Giải toán 11 chương 4 giới hạn

Bài 1 Giới hạn của dãy số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 112 SGK Toán lớp 11 Đại số Cho dãy số (un) với n 1 u n = Biểu diễn (un) dưới dạng khai triển 1 1 1 1 1 1, , , , , , , 2 3[.]

Bài 1: Giới hạn của dãy số

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 112 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với un 1

n

=

Biểu diễn (un) dưới dạng khai triển: 1, , , , , ,1 1 1 1 1 ,

2 3 4 5 100Biểu diễn (un) trên trục số (h.46):

a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn

b) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Do đó từ số hạng thứ 1001 thì khoảng cách từ un đến 0 đều nhỏ hơn 0,001

Hoạt động 2 trang 117 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có nhiều tờ giấy chồng nhau,

mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48) Giả sử

có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, u3 là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, un là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ Tiếp tục như vậy ta được dãy số vô hạn (un)

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy

0,1 … 100 … 100000 … 100000000 … n

a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn

b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384 000 km hay 384.109 mm)

Bài tập 1 trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại

Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng

xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người

(T được gọi là chu kì bán rã)

Gọi (un) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)

b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một năm nào đó khối lượng chất phóng xạ

đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ

không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g

Lời giải:

a) Ta có:

Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn 1

2Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn 1 12

4=2 Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn 1 13

Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp

Hiển nhiên công thức trên đúng với n = 1

Giả sử công thức đúng với mọi k 1 , tức là có uk 1k

−  với mọi n Chứng minh rằng lim un = 1

Lời giải:

Vì lim 13 0

n = nên theo định nghĩa thì 13

n luôn nhỏ hơn một số dương A bé tùy ý,

n = nên lim u( n− = 1) 0 lim un= 1

Bài tập 3 trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các giới hạn sau:

n 3n

−

=+

1lim 6n2lim 3n

n 2n

n nlim

12n

12

1 1

n 9

n n9n n 1

n nlim

24n

Bài tập 4 trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Để trang hoàng cho căn hộ của

mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1,

nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,2,3,…,n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn

a) Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n Tính u1, u2, u3 và un b) Tính limSn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Bài tập 6 trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho số thập phân vô hạn tuần

hoàn a = 1,020202 (chu kì là 02) Hãy viết a dưới dạng một phân số

1100

b) lim (– n2 + 5n – 2) 2

2

5 2lim n 1

3u 1lim

u 1

−

3lim u 1lim u 1

v 2lim

1 2

v vlim11v

+

=

−

0 00

1 0

+

−

Bài 2: Giới hạn của hàm số

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 123 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hàm số ( ) 2x2 2x

n

f x = x = +

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn))

2 Chứng minh rằng với dãy số bất kì ( )xn , xn và 1 xn→ , ta luôn có 1

2 lim f(xn) = lim 2xn = 2lim xn = 2.1 = 2

Hoạt động 2 trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức (1) xác định

hàm số y = f(x) ở ví dụ 4, cần thay số 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là – 2 khi x→ 1

Hoạt động 3 trang 127 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f (x) 1

x 2

=

− có đồ thị như hình 52

Quan sát đồ thị và cho biết:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào

Lời giải:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị dương vô cực

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị âm vô cực

3

x 1x

2 n

25xlim31x

−

=+

2 n

2 n

2lim 5x3

1 limx

−

=+

0 55

Tính lim un, lim vn, lim f(un) và lim f(vn)

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x→ ? 0

Lời giải:

n

1lim u lim 0

n

n

1lim v lim 0

→  → nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại x = 0

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi x→ 0

Bài tập 3 trang 132 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính các giới hạn sau :

2

17x

→+

=+

00

x xlim

x xlim x

31x

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi x → − , x→ , 3−

x→ 3+b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

Khi x→ thì f (x) → + 3+b)

x 2lim f (x) lim

x 2 2

1 2x

x xlim

9

x 1x

1 0

+

−

+) 2

x 2lim f (x) lim

3 5lim x 2

2 5lim x 1

x x

→−

2 x

2 5lim x 1

x

1

xlim

Bài tập 7 trang 133 SGK Toán lớp 11 Đại số: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là

f Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới

quang tâm O của thấu kính (h.54) Công thức thấu kính là 1 1 1

+)

fdlim (d) lim

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh

của nó dần tới dương vô cực

+)

fdlim (d) lim

Bài 3: Hàm số liên tục

A Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 135 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số f(x) = x2 và

b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1

(Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x = 1 và hàm số y = g(x) không liên tục tại

Đồ thị hàm số g(x) gián đoạn tại x = 1

Hoạt động 2 trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong biểu thức xác định h(x)

cho ở Ví dụ 2, cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập

Vậy cần thay số 5 bằng số 2 để hàm số liên tục trên

Hoạt động 3 trang 138 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục

trên đoạn [a; b] với f(a) và f(b) trái dấu nhau Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a; b) không?

Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a; b)”

Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm khoảng (a; b)”

Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a; b), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58)

Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?

Lời giải:

- Bạn Lan nói đúng vì f(a) và f(b) trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị x sao cho f(x)

= 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm

- Bạn Hưng sai vì có thể có 2 giá trị x sao cho f(x) = 0

- Đường parabol trên h.58 là đồ thị hàm số y2 = x suy ra đồ thị hàm số y = f(x) sẽ là

1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành Khi đó f(a) và f(b) cùng dấu, mâu

thuẫn với điều kiện f(a) và f(b) trái dấu Ví dụ của Tuấn sai

Hoạt động 4 trang 139 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn

1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm

thuộc khoảng (a; b)

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 3

Bài tập 2 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Xét tính liên tục của hàm số y =

g(x) tại x0 = 2, biết

3

x 8 neu x 2g(x) x 2

Vậy ta cần thay số 5 bởi số 12

Bài tập 3 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số

Vẽ Parabol y = x2 − 1 với x − có đỉnh là (0; −1) và đi qua hai điểm (−1; 0); (1; 1

0) Xóa phần đồ thị nằm trên nửa mặt phẳng x < −1, ta được đồ thị hàm số y = x2 −

Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng (− −; 1) và (− +1; )

b) +) Nếu x < −1: f(x) = 3x + 2 liên tục trên (− − (vì đây là hàm đa thức nên ; 1)

liên tục trên tập xác định của nó)

+) Nếu x > −1: f(x) = x2 – 1 liên tục trên ( 1;− + (vì đây là hàm đa thức nên liên )

Bài tập 4 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các hàm số f (x) 2x 1

x x 6

+

=+ −

Hàm số f(x) là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng xác định

Vậy f(x) liên tục trên các khoảng (− −, 3),(−3, 2) và (2, +)

+) Hàm số g(x) = tan x + sin x xác định khi và chỉ khi cos x0 x k

2



  +  ,(k )

Hàm số g(x) là hàm lượng giác nên liên tục trên các khoảng xác định

Vậy g(x) liên tục trên các khoảng k ; k

Bài tập 5 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Ý kiến sau đúng hay sai?

“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0”

Lời giải:

Theo giả sử ta có hàm số h(x) + [−f(x)] = h(x) − f(x) = g(x) phải liên tục tại x0

Điều này trái với giả thiết là y = g(x) không liên tục tại x0

Vậy giả sử ban đầu sai Chứng tỏ y = f(x) + g(x) không liên tục tại x0

Bài tập 6 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng phương trình:

f(0).f(1) = 1.(–3) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm x0(0;1)

f(0).f(–2) = 1.(–3) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm x1 −( 2;0)

Ôn tập chương 4 Bài tập 1 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc

biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số

Lời giải:

Một vài giới hạn đặc biệt của dãy số và hàm số:

clim 0, k *x

Bài tập 2 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai dãy số (un) và (vn)

Biết u – 2 vn  n với mọi n và limvn = 0 Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)?

 −    hay u – 2n   bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi

 lim(un − 2) = 0 (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

Bài tập 3 trang 141 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tên của một học sinh được mã hóa bởi

số 1530 Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H,

H=lim n +2n−n ;

n 2

N lim3n 7

1

n 3nlim

2

n 1n

n

++

H=lim n +2n−n ( 2 ) 2

2

n 2n nlim

n nlim

7

n 3n

73n

−

=

+

0 00

n n

3

4lim

Bài tập 4 trang 142 SGK Toán lớp 11 Đại số: a) Có nhận xét gì về công bội của các

cấp số nhân lùi vô hạn?

b) Cho ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi

vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó

x 3

x 5x 6lim

x 3

x 5x 6lim

x 3

x 5x 6 1lim

x 3x

2 4

x xlim

2 4

x xlim

2 4

x xlim

13x

→−

=

−

hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó

Lời giải:

a)

+)

2 2

x 0 x 0

1 xlim f (x) lim

1 xlim f (x) lim

1

xlimx

3

1 1

x 1

x xlim

1xx

1 11

x xlim

1x

xlim g(x)→+ = + nên (C2) có nhánh vô tận đi lên khi x → +

Dựa vào đặc điểm của (C1) và (C2) như trên ta có (C1) là đồ thị b và (C2) là đồ thị a

Bài tập 7 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính liên tục trên của hàm số

Vậy hàm số y = g(x) liên tục trên

Bài tập 8 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (–2; 5)

Do đó f(x) có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0, 1); một nghiệm trên khoảng (1, 2);

một nghiệm trên khoảng (2, 3)

Mà các khoảng (0, 1); (1, 2) và (2, 3) đôi một không có điểm chung

Vậy phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trên khoảng (– 2, 5)

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm 9 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mệnh đề nào sau đây là

mệnh đề đúng?

(A) Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

(B) Nếu (un) là dãy số tăng thì lim u = + n

(C) Nếu lim u = + và n lim v = + thì lim(un n – vn) = 0

nu

n 2

=+ , vn = n +1

2 n

nlim u lim

n 2

=+

2

2 2

nlim

1 1n

2

n 1n

21n

Bài tập trắc nghiệm 10 trang 143 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với

1

n 1nlim

2

n 2n

2 22

(C) lim u = + ; n

(D) Dãy số (un) không có giới hạn khi n → +

Lời giải:

Ta có (un) là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là u1= 2 và

công bội q= 2 nên:

n 1 n

u 1 qu

1

xlim

1

x x

(D) Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3;1

 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm ít nhất một

nghiệm thuộc khoảng 0;1