Bài giảng đổi biến trong tích phân kép

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP TỌA ĐỘ CỰC M y r � x [0,2 ] [ , ]ϕ π ϕ π π−� �ha y cos , sin x r y rϕ ϕ= = 2 2 0r x y= + � TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC D ϕ α= ϕ β= Dij jϕ 1jϕ − ( )* *,i jr ϕ ϕ∆ a r b D[.]

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP

TỌA ĐỘ CỰC

M y

r

x

[0,2 ] [ , ]

ϕ � π hay ϕ �−π π

cos , sin

  x =   r ϕ   y = r ϕ

r = x + y

TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC

D

ϕ α =

j

ϕ

1

j

ϕ −

( r i* , ϕ *j )

ϕ

∆

D

α ϕ β

Tổng tích phân

, ( cos , sin )

i j

S = f r ϕ r ϕ r ∆ ∆r ϕ

0

( , ) lim n

d D

f x y dxdy = S

0

lim n ( cos , sin )

d

D

S = � �f r ϕ r ϕ rdrdϕ

Công thức đổi biến sang tọa độ cực

( , ) ( cos , sin )

f x y = f r r

cos , sin

  x =   r ϕ   y = ϕ

Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực

x y R

+ =

=

cos , sin

  x =   r ϕ   y = r ϕ

0

r R

x + y R

R

R

R

2 2 2

x + y = Rx x2 + y 2 2Rx

2 cos

−

ϕ

π ϕ π

2 2 2

x + y = Ry

0 2 sin 0

ϕ π

R

2R

2 sin

x + y Ry

1 ( )

r = r ϕ

2 ( )

r = r ϕ

α ϕ β (0 < −β α 2 )π

( cos , sin )

D

f r r rdrd

2

1

( )

( )

( cos , sin )

r

r

VÍ DỤ

D

I = � �x + y dxdy

cos , sin

  x =   r ϕ   y = r ϕ

:

0

x y D

y

+

1 -1

r = 1

0 1 0

D

ϕ π

1

2

D

I = � �r rdrd = ��d r dr

π

0

1

π

π ϕ