

) 17 ,

, 5

( )

5 , 5 (

)#

5 ( X ≤ P X ≤ = Φ −

P

) 5 , 1 ( 1

) 5 , 1

, 5

( 3

) 10 5

, 12

Φ

=

) 5 , 12 5

, 5 ( )#

12 6

P

=0,727

VII PHÂN PHỐI GAMMA VÀ CHI BÌNH PHƯƠNG

1 Hàm Gamma:

Với α>0 , đặt: Γ α = ∞∫ α− −

0

x

1 e dx x

) 1

dx

e x

) 1

(

0

= +

α

Γ ∞∫ α −

Vậy: Γ ( α + 1 ) = α . Γ ( α )

Từ đó suy ra:

! 3 1

2 3 )

3 (

3 )

4 (

! 2 1

2 )

2 (

2 )

3 (

1 1

1 )

1 (

1 )

2 (

=

= Γ

= Γ

=

= Γ

= Γ

=

= Γ

= Γ

e 2

1

2 Phân phối Gamma:

) 0 ,

( );

, (

−

−

α α

khác nơi

; 0

0 x

; e

x

)

(

1 )

x ( f

x 1

1 )

t ( M

X f

µ=α β

3 Phân phối chi bình phương:



, 3 , 2 , 1 r

), r (

~ X nếu

), r (

=

−

−

khác nơi

; 0

0 x

; e

x

2

2 r

1 )

x ( f

2

x 1

2 r 2

r

2

r

=

= αβ

= µ

r 2 2

2

r 2

2

2 = αβ = = σ

2

r

) t 2 1

(

1 )

t (

M

−

=

Phân phối χ2 rất quan trọng trong

dụng để làm kiểm định, giả thiết

thống kê

X 2 χ2 2

lập độc

X ),

r (

~

thì : X 1 + X 2 + X n ~ χ2 ( r 1 + r 2 +  + r n )

°Nếu : X 1 , X 2 , , X r độc lập và cĩ cùng phân phối chuẩn N(0, 1)

°Nếu :

thì : X 1 2 + X 2 2 + X r 2 ~ χ2 ( r )

VIII PHÂN PHỐI STUDENT: T~Student(n)

Xét 2 biến ngẫu nhiên X, Y độc lập:

) n (

~ Y );

1

; 0 ( N

~

Đặt:

n Y

2

1

n )

1

2

) 1 n

( 2

IX PHÂN PHỐI FISHER: F~Fisher(n, m).

Xét hai biến cố ngẫu nhiên X, Y độc lập: X ~ χ 2 ( n ), Y ~ χ 2 ( m )

Hàm mật độ của F :

0 f

; f

n

m 1

f

n

m

2

m 2

n 2

n

m )

1 2

m 2

Phân phối T và F được sử dụng

nhiều trong thống kê suy đoán Phân phối T được dùng để giải quyết các bài toán liên quan đến trung bình và

tỷ lệ Phân phối F cũng được dùng

để giải quyết các bài toán liên quan

đến phương sai Do đó, người ta đã

thiết lập sẵn bảng tính cho những giá trị cần thiết trong phân phối T và F

TÓM TẮT

I PHÂN PHỐI BERNOUILLI

Một thí nghiệm ngẫu nhiên cĩ hai hậu quả

0

1 , 0 x

với )

p 1

(

p )

II PHÂN PHỐI NHỊ THỨC: X ~ B(n, p)

Một thí nghiệm ngẫu nhiên cĩ hai hậu quả

; 0

n , ,

1 , 0 : x với

; )

p 1

( p

C )

x (

( np

σ

III PHÂN PHỐI POISSON

1 Cho BNN X rời, lấy các trị số 0, 1, 2, …, X cĩ phân phối Poisson, khi hàm mật độ cĩ dạng

khác nơi

; 0

, 2 , 1 , 0 x

;

! x

e )

x ( f

, 30 n

IV PHÂN PHỐI CHUẨN

IV PHÂN PHỐI CHUẨN

1 U có phân phối chuẩn khi hàm mật độ có dạng.

2

2

u e 2

1 )

u ( f

2 Tra bảng phân phối chuẩn

IV PHÂN PHỐI BÌNH THƯỜNG ỜNG

1 X có phân phối bình thường, khi hàm mật

độ có dạng.

2 2

2 ) (

2

1 )

=

x e x

) 5 , 0 5

, 0 (

) ( X = k = P k − ≤ X ≤ k +P

2 Chuẩn hóa phân phối bình thường:

5 Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 7%

a Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm

C x

f

x x

x

; 0

10 ,

, 1 , 0

; )

93 ,

0 ( ) 07 ,

0

( )

36 ,

0 )

93 ,

0 )(

07 ,

0 ( )

1 ( X = = C 1 10 9 =

P

52 ,

0 )

93 ,

0 ( 1

) 0 (

1 )

1

P

) 1 (

) 0 (

) 1 ( X ≤ = P X = + P X =

P

85 ,

0 )

93 ,

0 )(

07 ,

0 ( )

93 ,

0

5b Gọi n là số lần quan sát, ta có:

) 0 X

( P 1

) 1 X

(

90 ,

0 )

93 ,

0 (

=

n

) 93 ,

0 ( 90

, 0

10 ,

0 )

93 ,

0

( n ≤

10 ,

0 ln )

93 ,

0 ln(

72 ,

31 93

, 0 ln

10 ,

7 Khi tiêm truyền một loại huyết thanh

trung bình có một trường hợp bị phản ứng trên 1000 Ta lại dùng huyết thanh trên tiêm cho 2000 người Tính xác suất để:

a Có 3 ca bị phản ứng.

b Nhiều nhất 3 ca bị phản ứng.

c Hơn 3 ca bị phản ứng.

GIẢI (7):

Gọi X là số ca bị phản ứng

!

2 )

2 (

~ 1000

1 ,

2000

x

e P

B X

0 3

4

! 3

2 )

3

( = = −2 3 = 2 =

e

e X

P

7.a

135 ,

0

1 )

0

e

X P

270 ,

0

2 )

1

e

X P

270 ,

0

2 )

2

e

X P

) 1 (

) 0 (

) 3 ( X ≤ = P X = + P X =

P

854 ,

0 )

3 (

) 2

0 854

, 0 1

) 3 (

1 )

4 ( X ≥ = − P X ≤ = − =

P

9 Cho X ≈ B(n, p) với E(X) = 2, Var(X) = 4/3 Tìm hàm mật độ

15 Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất có phân phối bình thường với trung bình µ = 50 mm và độ lệch chuẩn σ = 0,05 mm Chi tiết máy được xem như đạt yêu cầu nếu đường kính không sai quá 0,10 mm.

16 Trọng lượng X(gam) của một loại trái

cây có phân phối bình thường

) 16

; 500 (

X P

) 505 X

( P

p 1

P(U 1,25) 1 P(U 1,25) 0,1056

) 505 X

495 (

4

500

495 P

) 25 , 1 U

25 , 1 (

x P )

495 X

( P

p 3

1056 ,

0 )

25 , 1 U

( P )

25 1 U

(

P < − = > =

=

17 Tỷ lệ lọ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B

lần lượt là 0,10 và 0,07 Giả sử các lô thuốc này

Biết lọ lấy ra là hỏng Tính xác suất để lô

thuốc lấy ra là lô A.

c Lấy ngẫu nhiên 50 lọ ở lô thuốc A Tính xác suất để có 3 lọ hỏng.

GIẢI (17):

 P (có ít nhất một lọ hỏng) = 1− ( 0 , 9 ) 3 = 0 , 271

17.a

9 , 0 )

9 , 0 (

1 − n ≥

=

10 , 0 )

9 , 0

0 085

,

1 10

,

0 )

H ( P

) A ( P ).

A

| H (

P )

H

| A

(

 Gọi n là số lọ thuốc cần lấy

085 ,

0 2

1 07

,

0 2

1 10

,

=

P (có ít nhất 1 lọ hỏng)

Gọi X là số lọ hỏng trong 50 lọ lấy ra:

5 5

,

3 U

5 , 4

5 5

,

2 P

) 71 , 0 U

118 (

P − < < −

=

= P(0,71 < U < 1,18)

= 0,881 – 0,761 = 0,12

18 Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh phân phối Bình Thường với kỳ vọng là 3,2 kg

được gọi là bình thường nếu trọng lượng

từ 2,688  3,712 kg Do trọng một cách ngẫu nhiên trên 100 trẻ sơ sinh Tính:

a Xác suất để có 85 trẻ bình thường.

b Xác suất để có ít nhất 75 trẻ bình thường.

GIẢI (18):

Gọi X là trọng lượng trẻ sơ sinh, ta có:

) 712 ,

3 X

688 ,

2 ( P

2 , 3 712

,

3 4

, 0

2 , 3

X 4

, 0

2 , 3 688

,

2 P

) 28 , 1 U

28 , 1 (

=

1 )

28 ,

1 U

( P

Gọi Y là số trẻ bình thường trong 100 trẻ

,

85 4

80

Y 4

80 5

,

84 P

) 1 , 0 ( N U

với ),

38 ,

1 U

13 ,

1 (

=

) 13 , 1 U

( P )

38 ,

1 U

(

=

=0,916 – 0,871 = 0,045.(#0,048) 18.b P ( Y ≥ 75 ) = P ( Y ≥ 74 , 5 )

,

74 4

80

Y P

=P(U >- 1,38)=P(U<1,38)=0,916

⇒ Y~B(100; 0,8) ⇒Y~N(80 ; 16)

19 Cho biết trọng lượng viên thuốc sản

xuất tại một xí nghiệp là độc lập và có phân phối Bình Thường với kỳ vọng là 250mg,

phương sai là 8,1 mg2 Thuốc được đóng

thành vĩ, mỗi vĩ 10 viên Mỗi vĩ gọi là đúng tiêu chuẩn khi trọng lượng từ 2490 mg đến

2510 mg (đã trừ bao bì) Lấy ngẫu nhiên

100 vĩ để kiểm tra Tính xác suất để:

a Có 80 vĩ đạt tiêu chuẩn.

b Có từ 70 vĩ trở lên đạt tiêu chuẩn

; 2500 (

N

~ X : thuốc vĩ

lượng trọng

X

) 1 , 8

; 250 (

N

~ X

: thuốc viên

lượng trọng

Gọi A: Biến cố vĩ thuốc đạt tiêu chuẩn

Ta cĩ:

) 2510 X

2490 (

P )

A (

7 ,

0 9

10 U

74 5

,

80 U

386 ,

4

74 5

,

79 P

037 ,

0 )

48 ,

1 U

25 ,

1 (

4

74 5

,

69 U

P )

70 Y

(

P

) 03 ,

1 U

(

P ≥ −

= = P ( U ≤ 1 , 03 )

849 ,

0

=

( Y 80) C ( 0 74) ( 0 26) 0 037

P = = 100 80 80 20 =

20 Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng

trung bình của một viên thuốc là µ=252,6 mg và

có độ lệch chuan σ=4,2 mg Giả sử trọng lượng phân phối theo qui luật Bình Thường.

a Tính tỉ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260mg.

b Tính trọng lượng x 0 sao cho có 30%

viên thuốc nhẹ hơn x 0 .

c Theo dược điển, viên thuốc đúng tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trọng

lượng trung bình với độ gia giảm tối đa 5%

Tính tỷ lệ các viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

6 , 252 260

X P

) 260 X

(

P

) 76 , 1 U

(

P >

=

039 ,

0 961

, 0 1

) 76 , 1 U

( P

=

X~N(252,6 ; (4,2) 2 )

0 2

, 4

6 , 252

x U

0 2

, 4

x 6

, 250

x 0 =

⇔

63 ,

12 U

2 , 4

63 ,

12

= 0,998 = 99,8%

= 252,6 - 12,63